Структура аффинного пространства над телом
1.
Введение
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства
. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований
, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем
Определение 1.1
. Пусть
- некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и
- ее нейтральный элемент.
Говорят, что
действует слева
на множестве
, если определенно отображение
,
, такое, что набор отображений
,
удовлетворяет условиям
и
.
(1)
Аналогично говорят, что
действует на
справа,
если определено отображение
,
, такое, что набор отображений
,
удовлетворяет условиям
и
. (1/
)
Соотношения (1) (соответственно (1/
)) показывают, что
( соответственно
)- это биекции
на
и что
(соответственно ).
Например, любая группа
действует сама на себе слева левыми сдвигами
:
и справа правыми сдвигами
:
.
Группа
действует на себе слева также внутренними автоморфизмами
:
.
Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева
.
Понятно, что для коммутативной группы
оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2.
Пусть группа
действует слева на множестве
с законом действия
. Говорят, что
действует на
транзитивно
, если для любой пары
элементов
существует хотя бы один элемент
, такой, что
; далее, говорят, что действие
просто транзитивно
, если этот элемент
всегда единственный
.
Пример
. Линейная группа
автоморфизмов
действует транзитивно на
, но это действие не является просто транзитивным, кроме случая .
Определение 1.3.
Пусть группа
действует слева на множестве
. Стабилизатором
подмножества
множества
называется множество
.
Непосредственно ясно, что
- подгруппа группы
. Если множество
состоит из одного элемента
, то это подгруппа называется группой изотропии элемента .
Замечание
. Стабилизатор
является пересечением двух множеств
и
, которые не обязаны быть подгруппами
. Например, если
действует на себе трансляциями и
- положительная полуось, то
не является подгруппой, а .
Определение 1.4.
Пусть
- группа, действующая слева на
; орбитой
элемента
называется образ
при отображении
.
Если
действует на
транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с
.
Замечание
. На
можно определить отношение эквивалентности
, полагая
, если существует элемент
, такой, что
; классы эквивалентности являются орбитами элементов
; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит
.
Однородные пространства
Определение 1.5.
Однородным пространством
, ассоциированным с группой
, называется множество
, на котором определено транзитивное
действие группы
.
Пример
(типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.
Пусть
- группа,
- ее подгруппа,
- фактормножество, образованное левыми смежными классами
относительно
: элементы
из
объявляются эквивалентными, если существует элемент
, такой, что
; класс эквивалентности элемента
есть множество
элементов вида
, где .
Действие слева
группы
на
определяется с помощью
; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество
является однородным пространством
относительно этого действия.
Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.
Теорема 1.1.
Пусть
- однородное пространство, ассоциированное с группой
, и для любого
пусть
- группа изотропии
. Тогда существует единственная биекция
факторпространства
на
, такая, что для всех
выполнено
, где
- каноническая проекция и
- действие
на .
Доказательство
. Соотношение
равносильно
и, значит,
или
; следовательно, отображение
,
переносится на фактормножество и представляется в виде
, где - биекция.
Специальный случай
Если группа
действует на
просто транзитивно
, то группы изотропии
тривиальны; для каждой точки
отображение
,
является биекцией, удовлетворяющей условию .
Эта биекция
позволяет перенести на
структуру группы
,
которая, однако, будет зависеть от выбора точки
, т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого,
допускает структуру группы, изоморфной
, при произвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.
2.Аффинные пространства
Определение 2.1.
Пусть
- векторное пространство над произвольным телом
. Аффинным пространством, ассоциированным
с
, называется множество ℰ
, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы
.
Это действие записывается обычно в виде
ℰ
ℰ
,
.
Для любого
биекция
ℰ
ℰ,
называется трансляцией
на вектор
; далее, для некоторой пары
элементов ℰ
единственный вектор
, такой, что
, обозначается
.
Чтобы отличить элементы ℰ
(называемые точками
) от элементов
(называемых векторами
), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как
, а ”векторы -строчными, например
; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.
Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.
Определение 2.2.
Аффинным пространством, ассоциированным с
, называется множество ℰ
, снабженное семейством биекций
, таких, что
a)
ℰ
и
;
b) для любой пары
ℰ
ℰ
существует единственный вектор
, такой, что
.
Определение 2.3.
Аффинным пространством, ассоциированным с
, называется множество ℰ
, снабженное отображением ℰ
ℰ
, обозначаемым
, таким, что
a) для каждого
ℰ
отображение ℰ
,
биективно
;
b) для любых точек
из ℰ
выполнено соотношение Шаля
.
Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки
ℰ
мы имеем
.
От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через
единственную точку
, такую, что
, и заметив, что соотношение Шаля равносильно
. Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки
ℰ
отображение
ℰ
,
есть биекция; эта биекция позволяет перенести на
ℰ
векторную структуру
.
Обозначения
. Полученная таким путем векторная структура на ℰ
будет называться векторной структурой с началом
; множество ℰ
с этой структурой будет обозначаться ℰ
A
.
Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ
- это те свойства векторного пространства ℰ
A
, которые не зависят от выбора точки
.
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ
. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть ℰ
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
. По определению, размерность ℰ
равна размерности
.
В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности
, ассоциированную с нулевым векторным пространством.
Аффинные подпространства
(Линейные аффинные многообразия)
Пусть ℰ
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
. Каждое векторное подпространство
пространства
образует подгруппу группы
, действующую на ℰ
трансляциями. По определению, орбиты действия
на ℰ
называются линейными аффинными многообразиями
(сокращенно ЛАМ) с направлением
. Группа
, действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с
; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами
в ℰ
.
Если
есть ЛАМ с направляющим подпространством
и
- точка
, то
допускает структуру векторного пространства с началом
и
есть векторное подпространство в ℰ
A
. Обратно, любое ВПП пространства ℰ
A
есть ЛАМ, проходящее через
; сформулируем
Предложение 3.1.
Аффинные подпространства в ℰ
, проходящие через точку
, суть векторные подпространства
векторного пространства ℰ
A
.
Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ
пространства ℰ
полностью определяется заданием множества точек
.
Другие определения.
Предложение 3.1
. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1.
Непустое подмножество
аффинного пространства ℰ
называется линейным аффинным многообразием
, если в
существует точка
, такая, что
является векторным подпространством
в
.
Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2.
Пусть
- непустое подмножество в ℰ
и
- точка
, такая, что
есть векторное подпространство
в
. Тогда для любой точки
из
множество
совпадает с .
Доказательство.
есть множество векторов
, где
; таким образом,
есть образ
при биекции
,
, и поскольку
, то .
Установив это, легко убедиться, что
наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством
, которое не зависит от точки
.
Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры
, можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием
на
: ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:
Определение 3.2.
Пусть
- векторное подпространство в
и
- отношение эквивалентности, определяемое на ℰ
с помощью
;
аффинными многообразиями с направлением
называются классы эквивалентности
по отношению
.
Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ
, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.
Случай векторного пространства.
Каждое векторное пространство
канонически снабжено аффинной структурой, так как
действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор
называется также ”началом” и
.
ЛАМ пространства
, проходящие через
, суть векторные подпространства в
; ЛАМ, проходящие через точку
, суть образы векторных подпространств
при параллельном переносе .
Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными
(поскольку они не являются ВПП в
).
Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ
; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность
ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой
(ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости
(ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности
суть точки ℰ
.
Аффинной гиперплоскостью
называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразий
Предложение 3. 3.
Пусть
- семейство аффинных подпространств в ℰ
и
для каждого
- направляющее подпространство для
.
Если пересечение
непусто, то оно является аффинным подпространством в
с направляющим
.
Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4.
Для того, чтобы пересечение
двух ЛАМ в ℰ
было непустым
, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки
и
, что
, и тогда
.
Доказательство.
Если
, то для любых
,
имеем
и
. Таким образом, .
Обратно, если существуют
и
, такие, что
, то можно представить
в виде
, где
,
. Тогда точка
, определяемая условием
, принадлежит
и, как легко видеть,
. Это доказывает, что
принадлежит также
, а тем самым не пусто.
Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5.
Если
,
- аффинные подпространства в ℰ
, направляющие которых взаимно дополняют
друг друга в
, то
и
имеют единственную общую точку
.
Параллелизм
Определение 3.3.
Говорят, что два линейных аффинных многообразий
,
вполне параллельны
, если они имеют одно и то же направляющее подпространство:
.
Более общо, говорят, что
параллельно
, если направляющие пространства
,
многообразий
,
удовлетворяют включению .
Можно проверить, что отношение ”
вполне параллельно (соответственно параллельно)
” равносильно существованию трансляции
пространства ℰ
, такой, что
(соответственно
).
Аффинное подпространство, порожденное подмножеством
пространства
ℰ
Предположение 3.6.
Если
- непустое подмножество в ℰ
, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ
, обозначаемое
, содержащее
и обладающее следующим свойством:
Любое аффинное подпространство
ℰ
, содержащее
, содержит и
.
Говорят, что
порождено
.
Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.:
есть пересечение всех ЛАМ, содержащих
. Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих
”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в
начальной точки
, что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ
A
, содержащего
(поскольку ЛАМ, содержащее
, являются ВПП в ℰ
). Таким образом,
есть ВПП в ℰ
A
, порожденное
; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки
в
. Если мы заметим, что направляющее подпространство для
есть ВПП в
, порожденное векторами
, то получим также
Предложение 3.7
. Пусть
- непустое подмножество в ℰ
; для каждой точки
положим
. Тогда векторное пространство
не зависит от выбора
и
есть ЛАМ, проходящее через
с направлением .
Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если
- конечное множество, то векторное пространство
не зависит от
и, следовательно, совпадает с
и
.
Отсюда вытекает
Предложение 3.8.
Размерность аффинного подпространства, порожденного
точками
пространства ℰ
не превосходит
; его размерность равна
тогда и только тогда, когда
векторов
(
) образуют свободное
семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.
Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств
В последующем ℰ
всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством
над, вообще говоря, некоммутативным телом
. ”Взвешенной точкой” называется элемент
ℰ
.
Теорема 4.1.
Для каждого конечного семейства (системы)
взвешенных точек, такого, что
, существует единственная точка
, удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):
a)
,
b)
ℰ
,
c)
ℰ
.
Эта точка называется барицентром
(центром тяжести) системы
. Мы обозначим ее
.
Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства. a) Однородность
(слева).
Предложение 4.2.
Для любого
имеем
b) Ассоциативность
.
Предложение 4.3.
Пусть
- разбиение
, т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств
, таких, что
.
Если для любого
скаляр
отличен от нуля и мы положим
, то
.
Доказательства получаются непосредственно
Замечания
. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы
, т.е.
равна 1. В этом и только в этом случае можно положить
.
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение
равносильно каждому из следующих утверждений:
и
ℰ
, (1)
ℰ
, (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром
конечного подмножества
пространства ℰ
называется точка
. Она существует только тогда, когда характеристика
не является делителем числа
.
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4.
Пусть
- конечное семейство взвешенных точек, таких, что
для всех
,
и .
Если характеристика
отлична от 2, то существует разбиение
множества
, такое, что
и
.
Доказательство
. Если одна из сумм
отлична от нуля, то достаточно положить
и
.
Если все суммы
равны нулю, то все
равны одному и тому же элементу
, такому, что
, где .
Если характеристика
отлична от 2, то
, и, поскольку
не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая
как двухэлементное подмножество, а
как подмножество из
элементов.
Следствие.
Если характеристика
не равна 2, то построение барицентра
точек приводится к последовательному построению
барицентров пар.
Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5
. Если
- непустое подмножество в ℰ
, то
есть множество барицентров
конечных семейств взвешенных точек с носителями в
.
Доказательство
. Уточним сначала, что под носителем семейства
понимается множество
.
Условившись об этом, выберем некоторую точку
в
. Барицентры семейства с носителями в
суть точки
, удовлетворяющие соотношению вида
, (3)
где
и
. При этом соотношение (3) влечет за собой
и поэтому
(см. предложение 3.7). Обратно, если
- точка из
, то найдутся точки
, принадлежащие
, и скаляры
( с суммой, необязательно равной 1), такие, что
; это соотношение также записывается в виде
с
и
;
таким образом,
есть барицентр системы с носителем в
.
Определение 4.1
. Подмножество
ℰ
называется аффинно порождающим
ℰ
, если
ℰ
; оно называется аффинно свободным
, если любая любая точка
из
единственным образом
представляется в виде
, где
и
при любом .
Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером
.
Выбирая начало
в
и пологая
, легко видеть, что
аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда
свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что
не зависит от выбора
.) Отсюда вытекает
Предложение 4.6.
Для того, чтобы подмножество
пространства ℰ
было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы
не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ
.
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
Предложение 4.7.
Если ℰ
- аффинное пространство конечной размерности
, то любой его аффинный репер образован
точками.
Обратно, для того, чтобы
точек в ℰ
образовали аффинный репер
, необходимо и достаточно, чтобы
векторов
образовали базис
, или (эквивалентное условие) чтобы точки
не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если
есть ЛАМ конечной размерности в ℰ
и
- аффинный репер в
, то
есть множество точек
с
. Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая
, соединяющая две точки
в ℰ
, есть множество точек
.
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества
точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит
.
Теорема 4.8
. для того, чтобы непустая часть
пространства
была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если
- любая прямая, соединяющая две точки
, содержалась в
;
b) если
- эвибарицентр любых трех точек
лежал в
.
Доказательство.
Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в
точку
и покажем, что
есть ВПП пространства .
a) Предположив, что
, установим прежде всего, что условия
и
влекут .
Действительно, по предположению существует точка
, такая, что
. Точка
, определенная условием
, принадлежит прямой (АВ
) и, значит,
, откуда следует, что
.
Рассмотрим далее два любых вектора
и
в
и выберем
(что возможно, так как
не сводится к
). Точки
и
(см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ)
и (АС)
, а поэтому и
. Следовательно, точка
принадлежит
, откуда
. Итак
есть ВПП в .
Рис. 1
b) Если
, то тривиальным образом
влечет
(так как
может принимать только два значения 0, 1). Если
,
- два вектора из
, то точка
, определяемая условием
, есть эквибарицентр
, откуда и вытекает наше утверждение.
Аффинные и полуаффинные отображения
Определение 5.1.
Пусть ℰ
,
- два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами
,
.
Отображение
ℰ
называется полуаффинным
(соответственно аффинным
), если в ℰ
существует такая точка
, что отображение
,
полулинейно
(соответственно линейно).
Предложение 5.1.
Если в ℰ
существует точка
, удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ
и отображение
не зависит от
.
Доказательство
. Для любой пары
ℰ
имеем в силу линейности
,
что и доказывает требуемое.
Обозначения
. Отображение
обозначается
и называется полулинейной (соответственно линейной) частью
.
Истолкование.
Фиксируем в ℰ
некоторую точку
и снабдим
,
векторными структурами, принимая за начало в ℰ
точку
, а в
- точку
. Тогда
будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если
- полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰА
в
.
В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ
в себя, допускающих неподвижную точку
, сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ
А
в себя.
Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).
Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.
Если
,
- два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение
и
есть отображение вида
, где
полулинейно (соответственно линейно), а
- постоянный элемент.
Непосредственные следствия
. Если
ℰ
полуаффинно, то
1) Образ ЛАМ в ℰ
есть ЛАМ в
.
2) Прообраз ЛАМ в
есть ЛАМ в ℰ
или пустое множество.
3) Для любой системы
взвешенных точек ℰ
образ барицентра
есть барицентр
, где
обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .
Применение аффинных реперов
Теорема 5.2
. Пусть ℰ
,
- аффинные пространства над телами
,
,
- изоморфизм
на
,
- аффинный репер в ℰ
и
- семейство точек
, индексированное тем же множеством индексов
.
Тогда существует единственное полуаффинное отображение
пространства ℰ
в
, ассоциированное с изоморфизмом
, такое, что
для всех .
Более того,
биективно
(соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство
есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для
.
Доказательство
. Вернемся к теореме
, взяв одну из точек
в качестве начала в ℰ
, а соответствующую точку
- в
; отображение
определяется равенством
для любого конечного подмножества
и любой системы скаляров
, таких, что,
.
В частности, аффинное отображение ℰ
в
определяется заданием образа аффинного репера из ℰ
.
Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3
. Пусть ℰ
- аффинное пространство над телом
. Тогда
a) Если
ℰ
- непостоянное аффинное отображение, то
- аффинная гиперплоскость в ℰ
с направлением
.
b) Обратно, если
- аффинная гиперплоскость в ℰ
, то существует аффинное отображение
ℰ
, такое, что
, и все аффинные отображения ℰ
в
с этим свойством суть отображения
, где
.
Если ℰ
- аффинное пространство конечной размерности
, то каждое ЛАМ размерности
в ℰ
определяется системой уравнений
вида
, где
- аффинные отображения ℰ
в
, линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
Теорема 5.4
. Пусть ℰ
- два аффинных пространства над одним и тем же телом
. Для того, чтобы отображение
ℰ
было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
a) при
ℰ
ℰ
;
b) при
образ эквибарицентра любых трех точек ℰ
был эквибарицентром их образов.
Доказательство
(аналогичное случаю теоремы 4.8.).
a) При фиксированной точке
ℰ
соотношение a) показывает, что для любого вектора
направляющего пространства
имеем
.
Отображение
удовлетворяет, следовательно, условию
.
Чтобы доказать, что выполняется и условие
для любых
, выберем такие
, что
,
и
, определим точки
,
условиями
,
. Применяя условие a), получим тогда ,
откуда
.
Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение
ℰ
в
является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в
ℰ
аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.
Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.
Теорема 5.5
. Если
- полуаффинное отображение и множество
его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством
, состоящим из неподвижных элементов отображения .
С другой стороны, если
конечномерно и
не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то
имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство
. Если фиксировать точку
, условие
равносильно
и, значит, условию
где
· Если
- неподвижная точка
то
равносильно
откуда вытекает первое утверждение.
· Если
, то отображение
инъективно и потому в случае конечной размерности
биективно; в
существует единственная точка
такая, что
откуда следует второе утверждение.
Важное замечание
. Если
- произвольное отображение и
- биекция, то
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы.
Если
и
- два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то
также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и
Отсюда выводится
Теорема 5.6.
Пусть
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции
на
образуют группу, которую мы обозначаем
(соотв.
). Отображение
(линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм
на
и
на группу
полулинейных биекций
на .
Наконец, для любой точки
в
ограничение
на группу изотропии точки
в
(соотв.
) является изоморфизмом этой группы на
(соотв. ).
Последнее утверждение получим, выбирая
в качестве начала в
.
Следствие.
Если
подгруппа в
(соотв. в
), то
есть подгруппа в
(соотв. в
); при этом если
инвариантная подгруппа, то такова же и .
В частности, если
то
есть инвариантная подгруппа в
, образованная трансляциями.
Если
то
есть инвариантная подгруппа в
, образованная трансляциям и центральными симметриями.
Если
инвариантная подгруппа группы
, образованная векторными гомотетиями, то
есть инвариантная подгруппа в
, называемая группой дилатаций.
Пусть
дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда
векторная гомотетия вида
где
В этом случае
имеет единственную неподвижную точку
определяемую из условия
где
произвольная точка
. Таким образом,
выражается как
Такое отображение называется гомотетией с центром
и коэффициентом
Сформулируем
Предложение 5.7.
Трансляции и гомотетии
составляют инвариантную подгруппу группы
, называемую группой дилатаций
. Мы обозначаем ее .
Если основное тело
коммутативно, то группа
является инвариантной подгруппой группы
.
Проектирования
Назовем проектированием
любое аффинное отображение
пространства
в себя, удовлетворяющее условию
Рис. 2
Для такого отображения любая точка
является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства
. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
Предложение 5.8
. Отображение
является проектированием, если существует ВПП
пространства
и ЛАМ
в
с направляющим подпространством
дополнительным к
, такие, что для любой точки
ее образ
есть точка пересечения
с ЛАМ, проходящим через
с направлением (рис. 2).
Аффинные симметрии
Теорема 5.9.
Пусть
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
над телом
характеристики .
Для того, чтобы аффинное отображение
было инволютивным,
необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией
Такое отображение называется аффинной симметрией
.
Доказательство
.
Если
и
, то образом середины отрезка
будет середина отрезка
таким образом, эта точка инвариантна при отображении
и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.
Предложение 5.10.
Отображение
является аффинной симметрией, если существуют ВПП
пространства
и ЛАМ
с направлением, дополнительным к
такие, что для любой точки
(см.рис.2)
1).
2). Середина
принадлежит
.
Если
сводится к одной точке
то
и
есть центральная симметрия с центром
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему
есть ВПП в
и
- два аффинных пространства в
, направляющие которых соответственно
дополнительны к
Обозначим через
(соотв.
) ограничение проектирования
на
(соотв.
) параллельно
Тогда, как легко видеть,
является аффинной биекцией
на
, обратная к которой есть
. Образ
точки
определяется условиями
и (см. рис. 3).
В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
Рис.3
указанным способом соответствие между
и
является аффинным.
В частности, если
векторная гиперплоскость, то справедлива
Теорема 5.11.
Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.
§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения
.
Пусть снова
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
. Как мы уже видели, выбор начала в
позволяет отождествить
с
теперь мы докажем, что
канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства
изоморфного
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке
отображения
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма.
Пусть
левое векторное пространство над телом
а
произвольное множество. Тогда множество
отображений
в
есть левое векторное пространство над
по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
и
В силу доказанного искомое векторное пространство
будет ВПП в
, порожденным отображениями
Поэтому мы начнем с изучения этого пространства
Предложение 6.1
. Пусть
- векторное подпространство в
, порожденное функциями
пуст, далее,
элемент из
. Тогда
А). Сумма
зависит только от функции
и притом линейно, т.е. является линейным отображением
в
которое мы обозначим
Б). Если
то существует единственная точка
, такая, что
.
В). Если
то
постоянна.
Доказательство
.
Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек
, такие, что
но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары
выполнено соотношение
, (1)
которое доказывает существование и линейность функции
Б). Если
выберем в
произвольную точку
Соотношение (1) показывает, что в
существует единственная точка
такая, что
она определяется условием
Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой
Таким образом, барицентр семейства
зависит только от функции
В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).
Следствие
.
является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида
Предложение 6.2.
Пусть
отображение
и пусть
отображение
в
которое любому вектору
ставит в соответствие постоянную функцию, равную
на .
Тогда
аффинно с линейной частью
и потому инъективно; при этом
есть аффинная гиперплоскость
в
с уравнением
Доказательство
.
Для любой пары
разность
есть постоянная функция
; положим
. Таким образом,
аффинно,
и
инъективно, как и
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции
суть элементы
удовлетворяющие условию
.
Теорема 6.3.
К каждому аффинному пространству
, ассоциированному с векторным
-пространством
, можно канонически присоединить:
· Векторное пространство
изоморфное
,
· Ненулевую линейную форму
на
,
· Аффинную инъекцию
, такую, что
- аффинная гиперплоскость в
с уравнением
Доказательство
.
Остается только установить изоморфизм между
и
. Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка
, отображение
,
линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .
Заметим, что аффинная гиперплоскость
имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость
постоянных функций, которая отождествляется с
.
Замечания.
1). Векторную структуру на множестве
можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству
, но это связано с утомительными выкладками.
2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение
единственным образом определяемое заданием
.
Обозначения.
Векторное пространство
, построенное таким образом, называется векторным продолжением
и обозначается
.
Если
имеет размерность
то размерность
равна
. Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
§7. Приложения теоремы о погружении.
Векторная интерпретация барицентров.
Вернемся к обозначениям §6. Инъекция
позволяет нам отождествить
с аффинной гиперплоскостью
в
, в то время как ее линейная часть
позволяет отождествить
с векторной гиперплоскостью
Предложение 7.1.
Пусть
конченое семейство взвешенных точек
, где точки
отождествлены с элементами
. Для того, чтобы элемент
из
принадлежал
(соотв.
), необходимо и достаточно, чтобы
(соотв. ).
Доказательство.
Это вытекает из соотношения
Правило
.
Отождествление
с подмножеством в
позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации
элементов
. Но такая комбинация представляет элемент из
только тогда, когда
( этот элемент будет барицентром системы
); если же
то
представляет элемент из
равный
для любой точки .
Приложения
.
1). Для того, чтобы три точки
из
были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры
такие, что
и
(1)
Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению
; они интересны своей симметричной формой относительно
и возможностью складывать подобные соотношения.
2). Если
то барицентром системы
является точка пересечения с
векторной прямой с направляющей
в .
3). Для того чтобы семейство
точек из
было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство
было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве
В частности, аффинный репер
является базисом
содержащимся в
Векторная интерпретация аффинных отображений.
Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений
Предложение 7.2.
Пусть
,
- два векторных пространства над одним и тем же телом
и
(соответственно
) – аффинная гиперплоскость в
(соотв.
), не проходящая через начало; обозначим
(соответственно
) векторную гиперплоскость, параллельную
(соответственно ).
А) Если
- линейное отображение, такое, что
, то ограничение
на
есть аффинное отображение
в
, линейная часть которого есть ограничение
на .
Б) обратно, если
- аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение
, ограничения которого на
совпадает с .
Доказательство.
А) Если
линейно и
, то для любых точек
из
имеем и
. Ограничения
на
аффинно с линейной частью
, .
Б) Обратно, пусть
- аффинное отображение. Фиксируем точку
в
и обозначим через
(соответственно
) векторную прямую в
(соответственно
), порожденную
(соответственно
) (рис 4). Тогда
,
, и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
1.
,
2. Ограничения
на
равно линейной части
.
Но существует единственное линейное отображение
из
в
, удовлетворяющее этим условиям (
определено своими ограничениями на дополнительные ВПП
и
пространства
); тогда ограничение
на
- есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и
, и принимающее в
то же значение, что и
, а тем самым равное
, откуда вытекает доказываемый результат.
Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями
в
и линейными отображениями
в
, удовлетворяющими условию .
С другой стороны, если
, и
, это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).
Рис.4
Наконец, если
- автоморфизм
и
- аффинная гиперплоскость в
, то включение
влечет равенства
. В самом деле,
есть аффинная гиперплоскость в
, и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в .
Т.о. мы можем сформулировать
Предложение 7.3.
Пусть
- векторное пространство,
- аффинная гиперплоскость в
, не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций
на стабилизаторе
в
(подгруппу
, состоящую из изоморфизмов
, для которых ).
Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда,
,
- векторные продолжения аффинных пространств
,
, а
,
- образы
,
при канонических погружениях
,
: всякое аффинное отображение
в
, отождествляется с линейным отображением
пространства
в пространство
, удовлетворяющим требованию
, и группа аффинных биекций
отождествляется с подгруппой
, сохраняющей аффинную гиперплосклость
Случай конечной размерности.
Если аффинное пространство
имеет конечную размерность
, то в
можно выбрать базис
так, что
при
и
. Тогда
есть декартов репер в
с началом (рис 4).
В этом случае
является множеством точек
пространства
, таких, что
; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением
в базисе
. Эндоморфизмы
пространства
, удовлетворяющие условию
, - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид
, (2)
где
- квадратная матрица порядка
. Эндоморфизму
с матрицей (2) соответствует аффинное отображение
, координатное выражение которого в декартовом репере
имеет форму
,
(3)
Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм
с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство
. Таким образом, получается
Теорема 7.4.
Группа аффинных биекций
-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы
, образованной матрицами вида (2), где
принадлежит .
В частности, группа аффинных биекций
тела
изоморфна подгруппе в
, состоящей из матриц вида .
8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.
Ниже мы обозначаем через
,
два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами
над произвольными телами
. Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений
в
. Для ясности начнем со случая инъективных отображений.
Теорема 8.1.
Допустим, что
. Для того, чтобы инъективное отображение
было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:
1. Образ любой аффинной прямой из
был аффинной прямой в
;
2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.
Доказательство.
Необходимость условия очевидна. Доказательство
достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что
удовлетворяет условиям 1) и 2).
А). Образы при
двух различных прямых
,
из
суть также две различные прямые.
В самом деле, пусть
,
- прямые в
, имеющие один и тот же образ
, пусть
- две различные точки их общего образа. Тогда прообразы
точек
и
принадлежат
и
одновременно и различны (в силу иньективности
), откуда следует, что .
Б). Отображение
,
не зависит от выбора
в .
В самом деле, пусть другая точка
и
,
таковы, что
. Если
- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ
тоже настоящий параллелограмм, откуда
,
Если точки
принадлежат одной прямой
, то предположение
позволяет выбрать в
точки
так, что
. Применяя предыдущий случай, имеем
откуда
.
Отображение
обозначаем отныне просто
.
В). Отображение
инъективно и удовлетворяет условию
. (1)
Инъективность
сразу следует из инъективности
. С другой стороны, для любых данных
выберем в
такие точки
,
,
,
и
. Тогда .
Д). Существует отображение
, такое, что
. (2)
Доказательство.
Достаточно найти
, удовлетворяющее условию (2) при
. Для заданной пары
выберем
,
,
в
так, что
,
. Так как точки
,
и
коллинеарны, то коллинеарны и векторы
; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем
, такого, что
. Остается доказать, что
не зависит от вектора
(по предположению ненулевого).
1). Если
два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и
,
; в противном случае образы двух прямых
,
, проходящих через одну и ту же точку
с направляющими
, совпадали бы, что невозможно в силу А).
Для любого
имеем
,
откуда в силу неколлинеарности
,
.
2). Если
,
- коллинеарные ненулевые векторы, то предположение
позволяет выбрать
так, что пары
и
свободны. Отсюда находим, что
.
Так для каждого
отображение
,
есть константа, мы обозначим ее через .
Е). Отображение
является изоморфизмом тел.
Выбрав
, мы увидим прежде всего, что соотношения
и
влекут (с учетом )
и
,
т.е. показывают, что
- гомоморфизм тел.
Наконец, для любой точки
отображение
есть биекция
на прямую
; ограничение
на
есть биекция
на прямую
. Следовательно, композиция
,
биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно.
Итак,
изоморфизм тел,
полулинейное отображение, ассоциированное с
, и
полуаффинное отображение.
Случай плоскости.
Если
и
двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности
. Мы можем, таким образом, сформулировать
Следствие.
Если
,
аффинные плоскости и
- инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в
есть прямая в
, то
полуаффинное отображение.
Замечание.
Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если
инъективное отображение
в себя, такое, что образ любой прямой
есть прямая, параллельная
; тогда можно непосредственно доказать, что
дилатация.
9.Основная теорема аффинной геометрии.
Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
Теорема 9.1.
Пусть
,
аффинные пространства над телами
,
, отличными от поля
; для того, чтобы отображение
было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в
был прямой в
, либо сводился к одной точке.
2). Аффинное подпространство в
, порожденное
, имело размерность
.
Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что
удовлетворяет условиям 1) и 2).
Лемма 1.
Если
есть ЛАМ в
, то
- ЛАМ в .
Доказательство.
Пусть
и
- две различные точки в
. Тогда прямая
есть по условию 1) образ прямой
; так как прямая
содержится в
, прямая
содержится в
. Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.
Лемма 2
. Если
- ЛАМ в
и множество
непусто, то оно является ЛАМ в .
Доказательство.
Результат очевиден, если
сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек
,
прямая
содержится в
согласно 1). Таким образом, прямая
содержится в
и теорема 4.8 показывает, что
есть ЛАМ.
Лемма 3.
Для любой непустой части
пространства
. (1)
Доказательство.
есть ЛАМ в
, содержащее
; по лемме 1,
есть ЛАМ в
, содержащее
. Отсюда следует включение
.
Аналогично, по лемме 2,
есть ЛАМ в
, содержащее
, а потому и
; имеет место включение
; применение отображения
дает .
Окончательно получаем равенство (1).
Лемма 4. Пусть
- пара параллельных прямых в
. Если
сводится к точке, то же имеет место и для
. Если
- прямая, то и
- прямая, параллельная .
Доказательство.
Мы можем предположить, что
. Тогда
есть ЛАМ размерности 2 в
, порожденное двумя точками
,
одной из прямых и точкой
другой прямой; по леммам 2и 3,
есть ЛАМ размерности .
А). Покажем сначала, что
либо
.
Допустим, что
и
действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки
и
, такие, что
. Выбирая
и полагая по-прежнему
, получим с помощью леммы 3, что
и аналогично
,
откуда
.
Поскольку сформулированное утверждение при
очевидно, будем далее полагать
, т.е. считать, что
и
не имеют общих точек.
Б). Предположим, что
- прямая в
и
; тогда
имеет размерность 2.
Если бы на прямой
существовали две точки
, такие, что
, то для любой точки
мы имели бы
и
, и тогда
не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая.
Значит,
и
- две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если
сводится к одной точке, то меняя ролями
и
и применяя результат Б), мы видим, что
также сводится к точке.
Лемма 5.
Если
пара точек в
, таких, что множества
,
непусты, то
и
- ЛАМ с общим направлением.
Доказательство.
По лемме 2,
и
суть ЛАМ в
. Предполагая, что
, фиксируем точку
в
и точку
в
; параллельный перенос на вектор
обозначим через
. Для любой точки
прямая
параллельна прямой
, и поскольку образ прямой
сводится к одной точке
, то образ прямой
сводится к одной точке
. Таким образом,
влечет
и имеет место включение .
Меняя ролями
и
, получим включение
, откуда
. Итак,
,
имеют общее направление.
Лемма 6.
Обозначим через
общее направление непустых ЛАМ в
вида
, где
, и пусть
- факторпространство
по отношению эквивалентности
, определенному условием .
Тогда
имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция
является аффинной.
Доказательство.
Выбор начала
в
сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства
По его векторному подпространству
, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку
за начало в
.
Отметим, что
является пространством орбит действия группы трансляций
на
; это есть множество ЛАМ с направлением
.(см. §2).
Лемма 7.
В обозначениях леммы 6 отображение
представляется в виде
, где
- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что
полуаффинно.
Доказательство.
Существование и инъективность
вытекают из того, что соотношение
равносильно
(см. лемму 5), и тем самым
. Для доказательства полуаффинности
покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть
– произвольная аффинная прямая
, порожденная двумя различными элементами
из
. Без труда проверяется, что
есть ЛАМ в
, порожденное .
По лемме 3,
есть ЛАМ, порожденное
; итак (в силу инъективности
),
является аффинной прямой .
Наконец,
не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и
, что противоречит условию 2). Поэтому
.
Отсюда следует, что
удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на
, при условии замены
на
. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении
двух параллельных прямых
,
из
- две параллельные прямые. Наконец,
удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены
на
). Следовательно,
полуаффинно и так же обстоит дело с
.
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела
и
совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда
или
при
: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга
пространства
в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение
на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае
условие 1) выполнено для любого отображения
в
(поскольку каждая прямая в
и
состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например,
,
есть биекция векторного пространства
над
в векторное пространство
над
, и образ каждой прямой из
при отображении
содержится в фнекоторой прямой пространства
, но
не является полулинейным (поскольку
и не изоморфны).
Лемма 6.
Обозначим через
общее направление непустых ЛАМ в
вида
, где
, и пусть
- факторпространство
по отношению эквивалентности
, определенному условием .
Тогда
имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция
является аффинной.
Доказательство.
Выбор начала
в
сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства
По его векторному подпространству
, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку
за начало в
.
Отметим, что
является пространством орбит действия группы трансляций
на
; это есть множество ЛАМ с направлением
.(см. §2).
Лемма 7.
В обозначениях леммы 6 отображение
представляется в виде
, где
- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что
полуаффинно.
Доказательство.
Существование и инъективность
вытекают из того, что соотношение
равносильно
(см. лемму 5), и тем самым
. Для доказательства полуаффинности
покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть
– произвольная аффинная прямая
, порожденная двумя различными элементами
из
. Без труда проверяется, что
есть ЛАМ в
, порожденное .
По лемме 3,
есть ЛАМ, порожденное
; итак (в силу инъективности
),
является аффинной прямой .
Наконец,
не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и
, что противоречит условию 2). Поэтому
.
Отсюда следует, что
удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на
, при условии замены
на
. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении
двух параллельных прямых
,
из
- две параллельные прямые. Наконец,
удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены
на
). Следовательно,
полуаффинно и так же обстоит дело с
.
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела
и
совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда
или
при
: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга
пространства
в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение
на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае
условие 1) выполнено для любого отображения
в
(поскольку каждая прямая в
и
состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например,
,
есть биекция векторного пространства
над
в векторное пространство
над
, и образ каждой прямой из
при отображении
содержится в некоторой прямой пространства
, но
не является полулинейным (поскольку
и не изоморфны).
|