МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математики и информатики
Курсовая работа
«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»
Выполнил:
студентка 362 группы
Латфуллина Р.А.
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доцент
Шармина Т.Н.
Тюмень - 2010
Содержание
Введение. 3
Глава1. Функции
,
как решения некоторых задач Коши. 5
Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций. 16
Список литературы.. 22
Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются важной составной частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.
Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.
Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.
Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
В главе 1 излагается способ построения теории функций
,
, основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.
Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.
Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.
Глава1. Функции
,
как решения некоторых задач Коши
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.
Теорема1
.
Дифференциальное уравнение
,
где
;
;
;
, имеет на
единственное n-кратно дифференцируемое решение
, удовлетворяющее условиям
(здесь
- произвольно заданные фиксированные действительные числа).
Очевидно, что это решение обладает на
непрерывными производными всех порядков.
В частности, когда
, указанное в теореме 1 решение тривиально (
на
).
Рассмотрим следующие две задачи Коши:
,
,
; (1)
,
,
, (2)
где
;
;
. Их решения обозначим соответственно через
и
. Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём
,
. Однако основные свойства функций
,
установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).
1.
,
(
).
Действительно, так как
и
- решения уравнения
, то
,
, откуда
,
. Это значит, что каждая из функций
,
также являются решением уравнения
. При этом решения
и
удовлетворяют одним и тем же начальным условиям:
,
. Следовательно, по теореме существования и единственности
на
, т.е.
для .
Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения
(
).
2.
Функция
нечётная, а
чётная.
Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с
) симметричны относительно точки
. Покажем теперь, что
и
при любом .
Вводя в рассмотрение функции
и
(тогда
,
) и учитывая свойство 1, будем иметь:
,
,
;
,
.
Таким образом, функции
и
являются решением одной и той же задачи Коши
,
,
. Поэтому (согласно теореме 1)
на
, т.е.
для любого .
Подобным же образом убеждаемся, что функция
является решением задачи Коши
,
,
, следовательно,
на .
3.
Имеет место тождество
.
Доказательство. Полагая
и используя свойство 1, находим
(
),
Вследствие чего
на
. А так как
, то
на
, т.е.
на .
Замечание.
Из свойства 3 следует, что функции
и
ограничены
, причём
,
для любого
.
4.
Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций
и
):
(
) (3) Доказательство. Введём в рассмотрение функции
Считая (без ограничения общности)
постоянной, а
переменной. Эти функции являются решениями уравнения
, удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как
, :
так что
(на
),
Аналогично
(на
),
, .
Следовательно, согласно теореме 1,
и
на
. Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.
Замечание.
Пологая в формулах (3)
, получаем следующие формулы удвоения
:
,
(
).
Отсюда с учётом свойства 3 получаем:
,
(
).
Изучим теперь вопрос о нулях функций
,
, т.е. о корнях уравнений
,
. Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий
, будем называть её положительным нулём
.
Так как
, то число
является одним из нулей функции
.
Лемма1
. Хотя бы одна из функций
,
обладает по крайней мере одним положительным нулём.
Доказательство
.
Предположим (от противного), что уравнения
,
положительных решений не имеют. Тогда на
функции
и
знакопостоянны. Действительно, если бы функция
или
в некоторых точках
принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между
и
, в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.
Учитывая, далее, что
, заключаем, вследствие непрерывности
, что
положительна в некоторой окрестности точки
, и, следовательно,
на .
Функция
возрастает на
, так как
на
, а поскольку
, то
на
. С учётом свойства 3 и положительности функций
,
на имеем
т.е.
для любого
. Очевидно, сто последнее неравенство верно и при
. Интегрируя почленно это неравенство по промежутку
, где
- любое положительное число, большее двух, получаем
т.е.
вопреки выбору числа
. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Лемма2
.
Функция
имеет хотя бы один положительный нуль.
Доказательство.
Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция
обладает хотя бы одним положительным нулём
, а тогда (по формуле удвоения для функции
) будем иметь
,
т.е.
- положительный нуль функции
, но это противоречит допущению.
Замечание
.
Если
, то и
для любого
.
Доказательство. Для
,
-это известно.
Пусть для
утверждение верно, т.е.
. Докажем справедливость утверждения для
.
Используя свойство 4, вычислим
:
т.к.
и
.
5.
Существует наименьший положительный нуль
функции
.
Доказательство. Обозначим через
множество положительных нулей функции
. Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть
. Очевидно, что
. Предположим теперь, что функция
не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества
получаем, что
- предельная точка множества
. Теперь легко убедиться, что
является одним из нулей функции . Действительно,
(здесь мы воспользовались непрерывностью функции
и теоремой о пределе функции (в нашем случае
) в точке
по данному множеству
, для которого
является предельной точкой). Отсюда следует, что
(поскольку в случае
число
было бы наименьшим положительным нулём функции
вопреки сделанному выше предположению).
Но при
имеем
т.е.
. Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции
неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.
Обозначим наименьший положительный нуль функции
через
. Выясним свойства функций
и
, прямо или косвенно связанные с числом
().
6.
Функция
положительна на интервале
и отрицательна на интервале
.
7.
Функция
убывает на
и возрастает на
.
8.
Числа вида
и только эти числа являются нулями функции
.
Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2,
(
). Если же
(
), то
. Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число
(
), такое что
. Без ограничения общности (учитывая нечётность функции
) можем считать, что
. Пусть
. Положим
. Очевидно, что
. Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим
т.е. функция
имеет нуль в интервале
вопреки определению числа
.
9.
,
;
, .
10.
Функция
положительна на
и отрицательна на
.
Доказательство.
1) Докажем, что
на
.
,
(по свойству 9). Найдём
:
, т.к.
, то
, следовательно
, т.е
. Учитывая свойство 7 получим, что
- наименьший положительный нуль функции .
Учитывая, что
и свойство 7, получаем, что
- наибольший отрицательный нуль функции
.
Таким образом, но интервале
функция
не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция
будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция
положительна в некоторой правосторонней окрестности точки
(в силу того, что
(по свойству 9)
). Следовательно,
на всём интервале
, следовательно, и на .
2) Докажем, что
на
.
(по свойству 9). Найдём
:
, т.к.
, то
, следовательно
, т.е
. Учитывая свойство 7 получим, что
- наибольший отрицательный нуль функции .
Таким образом, но интервале
функция
не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция
будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция
отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки
(в силу того, что
,
). Следовательно,
на всём интервале .
11.
.
Действительно, из равенства
имеем
, откуда, учитывая, что
, получим .
12.
Функция
возрастает на
и убывает на
.
Доказательство. Прежде всего, функция
непрерывна на каждом из отрезков
и
и дифференцируема на .
Так как
, то учитывая свойство 10,
на
и
на
.Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.
Замечание
. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на
и возрастает на
.
13.
Функции
,
- периодические с периодом
.
Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что
,
, имеем при любом
:
,
,
т.е.
- период функций
,
.
Докажем теперь, что ни одна из функций
,
не имеет положительного периода, меньше
. Действительно, наличие такого периода у функции
противоречит свойству 7, а если бы таким периодом
обладала функция
, то мы имели бы
, т.е.
, откуда
. Поэтому
, т.е.
, что невозможно.
14.
Нулями функции
являются числа вида
и только эти числа.
Действительно, согласно тождеству
, нулями функции
все те и только те числа
, для которых
. Последнее же уравнение на отрезке
(длина которого равна периоду
функции
) имеет два решения:
и
(на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений
,
уравнения
можно объединить в одну:
.
15.
Справедливы следующие тождества (формулы приведения
):
Доказательство. Убедимся, например, что
.
Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем
.
Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.
16.
Наименьший положительный нуль функции
равен
.
Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости
круг
. Его площадь, как известно, равна
. С другой стороны, эта площадь равна
, где
-площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как
,
то
Вводя подстановку
и учитывая, что при возрастании
от
до
функция
(т.е.
) возрастает от
до , получаем
Итак,
.
Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций
Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из
степенными рядами, называются аналитическими
в этом интервале.
Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.
Рассмотрим степенные ряды
(1)
(2)
Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном
, в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом
,
.
Следовательно, функции
и
как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале
. Более того, эти функции дифференцируемы на
, причём
Функция
чётная, а
нечётная, так как
,
для любого .
Установим ещё некоторые свойства функций
и
.
Теорема1.
Для любого действительного
. (3)
Доказательство.
Имеем
Коэффициент при
можно представить в виде
ибо
- число сочетаний из
элементов по
Аналогично
Коэффициент при
можно представить в виде
ибо
При сложении
и
коэффициент при
будет равен
Выражение в скобках равно нулю, в чём можно убедиться, полагая
,
в формуле бинома Ньютона
Таким образом,
.
Следствие.
Функции
и
ограниченные, причём
и
Теорема 2
.
(теорема сложения для функций
и
). Для любых действительных
и
(4)
(5)
Доказательство
.
Проверим формулу:
Имеем:
Рассмотрим общий член этого ряда, содержащий произведения вида:
, где
. Получим
ибо
Таким образом,
.
Используя чётность или нечётность функций
и
, проверим справедливость формулы:
Имеем
Аналогично проверяется справедливость формул
Теорема3.
Для любых действительных
и
функция
удовлетворяет уравнению
(6)
Доказательство.
По определению функции
имеем:
Вычислим
- общий член ряда для суммы
Далее,
Вычислим
- общий член ряда для произведения
ибо
Получим, что
при
, а поскольку
, то при любых действительных
и
имеет место равенство (6).
Замечание1.
Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:
(7)
Замечание2.
Непосредственно из формул (3) и (7) получим:
Теорема4.
Ф
ункция
имеет по крайней мере один положительный нуль.
Доказательство.
Так как для любого
то
и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции
на
имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число
, такое, что
.
Теперь справедливы следующие утверждения.
1. Функция
имеет наименьший положительный нуль
, иными словами, существует
, такое, что .
2. Имеют место равенства:
3. Функция
положительна на интервале
, а функция
- на интервале .
4. Функция
возрастает на отрезке
.
5. Функция
убывает на отрезке
и возрастает на отрезке
.
6.
.
7. Нулями функции
являются числа
и только такие числа, а функции
- числа
8. Функции
и
являются периодическими с наименьшим положительным периодом
.
9. Имеют место формулы приведения:
10. Наименьший положительный нуль функции
равен
.
Список литературы
|