Равномерная непрерывность
Определение 28.7:
Функция
называется равномерно непрерывной на множестве
, если:
. (в отличие от критерия Коши:
). Пояснение:
Пусть:
. Тогда:
Т.е. функция
не является равномерно непрерывной на множестве .
Теорема 28.3:
Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4:
Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5:
Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5:
Если функция
определена и ограничена на отрезке
, и если
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на
. Причём общая длина этих интервалов меньше
. То
- интегрируема на
. Замечание:
Очевидно, что если
- интегрируема на
, а
отличается от
только в конечном числе точек, то
- интегрируема на
и .
Существование первообразной
Определение 28.9:
Пусть
- интегрируема на
,
, тогда:
функция
интегрируема на
и функция
называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция
- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6:
Если функция
- непрерывна на
, то у неё существует на
первообразная, одна из которых равна:
, где
. Замечание 1:
Из дифференцируемости функции
следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2:
Поскольку
- одна из первообразных
, то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла
от непрерывной функции сделана подстановка
.
Теорема.
Если 1. Функция
и ее производная
непрерывны при
2. множеством значений функции
при
является отрезок [a;b]
3.
, то
=
.
Док-во:
Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
=
. Т.к.
, то
является первообразной для функции
,
. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки
применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной
.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде:
.
Тогда:
. Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример:
Вычислить
.
.
Подстановка:
.
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл
, где
. Введём новую переменную формулой:
, где функция
дифференцируема на
и имеет обратную
, т.е. отображение
на
- взаимно-однозначное. Получим:
. Тогда
. Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример:
Вычислить
.
, откуда:
.
Интегрирование по частям
.
Пусть
- дифференцируемые функции, тогда справедлива формула:
, или короче:
. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
, что интеграл
вычисляется проще исходного.
Пример:
Вычислить
.
Положим
. Тогда
. В качестве
выберем первообразную при
. Получим
. Снова
. Тогда
. Окончательно получим:
. Замечание 26.5:
Иногда при вычислении интеграла
методом интегрирования по частям получается зависимость:
. Откуда можно получить выражение для первообразной:
.
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1:
Пусть
, тогда, если:
, где
, то
Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
. |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку:
, получим:
.
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена
- комплексные, сделав подстановку:
, получим:
.
2). Корни многочлена
- действительные:
. Подстановка:
, получаем: .
b). Подстановка:
, далее, если:
1).
подстановка -
|
2).
подстановка -
|
3).
подстановка -
|
c).
Если
подстановка -
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка:
, тогда:
подстановка:
или
- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1:
Функция
называется первообразной для функции
на
, если: .
Пусть
и
- первообразные функции
на
. Тогда: .
Определение 26.2:
Неопределённым интегралом от функции
на
называется объединение всех первообразных
на этом интервале. Обозначается:
. Замечание 26.1:
Если
- одна из первообразных
на
, то
. Замечание 26.2:
Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной
на
, т.е.
. Замечание 26.3:
Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a
0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если
, то и
, где u=
- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1:
Множество точек отрезка
таких, что:
называют разбиением отрезка
. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
. Мелкостью разбиения
(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .
Определение 28.2:
Пусть в определении 28.1 для всех
точки
. Интегральной суммой функции
на отрезке
с разбиением
будем называть сумму (зависящую от разбиения
и выбора точек
) вида: .
Определение 28.3:
Пределом интегральных сумм функции
на отрезке
назовём такое число
, что
. Обозначается:
.
Определение 28.4:
Функция
называется интегрируемой на отрезке
, если существует конечный предел её интегнральных сумм на
. Обозначается: .
Теорема 28.1:
Если
интегрируема на отрезке
, то она ограничена на нём.
Замечание 1:
Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2:
Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
.
Следствие 1:
Условие Т.2 эквивалентно условию:
.
Следствие 2:
Если функция интегрируема на , то:
.
Определение 28.8:
Определённым интегралом функции
на
называется число
, равное пределу интегральных сумм
на
. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с
– постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
, т.е. пост. множитель с
можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
,
3. Если
, то:
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью
определенного интеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если
- интегрируема на
и
, то: .
Если
- интегрируема на
и
, то:
Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если
- интегрируемы на
и почти для всех
, то:
Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если
- интегрируема на
, то
- также интегрируема на
(обратное неверно), причём:
Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если
- интегрируемы на
и
, то:
Теорема о среднем значении
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка
такая, что
.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем
, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Эта теорема при f(x)
0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром
, площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.
Число
наз-ся средним значением
функции f(x) на отрезке [a;b].
Формула Ньютона-Лейбница
Если
- первообразная непрерывной функции
на
, то:.
Док-во: Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
. Получим
т.е.
, где
есть нек-рая точка интервала
. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].
Переходя к пределу при
, получаем F(b)-F(a)=
=
, т.е.
.
интеграл с переменным верхним пределом
Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
Следовательно,
=
.
|