Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства
следующие условия эквивалентны:
1)
сепарабельно,
2)
имеет счетную базу,
3)
финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава
I. Основные понятия и теоремы
Определение.
Метрическим пространством
называется пара
, состоящая из некоторого множества (пространства)
элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции
, определенной для любых
и
из
и удовлетворяющей трем условиям:
1)
(аксиома тождества);
2)
(аксиома симметрии);
3)
(аксиома треугольника).
Определение.
Пусть
– некоторое множество. Топологией в
называется любая система
его подмножеств
, удовлетворяющая двум требованиям:
1. Само множество
и пустое множество принадлежат
.
2. Объединение
любого (конечного или бесконечного) и пересечение
любого конечного числа множеств из
принадлежат .
Множество
с заданной в нем топологией
, то есть пара
, называется топологическим
пространством.
Множества, принадлежащие системе
, называются открытыми.
Множества
, дополнительные к открытым, называются замкнутыми
множествами топологического пространства
.
Определение.
Совокупность
открытых множеств топологического пространства называется базой
топологического пространства
, если всякое открытое множество в
может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из
.
Теорема 1.
Всякая база
в топологическом пространстве
обладает следующими двумя свойствами:
1)
любая точка
содержится хотя бы в одном
;
2)
если
содержится в пересечении двух множеств
и
из
, то существует такое
, что .
Определение.
Открытым шаром или окрестностью точки
радиуса
в метрическом пространстве
называется совокупность точек
, удовлетворяющих условию
. При этом
– центр шара,
– радиус шара.
Утверждение 1.
Для любого
, принадлежащего
-окрестности точки
, существует окрестность радиуса
, включенная в
-окрестность точки .
Доказательство.
Выберем в качестве
:
.
Достаточно доказать для произвольного
импликацию
. Действительно, если
, то
Получаем, что
, что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство.
Проверим свойства базы (теорема 1).
· Свойство первое очевидно, так как для любого
выполняется
для любого
.
· Проверим второе свойство.
Пусть
,
и
, тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое
, что
Теорема доказана.
Определение.
Топологическое пространство
метризуемо
, если существует такая метрика
на множестве
, что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства
.
Аксиомы отделимости
Аксиома
. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома
. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение.
является
- пространством тогда и только тогда, когда для любого
множество
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
. Так как
является
-пространством, то существует окрестность
, не содержащая .
Рассмотрим
Докажем, что
. Применим метод двойного включения:
· Очевидно, что
по построению множества
.
·
.
Пусть
отсюда для любого
отличного от
существует окрестность
, значит
, тогда .
Множество
- открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество
- замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность.
Рассмотрим
. По условию
замкнутые множества. Так как
, то
. Множество
-открыто как дополнение замкнутого и не содержит
. Аналогично доказывается существование окрестности точки
, не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома
( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома
.
Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам
(
) называются
-пространствами
(
-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами
).
Определение.
Пространство называется нормальным
или
-пространством
, если оно удовлетворяет аксиоме
, и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки
, если для любой окрестности
точки
найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в
.
Определение.
Если точка
топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности
. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение.
Две метрики
и
на множестве
называются эквивалентными
, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример.
На плоскости
для точек
и
определим расстояние тремя различными способами:
1.
,
2.
,
3.
.
· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1)
2) так как
и
, то вторая аксиома очевидна:
3) рассмотрим точки
,
,
и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как
и
(поскольку
) и выражение
есть величина неотрицательная, то неравенство
является верным.
2. 1)
2) так как
и
, то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки
,
,
и докажем следующее неравенство: .
Тогда и
.
3. 1)
2) так как
и
, то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки
,
,
.
Неравенство:
- очевидно.
· Введенные метрики
и
эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика
порождает топологию
,
- топологию
и
- топологию
. Достаточно показать два равенства.
Покажем, что
.
Рассмотрим множество,
открытое в
и покажем, что
открыто в
. Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в
. Шар в
- квадрат, шар в
- круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда
открыто и в .
Аналогично доказывается, что
. А тогда и
.
Глава
II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1.
Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство.
Пусть
. Возьмем
. Докажем, что
.
Предположим, что
, тогда существует
, т.е.
и
. Тогда,
. Получили противоречие. Следовательно, .
Следствие.
Метризуемое пространство является
- пространством.
Определение.
Расстоянием от точки
до множества
в метрическом пространстве называется
.
Утверждение 2.
Пусть множество
фиксировано; тогда функция
, сопоставляющая каждой точке
расстояние
, непрерывна на пространстве .
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности: функция
называется непрерывной в точке
, если
.
Из неравенства
, где
, получаем
. Аналогично
. Из полученных неравенств следует .
Для произвольного
возьмем
. Тогда из неравенства
следует
. Непрерывность
доказана.
Лемма.
– замкнутое множество в метрическом пространстве
. Для любого
расстояние от
до множества
положительно.
Доказательство.
Множество
замкнуто, отсюда следует, что множество
- открыто. Так как точка
принадлежит открытому множеству
, то существует такое
, что
. Так как
, то
для некоторого
. Поэтому
для любого
. Следовательно,
, что и требовалось доказать.
Свойство 2.
Метризуемое пространство нормально.
Доказательство.
По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества
и
имеют непересекающиеся окрестности.
Так как
и множество
замкнуто по условию, то для любого
по лемме .
Обозначим
и
для произвольных
и .
Множества
и
открыты как объединения открытых шаров в
и содержат соответственно множества
и .
Следовательно,
- окрестность множества
,
- окрестность множества .
Докажем, что
.
Предположим, что
, то есть
. Тогда из условия
следует, что
для некоторого
. Отсюда .
Аналогично получаем
для некоторого
. Для определенности пусть
. Тогда .
Получаем
, для некоторой точки
, что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно
. Таким образом,
является
-пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3.
В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство.
Пусть
- произвольное открытое множество, содержащее точку
. Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то
содержится в
вместе с некоторым открытым шаром, то есть
для некоторых
и
. По утверждению 1 найдется такое
, что .
Возьмем
, для которого
. Тогда
. Таким образом открытые шары
,
образуют определяющую систему окрестностей точки
. Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение.
Множеством типа
или просто
- множеством
пространства
называется всякое множество
, являющееся объединением счетного числа замкнутых (в
) множеств.
Определение.
Множеством типа
или просто
- множеством
пространства
называется всякое множество
, являющееся пересечением счетного числа открытых (в
) множеств.
Очевидно, что множества типа
и
являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение.
Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа
, называется совершенно нормальным
.
Утверждение 3.
Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа
.
Свойство 4.
Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть
- непустое замкнутое множество в
. Тогда
для непрерывной функции
(непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим
, множества
открыты в
как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .
Пусть
, тогда
. Так как
для любого
, то
для любого
. Отсюда .
Обратно. Пусть
, тогда
для любого
. Отсюда
для любого
, поэтому
для любого
, тогда
, значит
. Таким образом множество
является множеством типа
.
Определение.
Множество
всюду плотно в
, если любое непустое открытое в
множество содержит точки из
.
Определение.
Топологическое пространство
называется сепарабельным
, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение.
Семейство γ открытых в
множеств образуют покрытие пространства
, если
содержится в объединении множеств этого семейства.
Определение.
Топологическое пространство
называется финально компактным
, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5.
Для метризуемого пространства
следующие условия эквивалентны:
1)
сепарабельно,
2)
имеет счетную базу,
3)
финально компактно.
Доказательство.
Пусть
- счетное всюду плотное множество в
,
- метрика в
. Множество окрестностей
счетно. Докажем, что
- база топологии в
. Пусть
- произвольное открытое в
множество,
. Тогда
для некоторого
. Рассмотрим рациональное число
, для которого
и точку
, для которой .
Докажем, что
. Пусть
. Так как
, то
. Тогда
. Таким образом, для произвольного
и открытого множества
нашелся элемент из
, такой, что
. Следовательно
- база топологии.
Пусть
- счетная база в
. Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества
,
- открыты для любого
(
- индексное множество). Для любого
существует
, для которого
. Так как
- база, то найдется такое
, что
. Тогда
. Поскольку база
счетна, то
покрывается счетным числом соответствующих множеств
. Таким образом, - финально компактно.
Для каждой точки
рассмотрим окрестности
, которые образуют покрытие пространства
. В силу финальной компактности
из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие
. В каждом из этих множеств выберем точку
. Множество точек
счетно, докажем, что оно плотно в
. Пусть
- произвольное открытое множество в
,
, тогда
для некоторого
. Существует элемент подпокрытия
. Тогда
, то есть любое непустое открытое множество в
содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение.
Диаметром непустого множества
в метрическом пространстве
называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества
и обозначается .
.
Если
, то множество
называют неограниченным.
Определение.
Метрика
метрического пространства
называется ограниченной
, если
.
Свойство 6.
Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство.
Пусть метрика
порождает топологию топологического пространства
. Положим
для любых .
Докажем следующее:
1.
-метрика на
;
2. метрики
и
эквивалентны;
3.
.
1. Проверим выполнимость аксиом.
1)
;
2)
;
: Докажем, что
.
Известно, что
.
· Если
и
, то
и
, тогда
. Так как
, то .
· Если
или
, то
, а
, тогда .
2. Пусть
- топология, порожденная метрикой
, а
- топология, порожденная метрикой
. Докажем, что .
Пусть
- открытое множество в
, докажем, что множество
открыто в
. Для любого
существует
такое, что
. Можно считать, что
. Тогда
является окрестностью в
того же радиуса
. Следовательно,
открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики
и
эквивалентны.
3. Из формулы
следует, что
для любых
. Отсюда .
Определение.
- топологические пространства,
. Тихоновским произведением топологических пространств
называется топологическое пространство
, в котором базу топологии образуют множества
, где
открыто в
для любого
и
для всех индексов кроме конечного их числа.
Свойство 7.
Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство.
Пусть
- метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве
существует ограниченная метрика
соответственно.
Рассмотрим
.
Покажем:
1.
является метрикой на
и
.
2. топология, порожденная метрикой
, совпадает с топологией произведения пространств
.
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1)
(так как
- метрика по условию).
2)
,
.
Так как
(
-метрика по условию), то
, тогда .
3) Докажем, что
.
,
,
. Но так как выполняется неравенство
, то будет выполняться неравенство:
, тогда
.
Теперь докажем, что
.
, где
геометрическая прогрессия, а
, тогда .
2. 1) Покажем, что каждое множество
, открытое в топологии, индуцированной метрикой
, открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку
. Существует такое
, что
. Далее достаточно найти положительное число
и открытые множества
, такие, что .
Пусть
- положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для
положим
и
для .
Для каждой точки
. Рассмотрим полученные суммы. Так как
, где
, то
. Так как
для любых
, то
. Тогда
, т.е.
. Таким образом
. Следовательно, множество
открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество
открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой
.
Требуется доказать, что для любой точки
найдется такое
, что
.
Так как множество
открыто в топологии произведении, то
для некоторого множества
, где
- открыто в
и
для любого
и
для всех индексов
кроме конечного их числа. Поскольку
и
открыто в
, то
для конечного числа индексов, для которых
. Пусть
- наименьший из этих значений
. Докажем, что
. Возьмем произвольное
. Тогда
. Отсюда
для любого
. Это означает, что
для любого
. Получили
. Следовательно, множество
открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.
Глава
III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в
. Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим
Для любого
множество
открыто, так как
. Следовательно, открыто и любое подмножество в
как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на
.
1)
- простое двоеточие.
2)
- связное двоеточие.
3)
- слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как топология
- дискретная.
,
- неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка
(
).
В
открытыми назовем
и множества вида
, где
. Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство
не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.
4. Окружности Александрова
(пространство
).
Открытые множества в
:
первого рода
: интервал на малой окружности
плюс его проекция на большую окружность
, из которой выброшено конечное число точек.
второго рода
: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество
замкнуто в
тогда и только тогда, когда
- конечно.
Доказательство.
Очевидно, что любое конечное множество
замкнуто как дополнение открытого. Пусть
и
- бесконечно. Докажем, что
- незамкнуто.
Так как
- бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих
. Эта последовательность ограничена в
, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как
замкнуто в
, то предел этой последовательности
. Пусть
- точка, для которой
является проекцией на
. Возьмем произвольное открытое в
множество
, содержащее точку
. Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что
содержит бесконечно много точек множества
, т.е.
является предельной точкой множества
. При этом
. Следовательно,
- незамкнуто.
2. Множество
не совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть дуга
. Множество
открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в
являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно
открыто и не является множеством типа
. Таким образом множество
неметризуемо.
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
|