Транспортная задача и задача об использовании сырья
1. Решить задачу об использовании сырья геометрическим способом и симплекс методом, дать экономическую интерпретацию.
Геометрический способ.
Пусть
количество выпускаемой продукции первого вида, тогда
количество выпускаемой продукции второго вида. Прибыль от реализации всей продукции составляет
.
Цель задачи (максимализация прибыли) запишется в виде
Структура всех трёх ограничений одинакова
Перейдём из неравенств к уравнениям
Построим прямые на плоскости
Многоугольник решений
. Для нахождения максимума функции
построим начальную прямую
и вектор
. Передвигая прямую
вдоль вектора
получим, что максимальное значение наша прямая принимает в точке
точке пересечения прямых
и .
.
Симплекс метод.
Приведём систему неравенств к системе уравнений
Целевая функция – функция прибыли
Составим симплекс таблицу:
- Первое ограничение запишем в первую строку
- Второе ограничение запишем во вторую строку
- Третье ограничение запишем в третью строку
Целевую функцию запишем в
строку
| Б |
З |
|
|
|
|
|
|
|
75 |
5 |
3 |
1 |
0 |
0 |
|
|
83 |
4 |
7 |
0 |
1 |
0 |
|
|
50 |
1 |
5 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
В строке
есть отрицательные
начальный план не оптимален. Найдём наименьший отрицательный элемент строки
. Переменная
будет включена в базис. Столбец переменной
– ведущий. Подсчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное
третья строка ведущая, а элемент
разрешающий. Следовательно переменная
выйдет из базиса.
Проведём одну интеракцию метода замещения Жордано-Гаусса. Столбцы. Разрешающий элемент
равен
поделим третью строку на 5, столбец
сделаем единичным для этого третью строку умножим на
и прибавим к первой строке, третью строку умножим на
и сложим со второй строкой; третью строку сложим со строкой
. Получим новую симплексную таблицу
| Б |
З |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
13 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
10 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
50 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
В строке
есть отрицательные
план не оптимальный. Рассчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное
вторая строка ведущая
разрешающий
Следовательно, переменная
выйдёт из базиса. Так как разрешающий элемент
, поделим строку, соответствующую переменной
на
. Элементы столбца, соответствующего переменной
отличны от элемента
сделаем нулевыми, для этого вторую строку умножим на
и прибавим к первой; вторую строку умножим на
и прибавим к третьей; вторую строку умножим на
и прибавим к строке
. Получим новую симплексную таблицу
| Б |
З |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
9 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
65 |
0 |
0 |
0 |
|
|
В строке
есть отрицательный элемент – пересчитываем таблицу. Рассчитываем симплексные отношения и найдём среди них минимальные
первая строка ведущая
разрешающий элемент
переменная
выйдет из базиса. Сделаем элемент
единичным, для этого поделим первую строку на
. Столбец, соответствующий переменной
сделаем единичным для этого первую строку умножим на
и прибавим ко второй строке. Первую строку умножим на
и прибавим к третьей. Первую строку умножим на
и прибавим к строке
. Получим новую симплексную таблицу.
| Б |
З |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
12 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
5 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
73 |
0 |
0 |
|
|
0 |
Так как в строке
все элементы неотрицательны, то найден оптимальный план
Оптимальный план найденный геометрическим способом и симплексным методом совпадают. Предприятию необходимо выпускать 12 единиц продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида. В этом случае предприятие получит прибыль
денежных единиц.
2. Решить транспортную задачу распределительным методом, оценивая свободные клетки по методу потенциалов.
|
60
|
50
|
85
|
75
|
| 65 |
8 |
10 |
6 |
5
65
|
| 80 |
4
30
|
3
50
|
5 |
9 |
| 35 |
11
25
|
4 |
4 |
8
10
|
| 90 |
5
5
|
5 |
3
85
|
6 |
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи
Потребность в грузе равна запасам груза
задача закрытая, следовательно, имеет единственное решение.
Используя метод наименьшей стоимости заполним таблицу.
Среди тарифов наилучшим является
и
. Направим например,
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
Запасы поставщиков исчерпаны, запросы потребителей удовлетворены полностью. В результате получили первый опорный план. Подсчитаем число занятых клеток таблицы их 7, а должно быть
опорный план не вырожденный.
Определим значение целевой функции первого опорного плана
Проверим оптимальность плана.
Найдём потенциалы
и
по занятым клеткам таблицы
Пусть
, тогда:
Подсчитаем оценки свободных клеток
Первый опорный план не является оптимальным так как
.
Переходим к его улучшению. Для клетки
строим цикл перераспределения
В результате получили новый опорный план
|
60
|
50
|
85
|
75
|
| 65 |
8 |
10 |
6 |
5
65
|
| 80 |
4
55
|
3
25
|
5 |
9 |
| 35 |
11
|
4
25
|
4 |
8
10
|
| 90 |
5
5
|
5 |
3
85
|
6 |
Определим значение целевой функции
Проверим оптимальность плана
Подсчитаем оценки свободных клеток
План близок к оптимальному.
При дальнейшем перераспределении груза, задача входит в циклическую фазу, план не улучшается. Таким образом, полученное решение является наиболее оптимальным для нашей задачи
|