ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА «Прикладной информатики и управления»
Контрольная работа
По дисциплине: «Вычислительная математика»
По теме: «Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона».
Выполнил: студент (ЦДО)
Шевченко С.Н.
№спец. 230102 (АСОИУ)
Проверил: Обухова Л.Г.
г. Набережные Челны – 2010 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение |
3 |
1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
4 |
2. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ) |
7 |
Заключение |
11 |
Список использованной литературы |
12 |
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе необходимо рассмотреть решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Данный метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов», адресованной в 1669 году английскому математику Исааку Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» или «Аналитическая геометрия». В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения
, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение
.
1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Нелинейным
уравнением называется уравнение вида
, (1.1)
где
- нелинейная функция вида:
- нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен);
- тригонометрическая, логарифмическая, показательная функция;
- комбинирование этих функций, например
.
Решением
нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение
, которое при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.
На практике не всегда удается найти точное решение. В этом случае решения уравнения (1.1) находят с применением приближенных (численных) методов.
Приближенным
решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение
, при подстановке которого в уравнение (1.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности.
Нахождение приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений и их систем распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.
На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.
Первый способ отделения корней – графический
. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если
имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции
. Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если
имеет сложный аналитический вид, то можно представить её в виде разности двух более простых функций
. Так как
, то выполняется равенство
. После построения графиков
и
задача решения нелинейного уравнения сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1).
Второй способ отделения корней – аналитический
. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах:
1) если функция
непрерывна на отрезке
и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е.
), то на
содержится хотя бы один корень.
2) если функция
непрерывна на отрезке
, выполняется условие вида
и производная
сохраняет знак на
, то на отрезке имеется единственный корень.
3) если функция
является многочленом n
-й степени и на концах отрезка
принимает значения разных знаков, то на
имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка
функция меняет знак, то уравнение (1.1) либо не имеет корней на
, либо имеет четное количество корней.
При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции
. Для этого необходимо найти критические точки
, т.е. точки, в которых первая производная
равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности
, на каждом из которых определяется знак производной
, где
. Затем выделяются те интервалы монотонности
, на которых функция
меняет знак, то есть выполняется неравенство
. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.
Одним из наиболее распространенных методов уточнения корня на отрезке является метод Ньютона (метод касательных).
2 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ).
Пусть известно, что нелинейное уравнение
имеет на отрезке
единственный вещественный корень
. Причем, производные
- непрерывны и сохраняют определенный знаки на отрезке
. Требуется найти этот корень с заданной точностью
. Найдем какое-либо
-е приближенное значение корня
и уточним его методом Ньютона следующим образом.
Пусть
. (2.1)
По формуле Тейлора получим
.
Следовательно,
.
Внося эту правку в формулу (2.1), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:
(2.2)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой
касательной, проведенной в некоторой точке
этой кривой.
Для определенности положим
и
. Выберем начальное приближение
, для которого
. Проведем касательную к кривой
в точке
. За первое приближение
берем точку пересечения касательной с осью
. На кривой определим точку
и проведем касательную к кривой
в этой точке. Найдем следующее приближение
и так далее (рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Составим уравнение касательной в точке
:
.
Полагая
, из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:
.
Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка
, то следующее приближение
.
Рассмотрим метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения
.
Теорема.
Если
и производные
не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке
, то исходя из начального приближения
, удовлетворяющего неравенству
, по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень
уравнения с любой степенью точности.
Доказательство.
Пусть для определенности
при
(остальные случаи рассматриваются аналогично).
Из неравенства
следует, что
, т.е.
.
Докажем, что все приближения
расположены правее
, т.е.
, а значит .
Доказательство проведем методом индукции:
а)
;
б) предположим, что
;
в) докажем, что
.
Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде
.
Применяя формулу Тейлора, получим:
(2.3)
где
.
Так как по условию теоремы
, то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,
.
Отсюда, в силу того, что
, получим:
.
Таким образом доказали, что все последовательные приближения
, т.е. находятся правее
, и, следовательно
.
Из соотношения (2.2), учитывая знаки
и
, следует, что
, т.е. последовательные приближения
образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим
. Перейдем к пределу при
в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:
,
т.е.
. Отсюда следует, что
, т.е.
. А это означает, что последовательные приближения
сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.
Вывод:
в методе Ньютона в качестве начального приближения
выбирается тот конец отрезка
, которому отвечает ордината того же знака, что и
, т.е. выполняется достаточное условие сходимости
. (2.4)
Следует заметить, что чем больше числовое значение
в окрестности корня
, тем меньше правка
. Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня
график функции
имеет большую крутизну (т.е.
, тогда
). Если кривая
вблизи точки пересечения с осью
почти горизонтальна (т.е.
, тогда
), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать
. Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:
для всех
. (2.5)
Если выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Достоинства метода Ньютона:
1) обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;
2) достаточно простое получение итерационной формулы.
Недостатки метода Ньютона:
1) сходится не при любом выборе начального приближения;
2) применим только в тех случаях, когда производная функции на всей области определения не равна нулю.
В некоторых случаях для решения систем нелинейных уравнений целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.
2. Красильников В.В. Математичемкие методы в экономике. Набережные Челны, 1999, 475 с.
3. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 148 с.
|