Задачи по теории вероятности 2 - реферат

Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ : вероятность 3/8.

Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n= 11!; M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.

Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

Р(А₁ ) = 560/2002 = 280/1001.

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁ В₂ В_3.

Так как события В₁ , В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) + Р(В₂ ) + Р(В₃ );

Р(А₂ ) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р(А₃ ) = 1 - Р( ) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А₁ ) = 280/1001, Р(А₂ ) = 483/1001, Р(А₃ ) = 973/1001.

Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₃ ) * Р(С₃ ).

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ = C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ = C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ = C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁ ) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁ С₂ (В₂ С₁ );

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₂ ) * Р(С₂ )

Р(А₂ ) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

Р( ) = Р(В₃ ) * Р(С₃ ) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А₃ ) = 1 - Р( ) = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А₁ ) = 46/495, Р(А₂ ) = 1/3, Р(А₃ ) = 158/165.

Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В₁ - в урне было 5 белых шара;

В₂ - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В₃ - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В₄ - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В₅ - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В₆ - в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов

Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

Р(А/В₁ ) = 1.

Р(А/В₂ ) = 56/84 = 2/3.

Р(А/В₃ ) = 35/84 = 5/12.

Р(А/В₄ ) = 5/21.

Р(А/В₅ ) = 5/42.

Р(А/В₆ ) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504.

Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для В₁ ) и (для В₂ ); таким образом Р(В₁ ) = 3/ 11, Р(В₂ ) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В₁ ) = 0,87 и Р(А.В₂ ) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.

Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁ =13, М₂ =12, и М₃ =17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.

Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В₁ ) = 0,91, Р(А/В₂ ) = 0,82, Р(А/В₃ ) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В₁ ) = 13/42 = 0,3095; Р(В₂ ) = 12/42 = 0,2857; Р(В₃ ) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁ :

Р(В₁ /А) =

Р(В₂ /А) =

Р(В₃ /А) =

Ответ: Р(В₁ /А) = 0,3403, Р(В₂ /А) = 0,2831, Р(В₃ /А) = 0,3766

Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.

Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k , k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k _. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р₀ , р₁ , р₂ , ..., р₁₁ и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ = *0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q k np + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

Таблица 1

(n-k-1)/ k

р_k

(n-k-1)/ k

p_k

11/ 1

10/ 2

9/ 3

8/ 4

7/ 5

0,0073787

0,0456556

0,1284066

0,2166861

0,2437719

0,1919704

6/ 6

5/ 7

4/ 8

3/ 9

2/ 10

1/ 11

0,1079833

0,0433861

0,0122023

0,0022879

0,0002573

0,0000131

0,9926213

Рисунок 1 График вероятностей р_k

Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.

а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти: Р₇₆₀ (330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

Значение функции j(x) найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562, P₇₆₀ (330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.

б) Найти: Р₇₆₀ (284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:

Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀ (284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.

в) Найти: Р₇₆₀ (330<k).

Имеем: х₁ = -1,98,

Р₇₆₀ (330<k) = Р₇₆₀ (330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.

Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти: Р₈₀₀ (2).

Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

Р₈₀₀ (2) = .

б) Задано k<3.

Найти: Р₂₀₀ (k<3).

Имеем:

l= 7.

Р₈₀₀ (k<3) = Р₈₀₀ (0) + Р₈₀₀ (1) + Р₈₀₀ (2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Задано k > 8.

Найти: Р₈₀₀ (k > 8).

Находим

l= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р₈₀₀ (k>8) = 1 – Р₈₀₀ (k 8) = 1 - Р₈₀₀ (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Х	8 12 16 24
Р	0,11 0,14 0,50 0,25

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DXи моду Мо.

R = 4

Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х² ) = 8² *0,11 + 12² *0,14 + 16² *0,5 + 24² *0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896.

График функции распределения

Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

Поэтому

Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ =

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х² ) =

DX = 40,5 – (4,5)² .

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х² / 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31.

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).

6 12 х

График функции распределения F(х).

Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

- составить вариационный ряд;

- вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

- построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

- составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме.

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности ,S² , Sпо

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.

Выборка А6

4	10	7	6	3	7	8	7	4	7	10	7	3	9	3
1	5	8	10	11	6	5	7	6	3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7	7	7	4	6	7	10	4	4	0
5	4	4	8	5	5	10	7	3	8	5	6	6	6	3
5	7	8	5	7	10	9	10	8	2	3	6	9

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1

Выборка В6

324	296	313	323	312	321	322	301	337	322	329	307
301	328	312	318	327	315	319	317	309	334	323	340
326	322	314	335	313	322	319	325	312	300	323	335
339	326	298	298	337	322	303	314	315	310	316	321
312	315	331	322	321	336	328	315	338	318	327	323
325	314	297	303	322	314	317	330	318	320	312	333
332	319	325	319	307	305	316	330	318	335	327	321
332	288	322	334	295	318	329	305	310	304	326	319
317	316	316	307	309	309	328	317	317	322	316	304
303	350	309	327	345	329	338	311	316	324	310	306
308	302	315	314	343	320	304	310	345	312	330	324
308	326	313	320	328	309	306	306	308	324	312	309
324	321	313	330	330	315	320	313	302	295	337	346
327	320	307	305	323	331	345	315	318	331	322	315
304	324	317	322	312	314	308	303	333	321	312	323
317	288	317	327	292	316	322	319	313	328	313	309
329	313	334	314	320	301	329	319	332	316	300	300
304	306	314	323	318	337	325	321	322	288	313	314
307	329	302	300	316	321	315	323	331	318	334	316
328	294	288	312	312	315	321	332	319

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: х_min = 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).

Таблица 1

x_i

n_i

n_i /n

Накопленные частости

0,0137

0,1096

0,1233

0,1096

0,1233

0,1918

0,1370

0,0411

0,1096

0,0137

0,0274

0,0411

0,1507

0,274

0,3836

0,5069

0,6987

0,8357

0,8768

0,9864

1,0001

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i /n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А

Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F^* (x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

При построении графика F^* (x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Таблица 2

x_i	n_i
0	1	-7	-7	49	49
1	1	-6	-6	36	36
2	1	-5	-5	25	25
3	8	-4	-32	16	128
4	9	-3	-27	9	81
5	8	-2	-16	4	32
6	9	-1	-9	1	9
7	14	0	0	0	0
8	10	1	10	1	10
9	3	2	6	4	12
10	8	3	24	9	72
11	1	4	4	16	16
73	-58	470

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем х_min = 288 и х_max = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).

Таблица 3

Интервалы

n_i

n_i /n

Накопленные частости

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

0,017

0,034

0,093

0,153

0,262

0,211

0,140

0,068

0,022

0,004

0,017

0,051

0,144

0,295

0,557

0,768

0,907

0,975

0,996

1,000

237

1,000

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.

При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i /n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.

Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим с помощью табл. 4 (табл. 4).

По формулам вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Стандартное отклонение Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7× = 317,8.

Таблица 4

Интервал

Середина интервала

n_i

( )²

( )² n_i

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

289

296

303

310

317

324

331

338

345

352

-3,8

-2,8

-1,8

-0,8

0,1

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

-1114,7

-845,7

-562,7

-265,7

45,3

370,3

709,3

1062,3

1429,3

1810,3

14,9

8,2

3,4

0,7

0,02

1,3

4,6

9,9

17,2

26,4

4299,6

2416,3

1045

227,8

6,5

423,2

1519,9

3338,6

5921,3

9310

237

2637,9

28508,3

Медиану находим по формуле: Ме =.

Задача 3.2.

По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73, S^-2 = 5,8143,S² = 73/72×5,8143 = 5,8951, S = = 2,43.

Для выборки В имеем

= 393,92, = 177,47, n = 237, S² = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).