МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид
, (2.1.1)
(2.1.2)
где
мерный вектор параметров состояний;
мерный вектор управляющих воздействий;
мерный вектор возмущающих воздействий;
l- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности
; В – матрица управлений размерности
; Г – матрица возмущений размерности
; С – матрица выходов размерности l
n; D – матрица компенсаций (обходов) размерности lm.
Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:
, (2.1.3)
где
- экспоненциал матрицы А.
Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход».
Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 2.2.1
Определить переходные процессы в системе
(2.2.1)
, (2.2.2)
под действием ступенчатых воздействий по каналам управления
и возмущения
.
Решение
В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме
. (2.2.3)
Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0
=0, представим выражение (2.2.3) в виде
. (2.2.4)
Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения
, то есть
и
.
Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен
. (2.2.5)
Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем
=
.
Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:
.
УСТОЙЧИВОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (
), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения
(3.1.1)
Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj
=λj
(A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλj
. Если Reλj
<0, то система асимптотически устойчива.
Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде
n
n
-1
n
n
0. (3.1.2)
Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).
.
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0
>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI
>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица
Δn
=αn
Δn
-1
(3.1.3)
при Δn
-1
>0 сводится к положительности свободного члена αn
характеристического уравнения.
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 3.2.1
Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями
, (3.2.1)
. (3.2.2)
Решение.
Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)
, (3.2.3)
решение которого дает следующие корни:
.
Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.
Задача 3.2.2
Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями
,
, (3.2.4)
. (3.2.5)
Решение.
Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)
. (3.2.6)
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:
. (3.2.7)
Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица
. (3.2.8)
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3
равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi
>0 (i=1,2,3)
,
.
В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.
Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.
УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc
размерности
равен n, то есть
rank
n, (4.1.1)
где
. (4.1.2)
Если rank
<n, то система будет частично управляемой, а при rank
=0 – полностью неуправляемой.
Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости
размерности
равен l то есть
rank
=l, (4.1.3)
где
. (4.1.4)
Если rank
<l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank
=0 – полностью неуправляемой.
Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний.
4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 4.2.1
Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями
,
(4.2.1)
. (4.2.2)
Решение.
В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
Следовательно, матрица управляемости имеет вид
,
и ее ранг rank
2, то есть настоящая система полностью управляема по состояниям.
Задача 4.2.2
Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями
,
.
Решение.
В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
.
Следовательно, матрица управляемости имеет вид
,
и ее ранг rank
=2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам.
5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Наблюдаемость системы (2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L0
размерности
равен n, то есть
rank
n, (5.1.1)
где
. (5.1.2)
Если rank
<n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rank
=0 – полностью ненаблюдаемой.
5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 5.2.1
Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями
.
Решение.
В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид
,
и ее ранг rank
|