Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество
с определёнными на нём бинарными операциями
и
называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1.
- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом
, т.е.
1)
;
2)
3)
А2.
- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1)
;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
,
.
А4.
.
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел
.
Будем считать пары
и
эквивалентными, если
, получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1
.
Элемент
назовём мультипликативно сокращаемым, если для
из равенства
следует, что .
Обозначим через
множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1
.
Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть
- делитель нуля, т.е.
для некоторого
. Тогда
, но
не является мультипликативно сокращаемым.▲
Пусть
- коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из
. Рассмотрим множество упорядоченных пар
. Введём отношение ~ на
:
для всех
и
.
Предложение1
.
Отношение ~ является отношением эквивалентности на
.
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца
;
2. Симметричность:
;
3.Транзитивность:
Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на
.
Полукольцо
разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим
класс эквивалентности пары
. Введём операции на множестве
всех классов эквивалентности:
т.к. для
,
,
выполнено
отсюда т.к.
получаем
и поскольку
то
следовательно .
Покажем корректность введённых операций:
Пусть
,
, тогда
▲
Теорема1
.
- коммутативное полукольцо с 1.
.
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество
всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение:
для
и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для
.
Так как
Класс
является нейтральным по +:
Из равенства
тогда
.
Для
составляет отдельный класс, играющий в
роль нуля.
умножение:
для
и
1.
2.
Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для
.
Пусть
Класс
является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к.
, поскольку из равенства
тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что
является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо
называется классическим полукольцом частных полукольца
.▲
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь
как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы
неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал
, и он переводит
в
, где
. Аналогично, дробь
определена на идеале
и переводит
в
. Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу
, поскольку та и другая дробь переводят
в
. Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2
.
Идеал
коммутативного полукольца
называется плотным, если для
и
выполняется равенство
тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца
:
10
- плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для
выполнено
. Положим
, тогда
. Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
20
Если
- плотный идеал и
, то идеал
плотный.
Доказательство:
Если
- плотный идеал, то для
из равенства
следует
. Пусть для
выполнено
. Так как по условию
возьмём
. Тогда т.к.
- плотный идеал получаем
отсюда
. Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
30
Если
и
- плотные идеалы, то
и
- так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для
выполняется
. Пусть
, где
,
. Элемент
т.к.
, тогда верно равенство
отсюда
, т.к.
- плотный идеал имеем
,
, и
- плотный,
. Таким образом - плотный идеал.
Пусть
,
тогда по определению идеала:
. С другой стороны
значит
. Тогда по 20
- плотный идеал. ▲
40
Если
, то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть
. Для
и
выполнено
отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение3
.
Дробью назовём элемент
, где
- некоторый плотный идеал. (
- сокращение от
- гомоморфизм, в данном случае:
- гомоморфизм )
Таким образом,
- гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого
для
и .
Введём так же дроби
, положив
и
для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть
и
тогда
,
,
.
Покажем, что
является идеалом, где
т.е. сохраняются операции:
1. Если
, то
.
Пусть
,
, тогда
.
2. Если
и
, то
. По условию .
Так как
- коммутативное полукольцо, то
.
. Таким образом,
- идеал.
Покажем, что идеал
является плотным: надо доказать, что плотный идеал -
, т.е.
.
По определению сложения и умножения
, т.е.
содержит плотный идеал
значит, по свойству 20
идеал
является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу
с нулём и полугруппу
с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
,
.
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение
4
.
Будем писать
если
и
согласованы на пересечении своих областей определений, т.е.
для .
Лемма 1.
тогда и только тогда, когда
и
согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если
то
и
согласованы на
. По свойству 30
идеал
является плотным. Следовательно,
и
согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть
и
согласованы на плотном идеале
. Тогда если
и
, то
отсюда в силу плотности идеала
,
для
, но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений
и
является
отсюда следует, что .▲
Лемма 2.
Отношение
является конгруэнцией на системе
.
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что
- конгруэнция, нужно показать:
1. отношение
- рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность:
и
согласованы на плотном идеале
.
Симметричность: пусть
, т.е.
и
согласованы на .
Транзитивность: пусть
и
, т.е.
и
согласованы на плотном идеале
и
согласованы на плотном идеале
. Значит
и
согласованы на идеале
, являющемся плотным , и
согласована с
на
, тогда
согласована с
на плотном идеале по Лемме 1
Таким образом,
- отношение эквивалентности.
2. отношение
сохраняет полукольцевые операции.
- Пусть
и
, т.е.
для
и
для .
Тогда
и
определены и согласованы на плотном идеале
отсюда по Лемме 1
.
- Пусть
и
, т.е.
для
и
для .
Тогда
и
определены и согласованы на плотном идеале
отсюда по Лемме 1
.▲
Теорема2
.
Если
- коммутативное полукольцо то система
так же является коммутативным полукольцом.
. (Будем называть
полным полукольцом частных полукольца )
Доказательство.
- разбивает множество дробей
на
непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2
все тождества выполняющиеся в
справедливы и в
.
Чтобы убедится, что
коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения:
и
согласованы на идеале
покажем, что образы отображений
и
совпадают на этом идеале:
пусть
, где
.
Тогда
.
Областью определения
является
. По определению идеала:
то
для
, а идеал
(свойство 30
) то:
. Тогда по определению сложения
отсюда следует
. Покажем
. По определению
Аналогично
.
Тогда:
Таким образом,
где
. По свойству 30
- плотный идеал значит
и
согласованы на плотном идеале
.
2. Коммутативность.
Отображения
и
согласованы на плотном идеале
докажем что их образы совпадают на этом идеале: .
Доказано ранее, что
пусть элементы
тогда
Отсюда следует, что
и
согласованы на плотном идеале
.
Таким образом,
по Лемме 1.
Наконец
сопоставим дробь:
с областью определения
при которой
переходит в .
Предложение2
.
Отображение
является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Доказательство:
1. Пусть
,
и
где
и .
Нужно показать, что
. Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь
, такую что
для
. (1)
С другой стороны рассмотрим дроби
и
, такие что
для
. (2)
Из (1) и (2) следует, что
.
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть
,
и
где
и .
Нужно показать, что
. Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь
, такую что
для
. (3)
С другой стороны рассмотрим дроби
и
, такие что
для
. (4)
Из (3) и (4) следует, что
.
По свойству умножения смежных классов:
для
.
Таким образом
гомоморфизм.
Пусть
, тогда
т.е.
и
согласованы на некотором плотном идеале
значит
для
, так как
- плотный идеал, то
отсюда
- инъективно.
Поэтому, гомоморфизм
является мономорфизмом и
вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм
будем называть каноническим мономорфизмом
в
.▲
Определение5
.
Любому мультипликативно сокращаемому элементу
сопоставим плотный идеал
. Если
, то элемент
назовём классической дробью, полагая
для .
Теорема3
.
Множество дробей
образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных
полукольца
.
Доказательство:
Рассмотрим отображение
, т.е.
.
1. Докажем, что
- отображение: если
и
,
, где
,
, то .
Имеем
Возьмём элемент
из пересечения плотных идеалов
, т.е.
и
Тогда
, домножим
на
получим
. Так как
и на
выполняется коммутативность по умножению, то
,
отсюда
для
.
2. Докажем, что
является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
. Покажем, что дробь
согласована с
на плотном идеале .
Пусть
,
.
для
.
Следовательно
.
2.2
.
Идеал
содержит
, покажем, что
и
согласованы на плотном идеале .
Пусть
,
. Тогда
для
.
Значит
.
Таким образом
- полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных
в полное полукольцо частных
.
3. Докажем, что
- инъективный гомоморфизм.
Пусть для
. Предположим, что дроби
и
согласованы на некотором плотном идеале
, т.е. для
выполнено
. Но
,
. Тогда
. Домножим обе части равенства на получим:
т.к.
- плотный идеал
, что противоречит условию.
Значит,
является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом
в
.
Так как
, то
, где
- элемент подполукольца полного полукольца частных
, т.е.
и
. Поскольку
- инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм
отсюда следует .
Мономорфизм
называется вложением классического полукольца частных
в полное полукольцо частных
полукольца
.▲
1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.
|