Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем различать знак включения множеств
и знак строгого включения
;
и
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех
для которых выполняется условие
;
- множество всех натуральных чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е.
;
- дополнение к
во множестве всех простых чисел; в частности,
;
примарное число - любое число вида
;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок группы
;
- порядок элемента
группы
;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы
;
- множество всех простых делителей порядка группы
;
- множество всех различных простых делителей натурального числа
;
-группа - группа
, для которой
;
-группа - группа
, для которой
;
- подгруппа Фраттини группы
, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы
;
- подгруппа Фиттинга группы
, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы
;
- наибольшая нормальная
-нильпотентная подгруппа группы
;
- коммутант группы
, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
-
-ый коммутант группы
;
- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
;
-
-холловская подгруппа группы
;
- силовская
-подгруппа группы
;
- дополнение к силовской
-подгруппе в группе
, т.е.
-холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы
;
-
является подгруппой группы
;
-
является собственной подгруппой группы
;
-
является максимальной подгруппой группы
;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
-
является нормальной подгруппой группы
;
- подгруппа
характеристична в группе
, т.е.
для любого автоморфизма ;
- индекс подгруппы
в группе
;
;
- централизатор подгруппы
в группе
;
- нормализатор подгруппы
в группе
;
- центр группы
;
- циклическая группа порядка
;
- ядро подгруппы
в группе
, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с
в .
Если
и
- подгруппы группы
, то:
- прямое произведение подгрупп
и
;
- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
;
-
и
изоморфны.
Группа
называется:
примарной, если
;
бипримарной, если
.
Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми
, для которых выполняется
.
, где
.
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна в ;
-нильпотентной, если
-холловская подгруппа группы
нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо
-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа
группы
такая, что
нильпотентна.
разрешимой, если существует номер
такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
, что .
Минимальная нормальная подгруппа группы
- неединичная нормальная подгруппа группы
, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
.
Цоколь группы
- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы
.
- цоколь группы
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех
-групп;
- класс всех сверхразрешимых групп;
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и
- группа, тогда:
-
-корадикал группы
, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп
из
, для которых
. Если
- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой группы
, факторгруппа по которой принадлежит
. Если
- формация всех сверхразрешимых групп, то
называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация
называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
.
Класс групп
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что
следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит .
Произведение формаций
и
состоит из всех групп
, для которых
, т.е. .
Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа
группы
называется
-абнормальной, если .
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если .
Пусть
- максимальная подгруппа группы
. Нормальным индексом подгруппы
называют порядок главного фактора
, где
и
, и обозначают символом .
Пусть
- группа и
- различные простые делители порядка группы
. Тогда группа
называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы
, такие что
- силовская
-подгруппа группы
и подгруппа
нормальна в
для всех .
Введение
В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа
группы
квазинормальна в
, если
перестановочна с любой подгруппой из
(т.е.
для всех подгрупп
из
). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы
имеет место
, а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы
, которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно, что если подгруппа
группы
нормальна в
, то в
всегда найдется такая подгруппа
, что выполнено следующее условие:
Таким образом, условие
является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа
является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию
. В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию
были названы
-нормальными. В этой же работе была построена красивая теория
-нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.
В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие
-нормальности для подгрупп.
Определение. Подгруппа
группы
называется слабо квазинормальной в
подгруппой, если существует такая подгруппа
группы
, что
и
,
- квазинормальные в подгруппы.
Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни
-нормальной.
Пример. Пусть
,
где
. И пусть
,
. Тогда
и
. Пусть
- группа простого порядка 3 и
, где
- база регулярного сплетения
. Поскольку
,
и
- модулярная группа, то
квазинормальна в
и поэтому подгруппа
слабо квазинормальна в
. Значит, подгруппа
является слабо квазинормальной в
, но не квазинормальной и не
-нормальной в .
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и
-нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых
-нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и
-нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и
-нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.
Определение. Подгруппа
группы
называется слабо нормальной в
подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа
группы
, что
и .
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть
- группа и
. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) Пусть
- нормальная в
подгруппа. Тогда
слабо нормальная подгруппа в группе
тогда и только тогда, когда
- слабо нормальная подгруппа в группе .
(2) Если
- слабо нормальная в
подгруппа, то
- слабо нормальная в
подгруппа.
(3) Пусть
- нормальная в
подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в
подгрупп
таких, что
,
- слабо нормальная подгруппа в группе .
Доказательство.
(1) Пусть
- слабо нормальная в
подгруппа и
- такая квазинормальная в
подгруппа, что
Тогда
,
- квазинормальная в
подгруппа и
. Значит,
- слабо нормальная в
подгруппа.
Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в
подгруппы
мы имеем
и
Ясно, что
Поскольку
то
и
- квазинормальные в
подгруппы. Следовательно,
- слабо нормальная в
подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3) Пусть
- слабо нормальная подгруппа в группе
и
- квазинормальная в
подгруппа такая, что
и
. Ясно, что и
Значит,
слабо нормальна в
и ввиду (1),
- слабо нормальная в
подгруппа.
В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа
разрешима тогда и только тогда, когда
, где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в .
Пусть
- группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1)
- разрешима;
(2)
, где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо квазинормальны в ;
(3)
, где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в .
Группа
метанильпотентна тогда и только тогда, когда
, где подгруппа
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в .
Доказательство.
Допустим, что
, где
-
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Покажем, что группа
метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1)
не является нильпотентной группой
.
Предположим, что
нильпотентна. Так как ввиду леммы (3),
субнормальна, то
содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе
из
по лемме (2). Тогда
нильпотентна и поэтому
метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы
доказывает (1).
(2)
.
Допустим, что
. Тогда ввиду леммы ,
нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3) Если
- абелева минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
, то
метанильпотентна
.
Пусть
-
-группа и
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Поскольку по лемме ,
-квазинормальна в ,
то условия теоремы справедливы для
. Так как
, то ввиду выбора группы
,
метанильпотентна.
(4) Условия теоремы справедливы для
(это проямо следует из леммы ).
(5)
разрешима
.
Если
, то
метанильпотентна по (4)и выбору группы
. Пусть теперь
. Предположим, что для некоторой силовской подгруппы
из
мы имеем
. Тогда ввиду (3),
разрешима. Пусть теперь
для каждой силовской подгруппы
группы
. Тогда по условию каждая силовская подгруппа из
имеет квазинормальной дополнение в
и поэтому
нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).
(6) В группе
имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа
, содержащаяся в
.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
. Тогда
абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3),
метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то
- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в .
(7) Если
-группа, то каждая силовская
-подгруппа из
, где
, имеет квазинормальное дополнение в .
Пусть
- силовская
-подгруппа в
, где
. Тогда ввиду (6),
. По условию,
слабо нормальна в
и поэтому
имеет квазинормальную подгруппу
, такую что и
Заключительное противоречие
.
Пусть
- силовская
-подгруппа в
и
. Тогда
По условию
имеет квазинормальную подгруппу
, такую что
и
Тогда
и поэтому
- дополнение для
в
, которое является квазинормальной в
подгруппой. Если
-
-подгруппа из
, где
, то ввиду (7),
имеет дополнение в
, которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме ,
нильпотентна и поэтому
метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .
Обратно, предположим, что
метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда
имеет силовскую подгруппу
, которая не является слабо нормальной в
. Пусть
- произвольная минимальная нормальная подгруппа в
и
- подгруппа Фиттинга группы
. Предположим, что
. Тогда
слабо нормальна в
и поэтому по лемме (1),
слабо нормальна в
, противоречие. Значит, и поэтому
Так как по условию
метанильпотентна и
- силовская подгруппа в
, то
имеет нормальное дополнение
в
. Но поскольку
и
-
-группы, то
- нормальное дополнение для
в
. Следовательно,
слабо нормальна в
. Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в .
Пусть
- группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1)
- метанильпотентна;
(2)
, где подгруппа
субнормальна в
,
- абелева холлова подгруппа в
и каждая силовская подгруппа из
слабо квазинормальна в ;
(3)
, где подгруппа
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в .
Пусть
, где подгруппа
-квазинормальна в
,
нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из
слабо нормальна в
. Тогда
сверхразрешима.
Доказательство.
Предположим, что эта теорема не верна и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа
группы
, содержащая
, сверхразрешима
.
Пусть
, где
. Тогда
где
нильпотентна и
-квазинормальна в
. Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из
слабо нормальна в
и
, то по выбору группы
мы имеем (1).
(2) Пусть
- неединичная нормальная подгруппа в
. Предположим, что
-группа. Допустим, что
содержит силовскую
-подгруппу
из
, или
циклична, или
. Тогда сверхразрешима.
Если
, то
нильпотентна. Пусть теперь
. Так как
, то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для
. Ясно, что
где
-квазинормальна в
и
нильпотентна. Пусть
силовская
-подгруппа из
и
- произвольная максимальная подгруппа в
. Пусть
- силовская
-подгруппа из
, такая что
. Ясно, что
- силовская
-подгруппа группы
. Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
. Предположим, что
не является циклической подгруппой. Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
. Если
, то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
. Тогда
. Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и , то
Предположим, что для некоторой подгруппы
из
мы имеем
где
Тогда
Так как
- максимальная в
подгруппа, то либо
, либо
. Если
, то
что противоречит выбору подгруппы
. Значит,
и поэтому мы имеем
противоречие. Следовательно,
- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
. Значит,
слабо нормальна в
. Следовательно, условия теоремы справедливы для
.
(3)
и
сверхразрешима
.
По выбору группы
,
и поэтому
сверхразрешима согласно (1).
(4)
- разрешимая группа
.
По условию
-квазинормальна в
и поэтому по лемме (3),
содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе
группы
. Так как группа
нильпотентна, то
разрешима.
(5) Если
- простое число и
, то
.
Пусть
. Тогда ввиду (2),
сверхразрешима. Если
- множество всех простых делителей порядка группы
, то по лемме (1),
, где
- нормальная
-подгруппа группы
и поэтому
сверхразрешима. Но тогда
сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы
доказывает (5).
(6)
.
Допустим, что
. Тогда по лемме ,
нильпотентна. Пусть
- силовская
-подгруппа из
. Так как ввиду леммы (3)
субнормальна в
, то
субнормальна в
. Тогда
, согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2),
сверхразершима и поэтому
, по выбору группы
. Так как и
нильпотентно, то
- силовская
-подгруппа из
. Пусть
- холлова
-подгруппа из
и
. По лемме ,
нормальна в
и поэтому
. Допустим, что для некоторого простого делителя порядка
, отличного от
, мы имеем
. Тогда
нормальна в
и поэтому
- нормальная подгруппа в
, поскольку
. Но тогда
, что противоречит (5). Следовательно,
и поэтому
. Согласно теореме ,
сверхразрешима и поэтому
- абелева группа, экспонента которой делит
, согласно леммы . Но тогда
- абелева группа экспоненты, делящей
и поэтому
сверхразрешима, согласно леммы . Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).
Заключительное противоречие
.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа в
, содержащаяся в
. Пусть
-
-группа и
- силовская
-подгруппа группы
. В силу (2),
сверхразрешима и поэтому
- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
. Ясно, что
и
. Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы
из
мы имеем
. Ясно, что
и поэтому по условию
имеет дополнение
в
, которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда
и поэтому
. Но тогда
и поэтому, ввиду минимальности
,
. Ввиду (5),
имеет холлову
-подгруппу. Так как в силу леммы (3),
субнормальна в
, то каждая холлова
-подгруппа группы
содержится в
. Следовательно,
-
-группа. Отсюда следует, что
сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа
дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда
, где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы
слабо нормальна в .
Доказательство.
Пусть
, где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы
слабо нормальна в
. Покажем, что группа
дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа
группы
, содержащая
, дисперсивна по Оре
.
Пусть
, где
. Тогда
где
дисперсивна по Оре и
квазинормальна в
. Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из
слабо нормальна в
и
, то по выбору группы
мы имеем (1).
(2) Пусть
- неединичная нормальная подгруппа в
, являющаяся
-группа для некоторого простого числа
. Допустим, что либо
содержит силовскую
-подгруппу
из
, либо
циклична, либо
. Тогда
дисперсивна по Оре.
Если
, то
дисперсивна по Оре. Пусть теперь
. Так как
, то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для
. Ясно, что
где
квазинормальна в
и
дисперсивна по Оре. Пусть
силовская
-подгруппа из
и
- произвольная максимальная подгруппа в
. Пусть
- силовская
-подгруппа из
, такая что
. Ясно, что
- силовская
-подгруппа группы
. Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
. Предположим, что
не является циклической подгруппой. Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
. Если
, то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
. Тогда
. Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и , то
Предположим, что для некоторой подгруппы
из
мы имеем
где
Тогда
Так как
- максимальная в
подгруппа, то либо
, либо
. Если
, то
, что противоречит выбору подгруппы
. Значит,
и поэтому мы имеем
противоречие. Следовательно,
- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
. Значит,
слабо нормальна в
. Следовательно, условия теоремы справедливы для
.
(3) Если
- простое число и
, то
.
Пусть
Тогда ввиду (2),
дисперсивна по Оре. С другой стороны, если
- множество всех простых делителей
, то ввиду леммы (3) и леммы ,
, где
- нормальная
-подгруппа в
и поэтому
дисперсивна по Оре. Но тогда
дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4)
разрешима.
По условию
квазинормальна в
и поэтому ввиду леммы (3) и леммы ,
содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе
группы
. Так как
дисперсивна по Оре, то
разрешима.
(5)
.
Предположим, что
. Тогда согласно лемме ,
нильпотентна. Пусть
- силовская
-подгруппа группы
. Поскольку
субнормальна в
, то
субнормальна в
. Значит, по лемме ,
. Но ввиду (2),
дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы
,
. Пусть
- наименьший простой делитель
. Тогда
имеет нормальную максимальную подгруппу
, такую что
и
. Пусть
- наибольший простой делитель
,
- силовская
-подгруппа группы
. Тогда ввиду (1),
нормальна в
и поэтому
. Если
, то
- силовская
-подгруппа группы
и поэтому
дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что
дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно,
. Но тогда
-группа. Пусть
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
- силовская
-подгруппа в
. Поскольку
- подгруппа группы
и ввиду (1),
дисперсивна по Оре, то
. Так как
дисперсивна по Оре, то
и поэтому
. Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).
Заключительное противоречие
.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
. Пусть
-
-группа и
- силовская
-подгруппа группы
. Ввиду (2),
дисперсивна по Оре. Пусть
- наименьший простой делитель
. Тогда
имеет нормальную максимальную подгруппу
, такую что
и
. Пусть
- наибольший простой делитель
,
- силовская
-подгруппа группы
. Тогда ввиду (1),
нормальна в
и поэтому
. Рассуждая как выше видим, что
. Но тогда
-группа. Значит,
и поэтому
дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Заключение
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и
-нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых
-нормальны или квазинормальны в группе
. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и
-нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и
-нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.
Основные результаты данной работы:
- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;
- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;
- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.
Литература
1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков, М.Т. О
-разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Го Веньбинь.
-накрывающие системы подгрупп для классов
-сверхразрешимых и
-нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
4.Пальчик, Э.М. О группах, все
-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчик, Э.М. О группах, все
-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.
|