Главная              Рефераты - Математика

Шпаргалка по Геометрии - шпаргалка

1. Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X1 ,X2 ,...Xn } вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1 ,X2 ,X3 ). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB |=|a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А ||В. б) l>0, то А ­­В, l<0, то А ­¯В . в)l>1, то А <В , )l<1, то А >В . 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n=a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c , который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а .

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС =OA +OB, OA =x*i , OB =j*y, OC =xi +yj . Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами.

а1 i +y1 j +z1 k ; b2 i +y2 j +z2 k

l*a =l(х1 i +y1 j +z1 k )= l(х1 )i +l (y1 )j +l(z1)k

a ±b =(x1 ±x2 )i +(y1 ±y2 )j +(z1 ±z2 )k

ab =x1 x2 ii +y1 x2 ij +x2 z1 ki +x1 y2 ij +y1 y2 jj + z1 y2 kj +x1 z1 ik +y1 z2 jk +z1 z2 kk =x1 x2 +y1 y2 +z1 z2

ii =1; ij =0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа =x2 +y2 +z2 =|a |2 a {x,y,z}, aa =|a |*|a |, то a 2 =|a | 2

ab =|a|*|b|*cosj

а)ав =0,<=>а ^в , x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 =0

б)а ||в - коллинеарны, если , x1 /x2 =y1 /y2 =z1 /z2

5. Скалярное произведение векторов и его свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а ,в )- скалярное произведение. а *в =|а |*|в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

6. Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а ,в ,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с , который удовлетворяет условиям: 1. |c |=|a |*|b |*sinj. 2. c ^a и c ^b . 3. тройка а ,в ,с -правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a *b *c =[a *b ]*c =a *[b *c ], где

a ={ax ,ay ,az }

b ={bx ,by ,bz }

c ={cx ,cy ,cz }

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a *b *c =-b *c *a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a *b *c =c *a *b =b *c *a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a *b *c =0

б)если некомпланарные вектора a ,b ,c привести к 1 началу, то |a *b *c |=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a *b *c >0, то тройка a ,b ,c - правая

если a *b *c <0, то тройка a ,b ,c - левая

8. Уравнение линии и поверхности.

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.

O(a,b,c)

|OM |=r, OM ={x-a,y-b,z-c}

r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 - уравнение сферы. x2 +y2 +z2 =r2 - ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение окружности

|OM |=r, OM ={x-a,y-b)

r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 - ур-е окружности

а=b=0, то x2 +y2 =r2

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

9. Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N -вектор нормали

M 0 M {x-x0 ,y-y0 ,z-z0 }

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^M 0 M (т.е. N *M 0 M =0)

A(x-x0 )+B(y-y0 )+С(z-z0 )=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

10. Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax0 -By0 -Сz0 =0

-Ax0 -By0 -Сz0 =D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

11. Взаимное расположение плоскостей.

N 1 ,N 2 -нормальные векторы плоскости.

P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0

Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0

P^Q{A1 ,B1 ,C1 }

Q^N 2 {A2 ,B2 ,C2 }

1)Пусть P^Q<=>N1 ^N 2

A1 A2 +B1 B2 +C1 C2 =0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N 1 ^N 2

A1 /A2 =B1 /B2 =C1 /C2 - Условие параллельности 2х плоскостей.

A1 /A2 =B1 /B2 =C1 /C2 =D1 /D2 - Условие совпадения 2х плоскостей.

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

M0 M {x-x0 ,y-y0 ,z-z0 }

Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M 0 M ||S

13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

lmn

S {x2 -x1 ,y2 -y1 ,z2 -z1 }

14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0

Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M0 (x0 ,y0 ,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S -?

P^N1 {A1 ,B1 ,C1 }

Q^N1 {A2 ,B2 ,C2 }

S =N1 *N2

16. Взаимное расположение прямой на плоскости.

P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0^N1 {A1 ,B1 }

Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0^N2 {A2 ,B2 }

а)

то

б)

p­­q<=> N1 ||N2 , то A1 /A2 =B1 /B2

в)

p||q<=> N1 ^N2 , то A1 A2 +B1 B2 =0

17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M0 (x0 ,y0 )

M0 M {x-x0 ,y-y0 }

n*M0 M =0

A(x-x0 )+B(y-y0 )=0

Ax+By-Ax0 -By0 =0

-Ax0 -By0 =C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y1 =k1 (x-x1 )

y=k1 x-k1 x1 +y1

y1 -k1 x1 =b

y=k1 x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M1 (x1 ,y1 ), M2 (x2 ,y2 ) и x1 ¹x2 , y1 ¹y2 . Для составления уравнения прямой М1 М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1 : y-y1 =k(x-x1 ). Т.к. М2 лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1 : y-y1 =k(x-x1 ) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и ^ .

а)

S1 {l1 ,m1 } S2 {l2 ,m2 },

или

p:y=k1 x+b1 , k1 =tgj1

q:y=k2 x+b2 , k2 =tgj2 =>tgj=tg(j2 -j1 )=

=(tgj2 -tgj1 )/(1+ tgj1 tgj2 )=

=(k2 -k1 )/(1+k1 k2 ).

б) p||q, tgj=0, k1 =k2

в)p^q,то

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M0 (x0 ,y0 )

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23. Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x2 +b2 =a2 - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x2 /a2 -y2 /b2 =1

в) ур-е параболы: y2 =2px или y=ax2

г) ур-е сферы: x2 +y2 +z22 (r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 )

д) ур-е эллипса: x2 /a2 -y2 /b2 +z2 /c2 =1

24. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2 , где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y2 =2px-симметрично отн. оси ОХ

х2 =2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2 .

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx2 +Cy2 =d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2 +y22

Точки F1 (-c,0) и F2 (c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A1 ,A2 ,B1 ,B2 -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

26. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2 +Cy2 =d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2 /a2 -y2 /b2 =1, F1(c,o) и F2 (-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x2 /a2 -y2 /b2 =0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x2 /a2 -y2 /b2 =-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

27. Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа

Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x 1 2 3
y 4 5 8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xn - степенная

2. y=ax - показательная

3. y=loga x - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.

29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U1 ,U2 ,...Un , а Un =n/(n2 +1)

Предел: число а называется пределом переменной xn , если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |xn -a|<e

limxn =a

n®¥

-e<Xn -a<e

a-e<Xn <a+e

б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.

30. Основные теоремы о пределах.

1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.

x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.

2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+a

y=b+b, где a и b - б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то

­сумма б.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+a, y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b)

31. 1й, 2й замечательный пределы.

1 й : limsinx/x=1, limx/sinx=1. x ® 0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

SD OAC <Sсектора OAC <SD OCB

SD OAC =1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

SD OAC =1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

Sсектора OAC =1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

SD OCB =1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina<a<tga//:sin

1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,

limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку

a®0 a®0 существования

предела ф-ции

lim((Sina)/a)=1

a®0

2ой: lim(1+1/n)n =e»2.7183

n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®¥a®0

lim(1+1/n)1/ a =e

a®0

32. Основные приемы нахождения пределов.

1. Подстановка: при х®х0 и х0 Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0

limf(x)=f(x0 )

x®x0

2. Сокращение: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1

x®¥

lim(1+1/n)x =e

x®¥

33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.

x=x0 +Dx, Dx=x-x0

Dy=f(x0 +Dx)-f(x0 )

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0 , если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x0 )]=limf(x)-limf(x0 )=0, то

limf(x)=limf(x0 )

x®x0

Ф-ция непрерывна в точке х0 , если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.

а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A

j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а

б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn +1 >xn )

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn <=M.

35. Бесконечно малые величины и их св-ва:

величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

36. Бесконечно большие величины и их св-ва.

б.б.в - величина для которой |Xn |®¥ (при xn =1/n, n®0, то xn ®¥)

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке minm и maxM (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0 , то их сумма, произведение, частное (при j(х0 )¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0 , и f(x0 )>0, то существует окрестность х0 , в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U0 , а U=j(x) непрерывна в U0 =j(x0 ), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х0 .

39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.

1. ncp. =DS/Dt, n=lim(DS/Dt), гдеDt®0

2. pcp. =Dm/Dl, pT =lim(Dm/Dl), гдеDl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x2 , Dy=(x+Dx)2 -x2 =x2 +2xDx+Dx2 -x2 =Dx(2x-Dx),

(x2 )`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga0 =y`

a®a0

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0 =y`, a®a0 )

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0 .

40. Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

41. Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или yx `=yU `*Ux `, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

42. Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy `=1/yx `.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx `=1/xy или f`(x)=1/j`(x)

Например:

43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

45. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.

y=[f(x)]j ( x ) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=xx (lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xn , nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1

y`=y*n*(x-1 )=n*xn *x-1 =n*xn-1

2.y=eU , где U=sinx

U`=cosx, y`=(eU )`=eU *U`=esinx *cosx.

47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f(n) (x)=[f(n-1) (x)]`

48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x2 -1 - явные

F(x,y)=0, a2 =x2 +y2 - неявные ф-ции.

1)a2 =x2 +y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x3 -3xy+y3 =0

3x3 -3(xy)`+3y2 *y`=0 //:3

x2 -(x`y+y`x)+y2 *y`=0

y`y2 -xy`=y-x2

y`=(y-x2 )/(y2 -x)

49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0 ,f(x0 )) при изменении x0 на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2 .

50.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

51 . Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

52. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

53 . Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x2 >x1 , f(x2 )>f(x1 ), то ф-ция монотонно возрастает

Если x2 >x1 , f(x2 )<f(x1 ), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x1 <a<x2 , x2 -x1 >0, x2 >x1

1. если f`(a)>0, то f(x2 )>f(x1 )

2. если f`(a)<0, то f(x2 )<f(x1 )

3. если f`(a)=0, то f(x2 )=f(x1 )

54 . Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума:ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательных).

Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х0 - т. max

- если с “-” на “+”, то х0 - т. min

55 . Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0 .

56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1 ,x2 ...xn ), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M0 (x1 0 , x2 0 ,... xn 0 ), M(x1 , x2 ,... xn )

Ф-ция f(M)=f(x1 , x2 ,... xn ) имеет предел А при М0 ®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M0 M |=d, то |f(M)-A|<e

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0 , если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x1 0 , x2 0 ,... xn 0 )=limf(x1 , x2 ,... xn )

x1 0 ® x1

x2 0 ® x2

xn 0 ® xn

58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x0 ,y0 )

Dz=f(x0 +Dx, y0 +Dy)-f(x0 ,y0 ) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x0 +Dx, y)-f(x0 , y0 )

DyZ=f(y0 +Dy, x)-f(x0 , y0 )

Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Zx `*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Zy `*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=dx Z+dy Z=Z`x dx +Z`y dy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``XX =(Z`x )`x ; Z``yy =(Z`y )`y

Z``Xy =(Z`x )`y =(Z`y )`x

60 . Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M0 (x0 ,y0 ), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0 ,y0 ), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0 ,y0 ), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x1 ,x2 ,...xn ), то ¶Z/¶xi =0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``XX (x0 ,y0 ), C= Z``yy (x0 ,y0 ), B= Z``yx (x0 ,y0 ),

1) если D>0, то М0 - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М0 - точка max;

если А>0 или С>0, то М0 - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты