Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го
курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X
ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y
. Элементы множества X
называются аргументами, а множества Y
– значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X
может быть подмножеством поля действительных R
или комплексных C
чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции
и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение.
Дзета-функцией Римана ζ(
s
)
называют функцию, которая любому действительному числу s
ставит в соответствие сумму ряда
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s
≤
0, тогда s
=−t
, где t
принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R
+
{0}. В этом случае
и ряд (1) обращается в ряд
, который, очевидно, расходится как при t
>0, так и при t
=0. То есть значения s
≤
0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s
>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s
рассмотрим функцию
, где
, которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
1) 0<s
<1. Тогда
, поэтому ряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
2) s
=1. Получаем
, то есть при s
=1 дзета-функция Римана также не определена;
3) s
>1. В этом случае
. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток
. На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ζ(
s
)
на области определения. Возьмём произвольное число s
0
>1. Перепишем ряд (1) в виде
. Как было выше показано, ряд
сходится, а функции
при s
>s
0
монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s
>s
0
ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s
>s
0
дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s
0
ζ
(
s
)
непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке
и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s
0
>1 и представим ряд (2) в виде
для s
>s
0
. Множители
, начиная с n
=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s
>
s
0
, а значит и при любом s
>1. Какое бы значение s
>1 ни взять его можно заключить между
и
, где
, а
; к промежутку
применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
.
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s
=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем
. При n
=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому
.
Чтобы исследовать случай
, докажем некоторые вспомогательные оценки.
Во-первых, известно, что если для ряда
существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция
, определённая на множестве
, такая, что
, и имеет первообразную
, то остаток ряда оценивается так:
, где
. Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция
, а
и
. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
(3). В левом неравенстве положим n
=0, тогда
, то есть
. В правом же возьмём n
=1 и получим
, далее
,
и, наконец,
. Переходя в неравенствах
к пределу при
, находим .
Отсюда, в частности, следует, что
. Действительно, положим
. Тогда
, то есть
. Поэтому
. Из того, что
, а
, вытекает доказываемое утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n
равенства
. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму
и вычтем
. Имеем
. Пусть здесь s
стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить
и
. Мы пока не знаем, существует ли предел выражения
при
, поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так:
. Ввиду произвольности n
возьмём
. Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C
0,577). Значит
, а, следовательно, существует и обычный предел и .
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения
, где k
– натуральное число.
Возьмём известное разложение
, где
- знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое
в левую часть равенства. Слева получаем
cth
, а в правой части -
, то есть
cth
. Заменяем
на
, получаем
cth.
С другой стороны, существует равенство cth
, из которого
cth
. Подстановкой
вместо
находим
cth
. Если
, то для любого N
и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов
cth
.
Приравняем полученные разложения:
, следовательно
. Отсюда немедленно следует искомая формула
(4), где
- k
-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:
, где pi
– i
-е простое число (4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство
Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N
, то получившееся частичное произведение окажется равным
, где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N
. Так как первые N
натуральных чисел этим свойством обладают, то
(5).
Сумма
содержит не все числа, большие N
+1, поэтому, очевидно,
. Из (5) получаем
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N
-го члена, стремится к нулю при N
стремящимся к бесконечности, а
есть произведение (4). Значит из неравенства при
, что и требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив
, а именно показав, что
, где
остаётся ограниченным при .
Из (4) следует, что
, где
N
, а
при
. Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда
. Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд:
. Подставив полученные разложения в равенство и устремив N
к бесконечности, имеем
. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что
. Последнее равенство справедливо, так как
. Далее, очевидно,
, что и завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s
– действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет
C
.
Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости
(
действительная часть числа x
) ряд
(1) сходится абсолютно.
Пусть
. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1),
. Первый множитель содержит только вещественные числа и
, так как
. Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим
. Значит,
. Ввиду сходимости ряда
при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q
>0 и фиксированном α>1+q
, числовой ряд
мажорирует ряд из абсолютных величин
, где
, откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости
. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение
, где s
теперь любое комплексное число, такое, что
. Применим его к доказательству отсутствия у функции
корней.
Оценим величину
, используя свойство модуля
:
, где как обычно
. Так как
, то
, а
, следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее
.
Для этого нам понадобится формула
(2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать
. Для любого d
при
, значит
и
, а
.
. Следовательно,
. Интеграл
можно найти интегрированием по частям, принимая
,
; тогда
, а
. В результате
. Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим
, отсюда легко следует равенство (2).
Теперь положим в (2)
,
, a
и b
– целые положительные числа. Тогда
. Пусть сначала
, примем a
=1, а b
устремим к бесконечности. Получим
. Прибавим по единице в обе части равенств:
(3).
Выражение
является ограниченным, так как
, а функция
абсолютно интегрируема на промежутке
при
, то есть при
,
. Значит, интеграл
абсолютно сходится при
, причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой
. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s
, регулярную при
. Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость
и имеет там лишь один простой полюс в точке
с вычетом, равным единице.
Для
можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При
имеем
, значит,
и
. Теперь при
(3) может быть записано в виде .
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость
. Положим
, а
, то есть
первообразная для
.
ограничена, так как
, а интеграл
и
ограничен из-за того, что
. Рассмотрим интеграл при x
1
>x
2
и
. Проинтегрируем его по частям, приняв
,
, тогда
, а по указанному выше утверждению
. Получаем
. Возьмём
, а
. Имеем
,
, потому что
является ограниченной функцией. Значит,
(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла
, если
, и ограниченностью функции
, делаем вывод, что в левой части равенства (4) интеграл тоже сходится при
. Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой .
Нетрудно установить, что для отрицательных
, поэтому из (3) имеем
(5) при
.
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x
справедливо разложение в ряд
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
. Сделаем в полученном интеграле подстановку
, отсюда следует
, а
, и получим далее
. Известно, что
, значит
. Из известного соотношения для гамма-функции
, по формуле дополнения
, следовательно
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция
, удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с
.
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией s
и при
. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при
.
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду
для любого
, остаётся доказать, что
при
. Но интегрируя внутренний интеграл по частям имеем
. Отсюда без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s
на 1-s
, получаем равносильное равенство
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо s
число 2m
, где m
– натуральное число. Имеем
. По формуле (4) первой главы
, а
, поэтому
и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что
, получим .
Покажем ещё, что
. Для этого прологарифмируем равенство (8):
и результат продифференцируем
. В окрестности точки s
=1
,
,
, где С
– постоянная Эйлера, а k
– произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s
к единице, получим
, то есть
. Опять из формулы (4) главы 1 при k
=0
, значит, действительно,
.
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p
1
, p
2
, … , pn
. Рассмотрим число p
1
p
2
…
pn
+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s
=1, получим
, отсюда
и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при
(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде
. Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд
расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например:
,
, … , .
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции
, то есть количества простых чисел не превосходящих x
. В качестве примера формулы, связывающей
и
, мы сейчас получим равенство
(2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение:
. Из логарифмического ряда
, учитывая, что
, приходим к ряду
. Значит, .
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при
, то
. Во внутреннем интеграле положим
, тогда
и
, отсюда
.В промежутке интегрирования
, поэтому верно разложение
и
. Получаем
. Теперь
. Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для
, то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что
.
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно
, то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть
. Тогда
(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а
не повлияет на асимптотику
. Действительно, так как
, интеграл для
сходится равномерно в полуплоскости
, что легко обнаруживается сравнением с интегралом
. Следовательно,
регулярна и ограничена в полуплоскости
. То же самое справедливо и относительно
, так как
.
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s
, получаем
. Обозначим левую часть через
и положим
,
, (
,
и
полагаем равными нулю при
). Тогда, интегрируя по частям, находим
при
, или .
Но
непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как
, то
(
) и
(
). Следовательно,
абсолютно интегрируема на
при
. Поэтому
при
, или
при
. Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как
ограниченна при
, вне некоторой окрестности точки
. В окрестности
и можно положить
, где
ограниченна при
,
и имеет логарифмический порядок при
. Далее,
. Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой
, то есть
. Во втором члене можно положить
, так как
имеет при
лишь логарифмическую особенность. Следовательно,
. Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,
(4).
Чтобы перейти обратно к
, используем следующую лемму.
Пусть
положительна и не убывает и пусть при
. Тогда .
Действительно, если
- данное положительное число, то
(
). Отсюда получаем для любого
. Но так как
не убывает, то
. Следовательно,
. Полагая, например,
, получаем .
Аналогично, рассматривая
, получаем
, значит
, что и требовалось доказать.
Применяя лемму, из (4) имеем, что
,
, поэтому
и теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.
|