Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
(3)
где
- заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:
1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду
(4)
.
2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)
(5)
где
первообразная функции
первообразная функции
произвольная постоянная.
3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):
4). Добавить к решению (5) все функции вида
(горизонтальные прямые), где число
один из корней уравнения
Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:
ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Построить графики двух частных решений этого уравнения.
Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду
Равенство
(у2
+ х2
) = С показывает, что С > 0. Положим С =
∙ R2
,где R > 0 — другая произвольная постоянная. Тогда
у2
+ х2
= R2
.
3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:
Рис. к задаче 6.
D(у) =
>0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат (см. рис.).
4). В данном случае, уравнение
не имеет решений. Поэтому решений вида
y = а нет.
Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида
(7) у" + by' + су=0,
где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение
этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта
характеристического уравнения
. (8) k2
+ bk + c = 0
имеют следующий вид:
A)
если D > 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8);
Б)
, если D = О,
где α— единственный корень характеристического уравнения;
B)
если D < О,
где
Общее решение
линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(9)
является суммой некоторого его частного решения
и общего решения
. однородного уравнения (7), т. е.
Многочлен
называют характеристическим многочленом дифференциального уравнения (7).
В тех случаях, когда
представляет собой многочлен, функцию
,частное решение
удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы.
1.
:
корни характеристического
многочлена
|
частное решение
|
|
|
|
|
|
|
2. если
первая часть
|
частное решение
|
|
|
|
|
|
|
3.
Задача 7. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 1, у'(0) = 2.
Решение. 1). Характеристического уравнение:
Так как D = — 16, используем формулу В):
Общее решение однородного уравнения:
2). Так как правая часть
многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами:
Подставляя у =
в данное в задаче уравнение, получаем:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим:
Отсюда
поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид
3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:
Напомним, что число n! (читается «эн-факториал»)- это произведение всех натуральных чисел от единицы до
:
!=
При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение:
и т.д.
Признак Даламбера. Если существует предел
То числовой ряд
сходится при
и расходится при
ЗАДАЧА 8. Исследовать сходимость ряда
Решение:
.
Вычисляем предел
Таблицы и формулы.
1. Производные основных элементарных функций
1). Производная константы равна нулю:
2).
где а — любое не равное нулю действительное число. В частности,
3). Показательная и логарифмическая функции.
4) Тригонометрические функции |
|
|
|
|
5) Обратные тригонометрические функции |
|
|
|
|
2. Производные некоторых сложных функций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
3.Правила дифференцирования:
Константы можно выносить за знак производной:
Производная суммы равна сумме производных:
Пусть
сложная функция,
и
Тогда:
9. Интегрирование, также как и операция дифференцирования , операция вычисления пределов, является линейной; то есть, константы можно выносить за знак интеграла, и интеграл суммы функций равен сумме интегралов. Линейность операции интегрирования можно выразить формулой:
10. Таблица основных неопределенных интегралов:
11).
при
11. Замена переменных (метод подстановки):
Если
Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых служит сложная функция
12. Интегрирование по частям:
13. Интегрирование простейших дробей:
14. Если F(x)- первообразная, вычисляемая как неопределенный интеграл с С=0.