інтегральні характеристики векторних полів
1. Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області
задані скалярне поле
і векторне поле
, причому функції
мають в області
неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді
і
є диференційовними векторними полями, а
– диференційовним скалярним полем.
До векторних полів
і
можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля
– операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:
.
Операцію
називають оператором Лапласа і позначають також символом
:
.
З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
.
Враховуючи, що
,
дістаємо
.
Функція
, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа
, називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція
є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд
, при
задовольняє рівняння Лапласа:
(потенціальне векторне поле
є безвихровим) і
(векторне поле
є соленоїдальним).
1. Дві інші повторні операції
і
пов’язані співвідношенням
, (1)
де
– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій
.
2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільне неперервно диференційовне векторне поле
може бути зображено у вигляді
, (2)
де
– потенціальне поле,
– соленоїдальне поле.
Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле
є градієнтом деякого скалярного поля
:
. Тому для вектора
із рівності (2) маємо
. (3)
Щоб векторне поле
було соленоїдальним, воно має задовольняти умову
, звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для скалярного потенціала поля
отримуємо рівняння
, (4)
де
– відома функція даного поля
.
Отже, якщо функція
є розв’язком рівняння (4), то, поклавши
,
, отримаємо зображення поля
у вигляді (2), де
– потенціальне поле,
– соленоїдальне поле.
Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:
.
Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля
у вигляді (2) не є єдиним.
2. Потік векторного поля
Розглянемо векторне поле
, визначене в просторовій області
, і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню
. Нехай
– поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні .
Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
(5)
називається потоком векторного поля
через поверхню
в сторону, яка визначається вектором
(кажуть також «потік через обрану сторону поверхні
»).
Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор
змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток
, а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.
Якщо
– швидкість рухомої рідини, то
є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню
у напрямі нормалі
за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню
. Тому і у випадку довільного векторного поля
інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .
Розглянемо електричне поле
точкового заряду
, який міститься в точці
. Знайдемо потік векторного поля
через зовнішню сторону сфери
радіуса
з центром у точці
. Нехай
(
– точка на сфері
); тоді . Тому
,
де
– діелектрична проникність середовища,
.
Якщо в системі координат
, а
, то вираз (5) для потоку векторного поля
можна записати у вигляді
. (6)
Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік
, очевидно, не залежить від вибору системи координат.
3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області
визначено векторне поле
;
– замкнена поверхня, яка обмежує область
;
– одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні
у точці .
Нехай, далі,
та їхні частинні похідні
неперервні в області
. Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є
, а поверхневий інтеграл – потік векторного поля
через поверхню
. Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:
. (8)
Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля
через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля
. Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області
мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді
є відмінною від нуля. Таким чином,
характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».
4. Властивості соленоїдального поля
Як відомо, векторне поле
, яке задовольняє в області
умову
, називається соленоїдальним в цій області. Нехай область
є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня
лежить в області
, то і область, яка обмежує поверхню
, цілком належить області
. Прикладами об’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що, якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути відмінним від нуля. Так електричне поле
точкового заряду, який міститься в точці
, є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (
при ).
Слово «соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай
– соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома перерізами
і
та боковою поверхнею
, яка складається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в соленоїдальному полі
, то потік векторного поля
через поверхню області дорівнює нулю:
(
– одиничний вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні
маємо
, тому .
Отже,
.
Рисунок 1 – Відрізок «векторної трубки»
Змінимо на перерізі
напрям нормалі
на протилежний (
– внутрішня нормаль до
). Тоді отримаємо
,
де обидва потоки через перерізи
і
обчислюються в напрямі векторних ліній.
Таким чином, у соленоїдальному (трубчастому) векторному полі
потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереження інтенсивності збереження векторної трубки.
5. Інваріантне означення дивергенції
Нехай в області
, обмеженій поверхнею
, визначено векторне поле
. Запишемо формулу (8) для векторного поля
в області
. Застосовуючи до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
або
,
де
– об’єм області
, а
– деяка точка області .
Зафіксуємо точку
і стягуватимемо область
до точки
так, щоб
залишалася внутрішньою точкою області
. Тоді
, а
прямуватиме до
. Внаслідок неперервності
значення
прямуватиме до
. Таким чином, отримуємо
. (9)
У праву частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи координат.
6. Циркуляція векторного поля
Розглянемо векторне поле
, визначене в просторовій області
, і деяку кусково-гладку криву
, на якій вказано напрям обходу (вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай
– одиничний дотичний вектор до кривої
у точці
, напрямлений в сторону обходу кривої.
Криволінійний інтеграл
(10)
називається циркуляцією векторного поля
вздовж кривої
у заданому напрямі.
Якщо взяти інший напрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор
змінить напрям на протилежний, тому скалярний добуток
, а, отже, і циркуляція (криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.
Якщо
– силове векторне поле, тобто
– вектор сили, то циркуляція
визначає роботу силового векторного поля вздовж кривої
в заданому напрямі.
Якщо в прямокутній системі координат
, а
, то вираз (10) для циркуляції векторного поля
можна записати в вигляді
. (11)
Кожний доданок у правій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума, тобто циркуляція
, очевидно, не залежить від вибору системи координат.
Якщо ввести вектор
, то циркуляцію можна записати у вигляді
(порівняйте з правою частиною рівності (11)).
7. Формула Стокса у векторній формі
Нехай в області
визначено векторне поле
;
– замкнений контур, який лежить в області
;
– довільна поверхня, межею якої є контур
;
(«поверхня
натягнута на контур
»);
– одиничний вектор нормалі на обраній стороні поверхні .
Нехай функції
та їхні частинні похідні першого порядку неперервні на поверхні
. Тоді справедлива формула Стокса
,
де орієнтація контуру
узгоджена з орієнтацією поверхні
. Ліва частина формули Стокса є циркуляцією векторного поля
вздовж контура
, а права частина визначає потік через поверхню
векторного поля з координатами
, тобто потік
через поверхню
. Тому формулу Стокса можна записати у векторній формі:
(12)
або
. (13)
Фізичний зміст формули Стокса: циркуляція векторного поля
вздовж замкненого контуру дорівнює потоку ротора векторного поля
через поверхню, натягнуту на цей контур.
8. Властивості потенціального поля
Як відомо, векторне поле
, яке задовольняє в області
умову
, називається потенціальним у цій області (
– скалярний потенціал поля
). Якщо поле
потенціальне в області
, то
і вираз
є повним диференціалом функції
в області
. Це означає, що виконана умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування в просторі.
Таким чином, потенціальне в області
поле має такі властивості.
1. Циркуляція потенціального поля
вздовж довільного замкненого контуру
дорівнює нулю:
.
2. Для довільних точок
і
області
циркуляція потенціального поля
вздовж кривої
не залежить від вибору кривої
і дорівнює різниці значень потенціала
в точках
і :
.
У випадку силового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого поля вздовж кривої
не залежить від вибору кривої, а залежить тільки від початкової і кінцевої точок
і
.
3. Потенціальне поле
є безвихровим, тобто
.
Нехай тепер дано векторне поле
, яке задовольняє в області
умову
. Чи випливає звідси, що поле
є потенціальним в області
? Відповідь на це запитання залежить від форми області
. Якщо область
є поверхнево однозв’язною, то із умови
випливає, що існує функція така, що
.
Отже,
, тобто поле
є потенціальним в області
.
Таким чином, умова
є необхідною і достатньою умовою потенціальності поля
у поверхнево однозв’язній області.
Потенціал
потенціального поля
у поверхнево однозв’язній області можна обчислити за формулою:
. (14)
Якщо область
не є поверхнево однозв’язною, то умова
не є достатньою для потенціальності поля
в області .
9. Інваріантне означення ротора
Нехай в області
визначено векторне поле
. Зафіксуємо точку
і деяку площину, яка проходить через цю точку. Нехай
– одиничний вектор нормалі до площини,
– замкнений контур, який лежить в площині і обмежує область
таку, що
– внутрішня точка області
. Запишемо формулу (12) для векторного поля
в області
. Застосовуючи до правої частини цієї формули теорему про середнє, отримуємо
,
диференціальне векторне поле формула соленоїдальне
звідки
,
де
– площа області
,
– деяка точка області .
Стягуватимемо область
до точки
так, щоб
залишалася внутрішньою точкою області
. Тоді
, а
прямуватимемо до
. Внаслідок неперервності
значення
прямуватимемо до
. Таким чином, отримуємо
.
У праву частину формули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області). Тому дана формула дає інваріантне означення проекції
в точці
на напрям, який виражається заданим вектором
.
Отже, проекція ротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам
залежить тільки від векторного поля
і не залежить від вибору системи координат.
Для означення вектора
вищезазначеним способом достатньо розглянути в заданій точці
проекції
на три довільних некомпланарних напрями. Такими трьома проекціями
визначається однозначно.
|