sin
и
cos
суммы и разности двух аргументов
sin(a±b)=sin a·cosb±sinb·cosa
cos(a±b)=cosa·cosb`+sin a·sinb
tg
a
±
tg
b
tg (a±b) = 1±tg a· tg b
tg (a±b) =
=ctg
a
·
c
tg
b
`
+ 1
=1
±
tg
a
·
tg
b
ctg b± ctg atg a± tg b
Тригонометрические функции двойногоаргумента
sin2x=2sinx cosx
cos 2x = cos2x - sin2x=
= 2cos2x-1=1-2sin2x
tg2x=2 tgx
1 - tg2x
sin 3x =3sin x - 4 sin3x
cos 3x= 4 cos3 x - 3 cos
ВАЖНО: знак перед корнем зависит от того, где нах-ся угол Ѕ x:
sin Ѕ x=±1-cosx
2
cosЅ x=±1+cosx
2
NB! Следующие формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)
tgЅ x=sinx
=1-cosx
=±1-cosx
1+cosx sinx 1+cosx
сtgЅ x=sinx
=1+
cosx
=±1+
cosx
1-cosx sinx 1-cosx
Формулы понижения степени:
sin2 x = 1– cos 2x
2
cos2 x = 1+ cos 2x
2
sin3 x = 3 sin x – sin 3x
4
cos3 x = 3 cos x + cos 3x
4
Преобразование произведения двух функций в сумму:
2 sinx siny = cos(x-y) – cos(x+y)
2 cosx cosy = cos(x-y)+cos(x+y)
2 sinx cosy = sin(x-y) + sin (x+y)
tgx tgy =tgx + tgy
ctgx + ctgy
ctgx ctgy =ctgx + ctgy
tgx + tgy
tgx ctgy =tgx + ctgy
ctgx + tgy
NB! Вышеперечисленные формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)
sinx ± siny= 2sinx
±
y
cosx
`
+
y
2 2
cosx + cosy =2cos x+y
cosx-y
2 2
cosx - cosy = - 2sin x+y
sinx-y
2 2
tgx ± tgy= sin(x
±
y)
cosx cosy
tgx + сtgy= cos(x-y)
cosx siny
ctgx - tgy= cos(x+y)
sinx cosy
ctgx±ctgy= sin(y
±
x)
sinx siny
sin x = 1 x= Ѕp+2pn, nÎ Z
sin x = 0 x= pn, nÎ Z
sin x = -1 x= -Ѕp+2pn, nÎ Z
sin x = a , [a]≤ 1
x = (-1)karcsin a + pk, kÎ Z
cosx=1 x=2pn, nÎ Z
cosx=0 x= Ѕp+pn, nÎ Z
cosx= -1 x=p+2pn, nÎ Z
cosx= -Ѕ x=±2/3 p+2pn, nÎ Z
cosx = a , [a]≤ 1
x=±arccos a + 2pn, nÎ Z
arccos(-x)=p- arccos x
arcctg(-x)= p - ctg x
tg x= 0 x= n, nÎ Z
ctg x= 0 x=Ѕp+p n, nÎ Z
tg x= a x= arctg a +pn, nÎ Z
ctg x = a x=arcctg a + pn, nÎ Z
Знаки тригонометрических функций в четвертях:
| №\f(a) |
sin |
cos |
tg |
ctg |
| I |
+ |
+ |
+ |
+ |
| II |
+ |
- |
- |
- |
| III |
- |
- |
+ |
+ |
| IY |
- |
+ |
- |
+ |
aрад =p×a°/180°; a°=a°× 180°/p
Формулы
приведения
| – a |
p/2 ±a |
p±a |
3/2 p±a |
2p – a |
| sin |
-sin a |
cos a |
`+sin a |
- cos a |
- sin a |
| cos |
cos a |
`+sin a |
- cos a |
± sin a |
cos a |
| tg |
- tg a |
`+ ctg a |
± tg a |
`+ ctg a |
- tg a |
| ctg |
- ctg a |
`+ tg a |
±ctg a |
`+ tg a |
-ctg a |
Значения тригонометрических
функций основных углов:
| 0 |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
| p / 6 |
p /4 |
p /3 |
p /2 |
p |
3p/2 |
| sin |
0 |
Ѕ |
Ö2 / 2 |
Ö3 / 2 |
1 |
0 |
– 1 |
| cos |
1 |
Ö3 / 2 |
Ö2 / 2 |
Ѕ |
0 |
-1 |
0 |
| tg |
0 |
Ö3 / 3 |
1 |
Ö3 |
- |
0 |
- |
| ctg |
– |
Ö3 |
1 |
Ö3 / 3 |
0 |
- |
0 |
|