Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
В теореме Ферма утверждается, что равенство
для натуральных
и
может иметь место только для целых .
Рассмотрим равенство
, (1)
где
и
- натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1
. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть
- нечетное число,
и
- натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:
, (2)
где
и
- действительные положительные множители числа
В соответствии со свойствами показательной функции, для любого
из действительных положительных чисел
и
существуют единственные значения чисел
, удовлетворяющие равенствам
, (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
,
. (4)
Поскольку p
>
q
,
всегда имеет место p
-
q
=
k
, или а
p
= а
k∙
×а
q
,
то есть числа
и
содержат общий множитель
, что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при
, то есть при
. Тогда равенства (4) принимают вид:
,
(5)
откуда следует
, (6)
то есть для взаимно простых
и
числа
и
всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых
и
может быть выражено только в виде равенства
. (7)
Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.
Пусть в равенстве Ферма числа
и
– целые взаимно простые,
– четное. Тогда числа
,
, их сумма
иразность
- также целые, показатель степени p
>
q
.
Целые числа
и
являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель
, то есть
,
.
Тогда разность
, что для одновременно целых
и
может иметь место
только при
, то есть при
или
, что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.
|