министерство образования российской федерации
магнитогорский государственный
технический университет им. г. и. носова
кафедра математики
аналитическая геометрия
Методическая разработка для самостоятельной
работы студентов по курсу «Высшая математика»
Магнитогорск
2007
Составитель: Акуленко И. В.
Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.
Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.
Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.
Введение
Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.
Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».
В методической разработке:
- содержится теоретическое введение;
- решение типовых задач;
- указана литература.
Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.
Прямая на плоскости
1)
– общее уравнение прямой;
2)
– уравнение прямой, проходящей через точку М0
(х0
, у0
) перпендикулярно нормальному вектору
3)
уравнение прямой, проходящей через точку М0
(х0
, у0
) параллельно направляющему вектору
(каноническое
уравнение прямой);
4)
параметрическое
уравнение прямой;
5)
уравнение прямой в отрезках
, где
и
- величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях
и
соответственно;
6)
уравнение прямой, проходящей через точку М0
(х0
, у0
),
угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси
;
7)
уравнение прямой с угловым коэффициентом
;
- величина отрезка, отсекаемого прямой на оси
;
8)
тангенс острого угла между двумя прямыми
и
9)
и
условия параллельности
и перпендикулярности
двух прямых
и
10)
расстояние от точки М0
(х0
, у0
) до прямой
;
11)
уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых
и
12)
уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1
(х1
, у1
) и М2
(х2
, у2
);
Пример 1.
Даны вершины треугольника М1
(2; 1), М2
(-1; -1) и М3
(3; 4). Составить уравнения его высот.
Решение.
Пусть М1
N – высота треугольника М1
М2
М3
. Рассмотрим два вектора
и
По условию эти векторы ортогональны.
Значит,
Аналогично находим другие высоты треугольника.
Ответ:
Пример 2.
Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).
Решение.
1) Воспользуемся уравнением прямой,
АВ:
Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:
М(3; -1).
Уравнение АМ:
уравнение медианы, проведенной из вершины А.
2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где
N(4; 0).
Тогда ВС:
CN:
Ответ: АВ:
ВС:
СА:
АМ:
СN:
BF:
Пример 3.
Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
Решение.
По условию
следовательно,
Тогда искомое уравнение будет:
Ответ:
Пример 4.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты
и медианы
проведенных из различных вершин.
Решение
.
1) По условию
есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор
является направляющим вектором стороны ВС.
(ВС).
2) Обозначим координаты вершины А через x1
, y1
: A(x1
; y1
). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то
Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнению
Кроме того, точка А лежит на высоте h:
, значит, координаты точки A(x1
; y1
) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Отсюда находим х1
=-4, у1
=1, А(-4; 1).
3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору
(АВ).
4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):
отсюда С(5; -6).
5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6);
(АС).
Ответ: (ВС)
, (АВ)
,
(АС)
.
Пример 5.
Составить уравнение биссектрис углов между прямыми
.
Решение.
Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d1
и d2
от этой точки М до данных прямых равны между собой: d1
=d2
, т.е.
Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид:
, а уравнение другой
или
Ответ:
Пример 6.
Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми
в котором лежит точка А(2; -1).
Решение.
Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых
Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции
и
имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы:
или
Ответ:
Плоскость
1)
уравнение плоскости
, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
2)
общее уравнение плоскости,
- нормальный вектор этой плоскости.
3)
уравнение плоскости
в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью
на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;
4) Пусть даны две плоскости
В качестве угла
между плоскостями
и
принимается угол между их нормальными векторами:
или в координатной форме
5) Условие перпендикулярности
двух плоскостей
и
:
или в координатной форме: .
6) Условие параллельности
двух плоскостей
и
:
7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
:
М1
(х1
; y1
; z1
), М2
(х2
; y2
; z2
), М3
(х3
; y3
; z3
):
или в координатной форме:
8) Если плоскость
задана общим уравнением
а
- некоторая точка пространства, то
есть формула расстояния
от точки М0
до плоскости
.
9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Если
и
есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа
любые не равные одновременно нулю, то
есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .
Пример 1.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1
(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор
Решение.
Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор
По условию
Ответ:
Пример 2.
Даны две точки М1
(3; -1; 2) М2
(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1
перпендикулярно вектору
Решение.
По условию вектор
является нормальным вектором искомой плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через точку М1
перпендикулярно вектору
есть
или
Ответ:
Пример 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(3; 4; -5) параллельно двум векторам
и
Решение.
Отложим векторы
и
в плоскости, проходящей через точку М1
, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.
Получим, что три вектора
,
лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.
Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.
Ответ:
Пример 4.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(2; -1; 3) и М2
(3; 1; 2) параллельно вектору
Решение.
Отложим вектор
и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М1
и М2.
Получим компланарные векторы
Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:
или
Ответ:
Пример 5.
Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1
(3; -1; 2), М2
(4; -1; -1) и М3
(2; 0; 2).
Решение.
Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы
Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
или
Ответ:
Пример 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(3; -2; 7) параллельно плоскости
Решение.
Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М1
провести плоскость, перпендикулярно данному вектору
Ответ:
Пример 7.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям
и
, то нормальные векторы
и
и вектор
(М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно,
или
Ответ:
Пример 8.
Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1
(1; -1; -2) и М2
(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости
, то нормальный вектор
отложим в плоскости точек М1
и М2
.
Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:
Три вектора
и
- компланарны, поэтому
или
Ответ:
Пример 9.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу
и точку М2
(1; 4; 3).
Решение.
Так как плоскость проходит через ось Оу
, то её уравнение можно взять в виде
. Плоскость
проходит через точку М2
(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем:
,
к
=-3,
Ответ:
Пример 10.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1
(7; 2; -3) и М2
(5; 6; -4) параллельно оси Ох
.
Решение.
Уравнение плоскости, параллельной оси Ох
, имеет вид:
(коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так:
Так как эта плоскость проходит через точки М1
и М2
, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:
Þ
Тогда
или
Ответ:
Пример 11.
Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
Решение.
Рассмотрим векторы
,
,
.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.
Тогда
Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.
Пример 12.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1
(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.
Решение.
Уравнение плоскости в отрезках:
По условию а=
b
=
c
>
0. Тогда уравнение плоскости можно записать
Так как точка М1
(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а
, а
=9. Следовательно,
Ответ:
Пример 13.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей
параллельно вектору
Решение.
Векторы
и
- нормальные векторы данных плоскостей.
Найдем их векторное произведение:
В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор
Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М1
(х; у;
0), тогда
Û М1
(
).
Так как векторы
компланарны, то
Þ
Ответ:
Прямая и плоскость в пространстве
1)
каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку М0
(x0
; y0
; z0
) параллельно направляющему вектору
2)
уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1
(x1
; y1
; z1
) и М2
(x2
; y2
; z2
);
3) уравнения
параметрическое
уравнение прямой в пространстве.
4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями
L1
:
,
L2
:
.
За угол φ между прямыми
принимают угол между их направляющими векторами
:
, или в координатной форме
.
5)
условие перпендикулярности
двух прямых L1
и L2
.
6)
условие параллельности
двух прямых L1
и L2
в пространстве.
7) Общие уравнения прямой
в пространстве
где коэффициенты А1
, В1
, С1
не пропорциональны коэффициентам А2
, В2
, С2
. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.
Пример 1.
Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:
L1
:
, L2
:
.
Решение.
Обозначим точки, через которые проходят прямые L1
и L2
- М1
(2; -1; 3) и М2
(1; 2; -3). Им соответствует вектор
Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор
. Таким образом, три вектора
и направляющий вектор прямой
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем
или
Ответ:
Пример 2.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости
Решение.
,
. Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:
Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.
Ответ:
Пример 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(1; 2; -3) параллельно прямым
,
.
Решение.
Отложим в искомой плоскости точки М1
(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы
,
.
Тогда три вектора
и
будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь:
, т.е.
Ответ:
Пример 4.
Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1
(1; -1; -3) параллельно прямой
.
Решение.
Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы
и
будут коллинеарные, т.е.
. Отсюда получаем
Ответ:
Пример 5.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(2; -2; 1) и прямую
Решение.
По уравнениям данной прямой находим точку прямой М2
(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой
.
Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости:
,
.
По условию компланарности трех векторов имеем:
или
Ответ:
Пример 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно к плоскости
Решение.
Три вектора
,
компланарны только тогда, когда
или
Ответ:
Пример 7.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(1; -2; 1) перпендикулярно прямой
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором
в одной плоскости. Следовательно, векторы
,
,
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем:
или
Ответ:
Пример 8.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1
(1; 1; -1) и М2
(3; 4; 1) параллельно прямой
.
Решение.
Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор
.
Векторы
,
, и
компланарны. По условию компланарности трех векторов
,
,
имеем:
или
Ответ:
Пример 9.
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0
(2; 3; 1) на плоскость
Решение.
Нормальный вектор
данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М0
(2; 3; 1). Её уравнение
Ответ:
.
Пример 10.
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М1
(3; 2; 1) на прямую
.
Решение.
1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1
(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору
- направляющему вектору прямой):
или
2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М2
(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М1
(3; 2; 1) и М2
(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой
. Имеем
. Следовательно, уравнение второй плоскости
или
Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения
и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.
Ответ:
Пример 11.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0
(-4; 3; 0) и параллельно прямой
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой
,
Тогда уравнение искомой прямой есть
.
Ответ:
.
Пример 12.
Найти прямую, проходящую через точку М0
(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым
и
.
Решение.
Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.
Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:
Ответ:
Пример 13.
Задана плоскость Р:
и прямая L:
, причем LÎР.
Требуется найти:
a) угол между прямой и плоскостью;
b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.
Решение.
a)
,
, ,
b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
, или параметрически х
=1, у
=2t, z
=t-1.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х
=1, у
=-6, z
=-4.
Ответ: а)
b) (1; -6; -4).
Пример 14.
Определить косинус угла между прямыми:
Решение.
Найдем направляющие векторы данных прямых
,
Ответ:
Пример 15.
Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость
Решение.
8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости
Получим
.
9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х
=t+4, у
=2t, z
=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.
10)
Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х0
=5, у0
=-1,
z
0
=0.
Ответ: (5; -1; 0).
Пример 16.
Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой
.
Решение.
; найдем
Ответ:
Пример 17.
Заданы скрещивающиеся прямые L1
:
и
L2
:
Найти расстояние d
(L1
; L2
) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.
Решение.
Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L1
, параллельную L2
. Точка М1
(0; 1; -2) лежит на прямой L1
и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор
Уравнение плоскости Р:
или в общем виде
Расстояние d
(L1
; L2
) равно расстоянию от любой точки прямой L2
, например, точки М2
(-1; -1; 2), до данной плоскости Р.
Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р1
и Р2
, проходящих через заданные L1
и L2
сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М1
(0; 1; -2)ÎР1
и
откуда Р1
:
Аналогично, М2
(-1; -1; 2)ÎР2
(^Р) и
откуда Р2
:
Так как L=P1
ÇP2
, то
- общее уравнение прямой L.
Ответ:
Пример 18:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0
(2; 1; 0) и пересекающей две прямые
и
.
Решение.
Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.
Уравнения этих плоскостей:
,
или
- искомые уравнения прямой.
Ответ:
Библиографический список
1. Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.
2. Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М. Практикум по высшей математике. – Ростов Н/ Д: изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.
Решение:
1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C; 2) найти угловые коэффициенты данных прямых; 3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):
,
;
4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят; 5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника; 6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В.
|