Вариант 1
Задание 1
Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А с точностью до градуса;
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
Решение:
1) Найдем координаты вектора
:
.
Длина стороны АВ равна
.
2) Внутренний угол А будем искать как угол между векторами
и
:
.
Тогда угол
.
3) Прямая
проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор
.
По формуле
получим уравнение высоты:
,
,
- уравнение СК.
Длину высоты
будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор
. По формуле
получим
,
,
- уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой
.
.
4) Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору
.
,
.
Координаты точки Р найдем как решение системы:
,
,
.
Р(4;6).
5) Координаты основания медианы будут:
6)
,
,
М(3.5;2).
Уравнение медианы найдем, используя формулу
, как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.
,
,
,
- уравнение медианы СМ.
7) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.
Найдем уравнения ВС и АС по формуле
.
,
,
,
- уравнение ВС.
,
,
,
- уравнение АС.
- уравнение АВ.
Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:
4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.
Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством:
.
Аналогично для прямых ВС и АС.
;
.
;
.
Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:
.
Ответ003A
1)
;
2)
;
3)
;
;
4) Р(4;6);
5)
;
6)
.
Задание 2
Даны векторы
. Доказать, что векторы
образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора
в этом базисе.
Решение:
- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства
, достаточно доказать ее линейную независимость.
Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы
:
.
Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:
.
Определитель Δ≠0, следовательно
- линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства
.
Для нахождения координат вектора
в этом базисе, разложим вектор
по базису
:
.3
Найдем
- координаты вектора
в этом базисе.
.
Решим эту систему методом Гаусса.
Поменяем местами первое и третье уравнение:
Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:
Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:
Прибавим к третьему уравнению второе:
Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:
Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:
Вектор
в базисе
имеет координаты
.
Задание 3
Найти производные функций:
а)
и
.
б)
и
.
в)
.
г)
,
.
Задание 4
1. Область определения
.
2. На концах области определения:
.
- значит
- вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты, если они есть:
У функции есть горизонтальная асимптота
.
3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Найдем первую производную функции:
.
Решая уравнение
, получим две критические точки
, еще одна критическая точка
.
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:
x |
(-∞;-2) |
-2 |
(-2;0) |
0 |
(0;1) |
1 |
(1;+∞) |
y’ |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
Не существует |
- |
y |
Убывает |
-80/27
min
|
Возрастает |
0
max
|
Убывает |
Не существует |
Убывает |
6. Находим вторую производную функции:
Решая уравнение
, получим
,
- это критические точки. Еще одна критическая точка
.
Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:
x
|
|
|
|
|
|
1 |
(1;+∞) |
y” |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
Не существует |
+ |
y |
Выпукла |
-2.63
перегиб
|
Вогнута |
-0.71 перегиб |
Выпукла |
Не существует |
Вогнута |
7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при
, значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).
8. Пересечение с осью Ох:
,
, точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.
9. Необходимости в дополнительных точках нет.
Задание 5
Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Произведем замену переменной:
, тогда
Проверка:
Произведем замену переменной:
, тогда
Проверка:
Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Возьмем
Применяя формулу интегрирования по частям:
, получим:
Проверка:
Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.
Следовательно:
Разложим многочлен
.
, тогда
.
Умножим обе части этого тождества на
, получим
, тогда
. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.
Таким образом:
Проверка:
Ответ:
;
;
;
.
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения
. Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).
, поэтому
кв. ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения
. Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).
, поэтому
|