Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию
. Пусть эта функция
будет определена на некотором множестве
, где
и
, то есть в результате получится множество
. Если функция
непрерывна в D
, то тогда имеет смысл интеграл
, где x
принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку
, значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл
называется интегралом, зависящим от параметра, если
интегрируема на промежутке
при любом фиксированным
, где .
Следовательно,
представляет собой функцию
переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Возможно также существование интеграла при фиксированном
, тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Обозначается она так
, так что .
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции
, получить информацию о свойствах функции
. Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример.
Найти интеграл
от функции
,
Функция
непрерывна на отрезке
при любом фиксированном
, а значит, она интегрируема. Тогда
.
Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра
Определение.
Пусть
- это предельная точка множества
.Функция
называется равномерно сходящейся к функции
при
по переменной
, если выполняются следующие условия:
1. для
при
существует конечная предельная функция
;
2.
. (1)
Замечание 1.
В цепочки (1)
зависит только от
и не зависит от
, а неравенство
выполняется при любых
одновременно.
Замечание 2.
Если
, то в цепочке (1) неравенство
следует заменить на
().
Теорема 1 (признак сходимости).
Если функция
определена на множестве
, то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
Докажем теорема так.
Необходимость
. Пусть функция
равномерно сходится. Если заменим в определении
на
и выберем соответственно
, а затем возьмем два значения
и
из
так, чтобы выполнялись условия
и
. В результате получим
и
откуда следует последнее неравенство в цепочке .
Достаточность
. Теперь пусть существует предельная функция
. Нужно доказать равномерную сходимость функции
к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве
при
, получается
. Что и подтверждает равномерную сходимость
к функции .
Теорема 2 (о непрерывности предельной функции).
Если функция
при любом фиксированном
непрерывна на
и равномерно сходится к предельной функции
по переменной
при
, то функция
также непрерывна на .
Легко обобщается теорема Дини: если функция
непрерывна для любого фиксированного
на
и при возрастании
функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции
, то
сходится к
равномерно.
Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла).
Если функция
непрерывна при постоянном значении
на
и сходится равномерно по переменной
к предельной функции
при
, то тогда имеет место равенство
(2)
Доказательство.
Непрерывность
следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке
. В силу равномерной сходимости
к
выполняется
. Тогда при тех же
и имеем:
откуда следует
, что доказываетформулу (2).
Замечание 3.
Равенство (2) можно записать и в другом виде
. (2`)
Следствие 1.
Если функция
при постоянном
непрерывна по
и при возрастании
стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции
, то справедливы формулы (2) и (2`).
В предположении, что область
представляет собой конечный промежуток
, рассмотрим вопрос о непрерывности функции
.
Пример
(№3713 (в)). Найти
.
1. функция
непрерывная функция на
. Функции
и
также непрерывны на .
2.
непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке
, значит
3.
.
Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра).
Пусть функция
определена и непрерывна в прямоугольнике
, тогда интеграл
будет непрерывной функцией от параметра
в промежутке .
Доказательство.
Так как
непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике
. Возьмем любое
и зафиксируем
. Тогда нашему значению
будет соответствовать
, такое, что для любых двух точек
,
принадлежащих
, из неравенств
и
, будет следовать
. Положим
,
, где
,
- любые из
, и
, где . Тогда получим
. Это означает, что функция
равномерно стремится к
. В таком случае по теореме 3
, а уже отсюда следует равенство
, то есть наша функция
непрерывна на .
Замечание 4.
Совершенно аналогично доказывается теорема для
, где
.
Следствие 2.
Если
непрерывна на прямоугольнике
, то
.
Пример
. Найти
.
1.
непрерывна на
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем
Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла
При изучении свойств функции
важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле
, которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.
Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра).
Пусть функция
определена и непрерывна в прямоугольнике
и имеет там непрерывную частную производную
. Пусть
,
. Тогда:
1. функция
имеет в промежутке
производную
;
2.
, то есть
,
.
Доказательство.
Возьмем любую точку
и зафиксируем ее. Придадим
приращение
и точка
. Тогда
, ,
(1)
По теореме Лагранжа
. Следовательно,
. (2)
Переходя в (2) к пределу при
, приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:
.
Из этого следует, что
существует, причем
. Так как
- любое
, то
существует для любого
, причем .
Пример.
Найти производную
функции
.
1.
непрерывна на
2.
. Эта функция также непрерывна на
.
3.
4.
Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла
Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру
функции
. Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид
. Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.
Теорема.
Если
непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике
, то
интегрируемая на промежутке
функция и справедливо равенство
, то есть .
Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом
.
Докажем более общее равенство.
для любого
. (1)
В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t
. Вычислим их производные по t
. Так как
, то
(т.4 п.2), а следовательно
есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:
,
. (2)
В правой части стоит интеграл
, где
. Действительно функция
удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по
в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную
, которая будет непрерывна как функция двух переменных.
Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла
,
. (3)
Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке
совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е.
.
. (4)
Положив в (4) t
=
c
, получим
. Значит, будем иметь вместо (4) для любого
. (5)
Пусть в (5) t
=
d
, получим
.
Что и требовалось получить.
Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра
При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция
определена и непрерывна на некотором прямоугольнике
и при любом фиксированном
существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке
. Тогда интеграл сходится и равен
.
В этом случае
называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).
Утверждение о том, что
сходится при каждом
означает следующее: при каждом фиксированном
.
Следовательно,
или
.
Это значит, что для каждого
по любому
можно указать число
такое, что если
, то
. Важно заметить, что
зависит и от
,и от
:
. Если же для любого
можно указать число
, зависящее только от
, такое, что при
выполняется
для
, то в этом случае
называется равномерно сходящимся относительно параметра .
Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:
Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1).
Для того чтобы интеграл
сходился равномерно по переменной
на промежутке
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
,
.
Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.
Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1).
Пусть функция
определена и непрерывна на прямоугольнике
и удовлетворяет условиям:
1. непрерывна по переменной
,
2. существует функция
, что
,
3.
- сходится.
Из этого следует, что
сходится равномерно по
.
Доказательство.
В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:
(1)
Тогда при тех же
, что и в цепочке, получаем
.
А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла
.
Ч. т. д.
Замечание.
При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция
имеет интегрируемую мажоранту
или что интеграл
мажорируется сходящимся интегралом .
Следствие.
Пусть выполняются следующие условия:
1. функция
определена и непрерывна по
;
2. функция
ограничена на прямоугольнике
;
3. интеграл
сходится, тогда следует, что
сходится равномерно по
.
Обозначим через
и возьмем в качестве
, а в качестве функции
. Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция
определена в области
(a,b,c – конечные числа). Пусть при
несобственный интеграл
сходится. В этом случае
будет представлять собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Утверждение, что несобственный интеграл
сходится при
, означает следующее. При каждом фиксированном интеграл
(здесь
). Это значит, что для каждого
из
по любому
можно указать
такое, что при условии
выполняется
. Важно отметить, что число
выбирается по
, и для каждого
оно будет своим, другими словами,
зависит и от
, и от
:
. Если же можно указать такое
, зависящее только от
, такое, что при выполнении условия
будет верно
сразу для всех
, несобственный интеграл
называется равномерно сходящимся относительно параметра.
Короче говорят, интеграл
называется равномерно сходящимся по переменной
на
, если он сходится при
и выполняется цепочка .
Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.
Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2).
Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по
необходимо и достаточно, чтобы:
,
.
Теорема 4.
Пусть функция
определена в области
и удовлетворяет следующим условиям:
1. функция
непрерывна по
, при
;
2. существует такая функция
, что
,
и .
3.
- сходится
НИЗП-2
сходится равномерно по
на
.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.
Пример.
Исследовать на равномерную сходимость интеграл
.
Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.
1.
определена и непрерывна в области
;
2. существует функция
,
, для любого
;
3.
, то есть сходится.
Так как все условия выполнены, то интеграл
сходится равномерно относительно
на любом промежутке
.
Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.
В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:
Теорема 1.
Пусть функция
, определенная на прямоугольнике
, удовлетворяет условиям:
1. функция
по
на промежутке
;
2.
равномерно стремится к
при
по
, где ;
3. интеграл
сходится равномерно по
на
.
В результате справедливо равенство
(1)
Доказательство.
Функция
будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого
найдется такое
, что
, для
, но только
. Переходя к пределу при
под знаком интеграла, получим
. Значит
интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем
.
Если взять произвольное число
, зафиксировать число
так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше
, а затем приблизить
к
, чтобы первое слагаемое стало меньше
. Тогда получим
, что приводит к равенству (1).
Ч.т.д.
Следствие.
Пусть функция
неотрицательна и непрерывна по
, при
, и монотонно возрастая, стремится к
с возрастанием
. Если функция
непрерывна и интегрируема на промежутке
, то справедлива формула (1).
Простым следствием из теоремы 1 является теорема о непрерывности интеграла по параметру.
Теорема 2.
Пусть функция
определена и непрерывна для значений
и значений
. Если
сходится равномерно относительно
на
, тогда
- непрерывная функция от параметра
в этом промежутке.
Доказательство (аналогично теореме для собственных интегралов).
По теореме Кантора при
и
функция
равномерно непрерывна, а значит если
- это любое фиксированное из
значение, то наша функция равномерно, относительно
, стремится к
при
. Так как
сходится равномерно, то по т.1 следует
,
значит интеграл
- непрерывная функция.
Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП
Чтобы выяснить интегрируема ли функция
по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.
Теорема 1.
Пусть функция
определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве
Если интеграл
сходится равномерно по
на
, то справедлива формула
. (1)
Доказательство.
При любом
выполняется равенство
. (2)
Так как функция
непрерывна при
и
, по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что
(3)
Тогда из (2)
.
Так как
сходится равномерно, то при произвольном
будет
. В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:
в силу (3)
. Последнее означает, что
.
Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная
. То есть справедлива формула (1).
Ч.т.д.
Следствие.
Если непрерывная функция
неотрицательная при
и интеграл
непрерывен по
на
, то имеет смысл формула (1).
Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле
.
Чаще всего такую перестановку сложно проделать.
Теоремы 2.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна при
,
, интегралы
и
(*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.
Замечание.
Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по
и
соответственно.
Пример.
Проинтегрируем функцию
.
Имеем
. Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим
, где
- любое конечное число. По теореме т. 1 п. 3
.
Следовательно, интегрируя обе части равенства по
от 0 до
, будем иметь
.
Но
(это равенство установлено для
; оно верно и при
, если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного
примет вид:
.
Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру
Теорема 1.
Пусть функция
определена и непрерывна по
на промежутке
,
. Она имеет там непрерывную частную производную
, интеграл
сходится при каждом
на
, а
сходится равномерно. Тогда справедлива формула
. (*)
Доказательство.
Так как
непрерывна и
сходится равномерно относительно
на
, то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1)
и получим:
Откуда
. Производная правой части последнего равенства существует и равна
, значит существует производная и у левой части, причем
. Это равенство установлено для
, что выполняется формула (*).
|