Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:
В равенстве
числа
и
не могут быть одновременно целыми положительными, если .
Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
· Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел
и
, т.е. два числа – всегда нечетные.
· Существуют числа
и
, или
, то есть для произвольно выбранных натуральных
существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел
и
, удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых
числа
и
также будут целыми.
Вариант№1
Равенство
(1)
путем последовательного деления на числа
и
всегда преобразуется в два многочлена (уравнения)
-ой степени относительно :
(2)
(3)
Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел
и
. По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:
,
, …
,
(4)
Из (1) и (4) следует
,
то есть число
, как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых
,
,
и .
Из равенства свободных членов следует:
,или
,или
(5)
Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:
(6)
или, если
, сократив на
, получим:
(7)
Из равенства (7) следует, что для
числа
и
не могут быть одновременно положительными.
Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:
· для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при
число
, как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных
,
,
и ;
· многочлены (2) и (3) для
и натуральных
и
не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители
и
равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;
· числа
,
и
в равенстве (1) для
не могут быть одновременно рациональными.
Для
противоречие исчезает, коэффициенты при
равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений
и
обращается в тождество:
. (8)
Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через
и
, где
и
- целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :
(9),
где неизвестное
обозначено общепринятым образом через
, то есть
.
Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.
Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.
Вариант№2
Пусть в равенстве
числа
и
- взаимно простые,
- нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:
(1)
где
,
- действительные положительные множители числа .
Из (1) следует:
,
(2)
В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел
,
и целого
существуют единственные значения показателей степени
, удовлетворяющие равенствам:
,
(3)
где
,
.
Из (3) следует
,
, или после сокращения на числа
,
получим:
(4)
Из (1), (2) и (3) следует:
, (5)
или, с учетом равенств (3) и (4):
(6)
Вынесем за скобки общий множитель
:
(7)
Из (5) и (7) следует, что числа
,
и
содержат общий множитель
, что противоречит условию их взаимной простоты, если
. Из
следует
,
, то есть
,
, и равенства (5) и (7) принимают вид:
(8)
Из (8) следует, что при нечетном
числа
и
также целые, причем всегда имеет место тождество:
(9)
что для одновременно целых
,
и
выполнимо только при
, или
,
, что и требовалось доказать.
Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства
, где
,
и
- произвольно выбранные натуральные числа,
- действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).
Вынесем за скобки множитель
и поделим на него все слагаемые тождества (5):
(10)
где
.
В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам
,
и
, например из равенства (5), соответствует единственное значение
, удовлетворяющее условию:
(11)
тогда
, или
(12)
где
,
и
- целые числа.
Из (10), (11) и (12) следует:
(13)
то есть числа
и
могут быть одновременно целыми только при
, или
,
. При
числа
и
есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых
и нечетных .
Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель
, при этом число
в этих равенствах одно и то же, откуда следует
,
,
, и тождество (10) принимает вид тождества (8).
Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений
. Подставляя вместо
любую рациональную дробь и полагая
, можно найти все Пифагоровы числа.
Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.
Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented
|