Математический факультет
Кафедра информатики и прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.
Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Векторным временным рядом
(r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
.
Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом
=
называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве
, где
,
,
- некоторое параметрическое множество.
Если
, или
- подмножество из
, то говорят, что
,
- случайный процесс с дискретным временем
.
Если
, или
подмножество из
, то говорят, что
,
- случайный процесс с непрерывным временем.
Введем характеристики случайного процесса
,
, во временной области.
Математическим ожиданием
случайного процесса
,
, называется функция вида
,
где
.
Дисперсией
случайного процесса
,
, называется функция вида
,
где
.
Спектральной плотностью
случайного процесса
,
, называется функция вида
=
,
,
при условии, что
.
Нормированной спектральной плотностью
случайного процесса
называется функция вида
где
, если
и
, если .
Из определения видно, что спектральная плотность
непрерывная, периодическая функция с периодом, равным
по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией
случайного процесса
,
, называется функция вида
.
Смешанным моментом
го порядка
,
, случайного процесса
,
, называется функция вида
,
, .
Заметим, что
,
.
Лемма 1.1.
Для любого целого р справедливо следующее соотношение
.
Доказательство.
Если
, то доказательство очевидно. Рассмотрим случай
. Воспользуемся формулой Эйлера
тогда
Лемма доказана.
Пусть
- значения случайного процесса
в точках
. Введем функцию
,
которую будем называть характеристической функцией
, где
- ненулевой действительный вектор,
,
.
Смешанный момент
го порядка
,
, можно также определить как
,
, .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом)
го порядка
,
, случайного процесса
,
, называется функция вида
,
, ,
которую также будем обозначать как
.
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами
го порядка,
, существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
,
,
где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества
,
,
,
, .
При
,
,
.
При
Спектральной плотностью
случайного процесса
,
, называется функция вида
=
, ,
при условии, что
Из определения видно, что спектральная плотность
непрерывная, периодическая функция с периодом, равным
по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью
го порядка,
, случайного процесса
,
, называется функция вида
=
, ,
при условии, что
.
Теорема 1.
Для смешанного семиинварианта
го порядка,
, случайного процесса
справедливы представления
,.
Пусть
- случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве
, и
- мерная функция распределения, где
Случайный процесс
называется стационарным в узком смысле
(строго стационарным), если для любого натурального
, любых
и любого
, такого что
выполняется соотношение
где
Возьмем произвольное
. Пусть
, тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП
, смешанный момент
го порядка,
, будем обозначать
Смешанный семиинвариант
го порядка,
, стационарного в узком смысле СП
будем обозначать
Случайный процесс
, называется стационарным в широком смысле
, если
и
Замечание 1.
Если
, является стационарным в узком смысле СП и
то
, является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью
стационарного случайного процесса
, называется функция вида
,
при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью
- го порядка
,
, стационарного СП
, называется функция вида
при условии, что
Для смешанного семиинварианта
-го порядка,
, стационарного СП
справедливо следующее соотношение
.
Для
эти соотношения примут вид
.
2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс
,
, с математическим ожиданием
,
, взаимной ковариационной функцией
, и взаимной спектральной плотностью .
Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений
за составляющей
, рассматриваемого процесса
. Как оценку взаимной спектральной плотности в точке
рассмотрим статистику
(2.1)
где
, - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция,
для
, а
(2.2)
s – целое число,
- целая часть числа
.
Статистика
, называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
(2.3)
определено равенством (2.2).
Предположим, если оценка
взаимной спектральной плотности
, построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде
(2.4)
где
некоторые действительные функции, не зависящие от T,
В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику
,
и исследуем первый момент построенной оценки.
Математическое ожидание построенной оценки будет следующее
Использовав соотношение (2.4), получим
где
Поскольку
следовательно, оценка
является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как
.
Так как равенство (2.4) справедливо и при
, то, рассматривая оценку
где
, то оценка
является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на
. Далее рассмотрим оценку
(2.5)
Найдем математическое ожидание построенной оценки :
где
Следовательно, оценка
является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как
.
Найдем явный вид коэффициентов
в представлении (2.4),
Видим, что
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1
.
Оценка
взаимной спектральной плотности
стационарного в широком смысле случайного процесса
, задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению
,
,
при условии, что справедливо соотношение (2.4) для
При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида
(2.6)
где
задаются соотношением
3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
В соотношении (2.3) введена функция
, называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
(3.1)
называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что
Характерное поведение функции
состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при
.
Примеры окон просмотра данных:
1.
1 – окно Дирихле;
2.
1-
– окно Фейера;
3.
;
4.
– окно Хэннинга;
5.
– окно Хэмминга;
6.
– окно Хэмминга;
7.
, где
– окно Хэмминга;
8.
1-
– окно Рисса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида
где
, а периодограмма задана следующим соотношением
Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.
2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.
3. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.
4. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.
5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле
Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса
Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера
Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса
Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3
Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса
Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга
Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса
Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5
Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса
Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6
Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса
Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7
Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса
Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса
Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса
|