Задание 1
Вычислите
и
последовательности
.
Решение.
Рассмотрим последовательность
.
для любого натурального
Следовательно, множество
является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность
имеет верхнюю точную грань:
.
Следовательно, множество
не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань
последовательности
не существует.
Ответ.
не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
.
Доказательство.
Число
называется пределом последовательности
, если для любого положительного числа
существует номер
такой, что при
выполняется неравенство .
Используя определение предела последовательности, докажем, что
.
Возьмем любое число
.
Если взять
, то для всех
будет выполняться неравенство
. Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что
.
Доказательство
Число
называется пределом функции
при
, если для любого числа
существует число
такое, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство .
Используя определение предела функции, докажем, что
.
Возьмем любое
.
Положим
.
Если взять
, то для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
. Следовательно, .
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 5
Вычислите предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 6
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 7
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 8
Вычислить предел
.
Решение
Ответ.
Задание 9
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 10
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 11
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 12
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 13
Вычислить предел
.
Решение.
Ответ.
Задание 14
Вычислить предел
.
Решение.
при
функция
является бесконечно малой
для любого
функция
является ограниченной.
Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция
является бесконечно малой при
. Это означает, что
.
Ответ.
|