Содержание
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=
.
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/
(x), в пространстве дифференцируемых функции D[
a
,
b
]
. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1.
Пусть Ex
и Ey
[1]
– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex
® Ey
называется линейным оператором
, если для любых элементов х1
и х2
пространства Ex
и любого комплексного (действительного) числа
выполняются следующие равенства
[2]
:
1. А(х1
+х2
) = Ах1
+ Ах2
;
2. А(
х) =
А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1
– линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x
Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[
a
,
b
]
– пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[
a
,
b
]
задан формулой:
Дf(x) = f/
(x).
Где f(x)
D[a, b]
, f/
(x)
C[a, b]
.
Оператор Д определен не на всем пространстве C[
a
,
b
]
, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С[-
, +
]
– пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть
(пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение
1
, заданное формулой:
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то
. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть
,
– нормированные пространства.
Определение 2 .
Оператор А: Е
Е1
называется непрерывным
в точке
, если какова бы не была последовательность xn
x0
, А(xn
) сходится к А(x0
). То есть, при p (xn
, x0
)
0, p (А(xn
), А(x0
))
0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3.
Отображение А называется непрерывным
в точке x0
, если какова бы не была окрестность[3]
U точки y0
= А (x0
) можно указать окрестность V точки x0
такую, что А(V)
U.
Иначе
>0
>0, что как только p (x, x0
) <
, p (f(x), f(x0
)) <
.
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0
= 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство.
Линейный оператор А непрерывен в точке х0
=0 тогда и только тогда, когда
. Пусть оператор А непрерывен в точке х0
=0. Возьмем последовательность точек пространства хn
®х1
, тогда хn
–х1
®0, отсюда А(хn
–х1
)®А(0)=0, т. е. А(хn
–х1
)®0.
Так как А – это линейный оператор, то А(хn
–х1
)®Ахn
–Ах0
, а тогда
Ахn
-Ах0
® 0, или Ахn
®Ах0
.
Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0
=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1]
в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1]
и yn
(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:
p (yn
, y) =
|yn
(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(yn
) = yn
(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn
), F(y)) = |F(yn
) - F(y))| = | yn
(1) - y(1)|
|yn
(x)- y(x))|=p(yn
,y),
то есть p (F(yn
), F(y))
0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[
a
,
b
]
, то есть непрерывно на всем пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.
Определение 4.
Линейный оператор А: Е
Е1
называется ограниченным
, если можно указать число K>0 такое, что
||Аx||
K||x||. (1)
Теорема 2.
Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k
S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn
), сходящуюся к k. Так как kn
S, то выполняется неравенство: |А(x)|
kn
||x||, (x
E). Переходя в этом неравенстве к пределу
получаем |А(x)|
k||x||, где (x
E), (k
S).
т. д-на.
Определение 5.
Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой
оператора А и обозначается ||A||[4]
.
||А||
K, для
K, подходящего для (1), то есть |А(x)|
||А||||x||, где
||А|| =
xE.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex
в Ey
был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.
Необходимость
:
Дано: А – ограничен;
Доказать: А – непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx||
K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться
>0,
>0 что ||x||<
||Ax|| < .
Выберем
так, чтобы K*||x|| <
, ||x|| <
, (К>0), значит
=
, тогда если ||x||<
, то ||Аx||
K||x|| < K
=
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в
точке.
Достаточность
:
Дано: А – непрерывен;
Доказать А – ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1
такой, что ||A x1
|| > 1|| x1
||.
Числу 2 найдется вектор x2
, что ||A x2
|| > 2|| x2
|| и т.д.
Числу n найдется вектор xn
, что ||A xn
|| > n|| xn
||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов yn
=
, где
||yn
|| =
.
Следовательно последовательность yn
0 при n
.
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn
0, однако
||Аyn
|| = ||A
|| =
||Axn
||
> n|| xn
||
= 1, получаем противоречие с Аyn
0, то есть А – ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционала[5]
F(y) =
в C[
a
,
b
]
, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна
.
По определению 5: ||F|| =
|F(x)| =
|
|.
|
|
|
| = |
y(x)||
|
|y(x)|||;
||F|| =
(
|y(x)||
|) =
||y(x)|||
| = |
|
.
Таким образом, норма F(y) =
будет ||F|| =
;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) =
.
По выше доказанному ||F|| =
= 1.
§3.
Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
Пусть
,
– нормированные пространства,
– линейный оператор, DA
- область определения оператора,
а RA
– область значений.
Определение 6.
Оператор А называется обратимым
, если для любого элемента у, принадлежащего RA
, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA
, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA
и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором
к оператору А и обозначается А-1
.
Теорема 4.
Для того чтобы линейный оператор
имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
, (m>0).
Доказательство:
Достаточность.
Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0
m*||x||, отсюда ||x||
0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1
существует.
Докажем его ограниченность.
y=Ax.
x=A-1
y, норма ||A-1
y||=||x||, но ||x||
||Ax||=
||y||.
Отсюда ||A-1
y||
||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.
Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1
||=
.
Необходимость.
Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1
на нормированном пространстве.
Итак, ||A-1
y||
М||y||.
Подставляем значение y и значение A-1
y,получим ||x||
M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).
Отсюда ||Ax||
||x||.
Положим
=m, получим ||Ax||
m||x||.
т. д-на.
В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.
Определение 7.
Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn
. Число λ называется собственным значением
оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром
оператора А, а все остальные значения λ – регулярными.
Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор
, где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1
, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:
1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1
при этом не существует;
2) существует ограниченный оператор (А – λI)-1
, то есть λ есть регулярная точка.
В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:
3) оператор (А – λI)-1
существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным
для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1
, называемый резольвентой
оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен.
Совокупность всех остальных значений λ называется спектром
оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1
не существует. Их совокупность называется точечным спектром
. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1
существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром.
Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Определение 8.
Оператор
, где
– регулярная точка оператора А, называется резольвентой
[6]
оператора А и обозначается
(или
).
Теорема 5.
Пусть
– линейный непрерывный оператор,
его регулярные числа. Тогда
.
Доказательство.
Умножим обе части равенства на
:
(
=
=
. С другой стороны получим
. Так как числа
– регулярные для оператора А, то оператор
имеет обратный. Значит, из равенства
следует, что
. Значит, утверждение теоремы верно.
т. д-на.
Примеры.
1) Рассмотрим в пространстве C[0,1]
оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).
Уравнение Аx=
x принимает в этом случае вид:
tx(t) -
x(t) = y(t),
решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.
Если
лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=
x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:
x(t) =
y(t),
откуда следует, что все такие значения параметра
являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на
:
R
(y) =
y(t).
Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть
0
[0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке
0
, y(
0
) = a
0. Для такой функции равенство (t -
0
)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t =
0
левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при
=
0
уравнение Аx=
x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность
0
спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t -
)x(t) = 0,
[0, 1], при любом t, отличном от
, а следовательно, в силу непрерывности и при t =
, обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
2) Пусть оператор А действующий из Е
Е, задается матрицей А=
.
Аx =
=
.
Введем обозначения:
= y1
= y2
x1
, x2
, y1
, y2
E;
A -
*I =
, найдем определитель A -
*I:
D(A -
*I) =
= (2-
)*(-2-
) – 3 =
2
– 7;
Если определитель отличен от нуля, то есть если
не есть корень уравнения
2
– 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра
регулярные.
Корни уравнения
2
– 7 = 0 образуют спектр:
1
=
;
2
= -
;
1
,
2
– собственные значения.
Найдем собственные векторы для собственных значений
:
при
=
получаем:
откуда x1
= (2+
)x2
; 1-й собственный вектор: ((2+
)x, x);
при
= -
получаем:
откуда x1
= (2 -
)x2
; 2-й собственный вектор: ((2 -
)x, x);
§4.
Оператор умножения на непрерывную функцию
Рассмотрим пространство
непрерывных на отрезке
функций, и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,b
R.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn
(x), f0
(x))
0
p (A fn
(x), Af0
(x))
0.
Оператор А, действует в пространстве C[
]
, в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn
(x), f0
(x)) =
| fn
(x) - f0
(x)|.
Решение:
p (A xn
(t), Ax0
(t)) =
|Axn
(t) - Ax0
(t)| =
|xn
(t)g(t) - x0
(t)g(t)|
|g(t)|
|xn
(t) - x0
(t)| =
|g(t)|p (xn
(t), x0
(t))
0.
Итак, p (A xn
(t), Ax0
(t))
0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.
4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.
По определению 5: ||A||=
|A(f)|.
Решение.
||A||=
|A(f)|=
|g(t)x(t)|.
|g(t)x(t)|
|g(t)
x(t)| = |g(t)| |
x(t)|
|x(t)| |g(t)|.
||A||=
|x(t)| |g(t)| =
||x(t)|| |g(t)|
|g(t)|.
Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.
5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.
Возьмем произвольное число
и составим оператор
:
(А-
l
I
) x
(t) = (g(t) –l ) х(t).
Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение
относительно функции
. Это возможно, если
для любого :
.
Если число
не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция
непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке
. Отсюда следует, что оператор
является ограниченным.
Если же
, то оператор
не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).
Резольвента оператора имеет вид
.
Отметим, что точки спектра
,
, не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции
, для которой
, или
. Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.
Вывод:
Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,b
R:
1. линейный;
2. непрерывный;
3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;
4. обратим при
, для любого
;
5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;
6. резольвента имеет вид
.
§5.
Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[
a
,
b
]
, определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) =
.
f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t
[a,x]; x
[a,b]; a,b
R;
Поскольку
- интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a
x
b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению 1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) =
=
+
= A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) =
= k*
= kA(f).
Исходя из свойств интеграла:
1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;
2. вынесение const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn
(t), f0
(t))
0
p (A fn
(t), Af0
(t))
0.
Оператор А, действует в пространстве C[
a
,
b
]
, в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn
(t), f0
(t)) =
| fn
(t) - f0
(t)|.
Решение:
p (A fn
(t), Af0
(t)) =
|
-
|.
|
-
| = |
|
= p (fn
(t), f0
(t))
= p (fn
(t), f0
(t)) (x-a)
0
a
x
b.
Таким образом p (A fn
(t), Af0
(t))
0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
|
|
|
|
||
|
| = 0; |
| = |b-a|.
0
|
|
|b-a|.
5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=
|A(f)|):
||A|| =
|A(f)| =
|
|
= (x-a);
a
x
b;
Норма оператора А: ||A|| = (b-a);
6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.
Возьмем пространство S = {f
C[0,
b
]
/ f(0) = 0} с нормой ||f|| =
|f(x)|.
В пространстве S рассмотрим оператор А:
Аf =
x
[0,b], t
[0,x];
Найдем оператор обратный к (A -
*I),
R;
(A -
*I)*f = g
-
*f(x) = g(x) (1)
Пусть функции f и g дифференцируемы;
Продифференцируем уравнение (1), получим:
f -
*f/
= g/
(2)
Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.
- f/
=
-
+ f/
= 0 (3)
Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:
-
*U*V + U/
*V + U*V/
= 0
U/
*V + U*V/
-
*U*V = -
U/
*V + U*(V/
-
*V) = -
(4)
Решаем однородное линейное уравнение:
V/
-
*V = 0
V/
=
*V
=
*V
=
LnV =
+ c
V =
*
, пусть
= с1
V = с1
*
Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/
-
*V = 0.
Получим уравнение:
U/
* с1
*
= -
= -
= -
*
U = -
*
Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:
f(x) = с1
*
*(-
)*
найдем интеграл Y =
, интегрируем по частям:
dz = g/
(x)dx;
z =
= g(x);
j =
;
dj = -
*
dx;
Y = g(x)*
+
*
Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:
f(x) = -
-
*
*;
Получим оператор В:
Bg = -
-
*
*;
x
[0,b], t
[0,x], g(x)
S,
- произвольное число.
Оператор В не существует, если
= 0;
Рассмотрим ограниченность оператора В для всех
R,
0;
||Bg|| = ||f(x)|| =
|f(x)| =
|-
-
*
*
|
(|
| + |
*
*
|)
|
| +
|
*
*
|
|
| +
|
*
|*
|g(x)*
|*|x|
*
|g(x)| +
*
|g(x)|*
(|
|*|x|)
|g(x)|*(
+
*
*
*b);
При
> 0
=
;
= 1;
При
< 0
=1;
=
;
Эти оба случая можно записать в общем виде:
{1,
}, тогда
|g(x)|*(
+
*
*
*b)
|g(x)|*(
+
*
{1,
}*b) = ||g(x)||*(
+
*
{1, }*b);
Итак:
||Bg||
||g(x)||*(
+
*
{1,
}*b);
То есть В – ограничен.
Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A -
*I).
Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A -
*I)*(Bg) = g(x).
Итак, нужно доказать, что
+ g(x) +
*
= g(x)
или
-
*
-
+
*
*
= 0; (*)
Возьмем производную от левой части (*) и получим:
-
*g(x) -
*
*
+
*
*
+
*
*
* g(x) = -
*g(x) +
*g(x) -
*
*
+
*
* = 0;
Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A -
*I) в S.
Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A -
*I), который существует при
R, за исключением
=0, то есть все возможные
0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение
при которых В не существует, то есть =0.
Вывод:
Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[
a
,
b
]
, определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) =
, где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t
[a,x]; x
[a,b]; a,bR:
1. линейный;
2. непрерывный;
3. ограниченный: 0
|
|
|b-a|;
4. норма A: ||A|| = (b-a);
5. резольвента оператора А: R
(A) = -
-
*
*
, где
x
[0,b], t
[0,x], g(x)
S, S = {f
C[0,
b
]
/ f(0) = 0} с нормой ||f||=
|f(x)|, g(x) =
-
*f(x),
- произвольное число.
6. Спектр оператора А:
=0.
§6.
Оператор дифференцирования.
Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[
a
,
b
]
, заданный следующим образом:
Дf(x) = f/
(x);
Функция f(x)
D[a, b]
, f/
(x)
C[a, b]
;
Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:
1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).
Д(f+g) = (f+g)/
= f/
+ g/
= Д(f) + Д(g).
2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).
Д(kf) = (kf) /
= k(f)/
= kД(f).
Исходя из свойств производной:
1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;
2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Можно утверждать, что Д – линейный оператор.
3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.
3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.
Задан оператор Дf(x) = f/
(x) подпространства E
C[0, 2
]
, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2
]
.
Рассмотрим f0
(x) = 0
C[0, 2
]
и последовательность функций fn
(x)=
.
В пространстве E
C[0, 2
]
: p (f0
, fn
) =
|
| =
0, следовательно fn
f0
.
Рассмотрим последовательность образов: Д(fn
) = cos(nx).
Имеем:
p (Дfn
, Дf0
) =
|cos(nx)|
= 1.
Это означает, что Дfn
не может сходиться к Дf0
, то есть отображение Д терпит разрыв в f0
.
Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.
3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.
Пусть оператор Д действует из C[0, 1]
в C[0, 1]
, оператор Дf(x) = f/
(x);
Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.
В пространстве C[0, 1]
норма ||f|| =
|f(t)|.
Возьмем из C[0, 1]
последовательность fn
(t) = tn
. Она ограничена в C[0, 1]
: ||fn
(t)|| =
|tn
| = 1.
Рассмотрим Д fn
(t): Д fn
(t) = f/
n
(t) = n tn-1
;
||f/
n
(t)|| =
|n tn-1
| = n.
В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод:
Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[
a
,
b
]
, заданный следующим образом: Дf(x)=f/
(x), где функция f(x)
D[
a
,
b
]
, f/
(x)
C[
a
,
b
]
:
1. линейный;
2. не ограниченный;
3. не непрерывный.
§7.
Оператор сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[
]
, заданный следующим образом:
Af(x) = f(x+a).
Функции f(x), f(x+a)
C[
]
, a
R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :
1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).
А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
По определению суммы функции, аксиома верна.
2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).
A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).
Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn
(x), f0
(x))
0
p (A fn
(x), Af0
(x))
0.
Оператор А действует в пространстве C[
]
, в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn
(x), f0
(x)) =
| fn
(x) - f0
(x)|.
Решение:
p (A fn
(x), Af0
(x)) =
|Afn
(x) - Af0
(x)| =
|fn
(x+a) - f0
(x+a)| =
=
|fn
(t) - f0
(t)| = p (fn
(t), f0
(t))
0.
Таким образом p (A fn
(x), Af0
(x))
0. Следовательно оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):
||A|| =
|Af| =
|f(x+a)|
1.
Поскольку ||f|| =
|f(x)|
1.
Норма А: ||A|| = 1.
5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)
Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):
A-1
f(x) = f(x-a).
6) Спектр оператора А.
Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +
)
, имеющих конечный предел на
:
Af(x) = f(x+a), a
0.
Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,
b
)
и С[а,+
)
.
Введем функцию V(x) =
при |
|<1,
0, найдем ее предел:
= 0
Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+
)
.
Теперь рассмотрим V(x+a) =
=
*
=
*V(x).
Для
=0 подберем непрерывную функцию = 0 при x
а и не равную 0 при x
[0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению
V(x) - V(x+a) = 0. Значит
=1
точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга
точечному спектру.
Покажем, что остальные точки окружности
точечному спектру оператора А в пространстве С[0, +
)
.
Рассмотрим U(x) =
и число
=
(|
| = 1);
U(x+a) =
=
=
U(x);
U(x) =
= Cos(
) + iSin(
), принадлежит пространству С[0,
b
)
так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[
a
, +
)
так как не имеют конечного предела на
.
Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.
Покажем, что в пространстве С[0, +
)
точки
=
,
2
n не будут собственными числами.
Докажем это от противного: пусть найдется
=
,
2
n – собственное число, тогда найдется функция f(x)
С[0, +)
, что
f(x+a) =
f(x).
Применим оператор А n раз: f(x+n*a) =
n
f(x), тогда
f(x+na) =
n
f(x), у левой части предел конечен;
правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность
n
=
= Cos(
n) + iSin(
n).
Следовательно
=
,
2
n собственным числом не является.
Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+
)
, так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +
)
.
Сделаем вывод:
При |
|>1 все точки регулярные
;
При |
|<1 и
=1 – точки спектра;
При
=
,
2
n – точки непрерывного спектра.
Вывод:
Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[
]
, заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)
C[
]
, a
R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:
1. линейный;
2. непрерывный и ограниченный;
3. норма А: ||A|| = 1;
4. A-1
f(x) = f(x-a);
5. Спектр оператора А:
· при |
|<1 и
=1 – точки спектра;
· при
=
,
2
n – точки непрерывного спектра;
· При |
|>1 все точки регулярные.
Заключение
В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.
Список литературы
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.
2. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.
3. Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.
4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.
[1]
Ex
и Ey
- линейные многообразия, то есть если x, y
Ex
, то
x +
y
Ey
, при
,
.
Ex
– область определения А;
Ey
- область значения А;
[2]
Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;
[3]
Шаром
в метрическом пространстве называется совокупность элементов
x
пространства, удовлетворяющих условию
p
(
xn
,
x
0
) < а.
Шар
D
(
x
0
,
a
).
Если
p
(
xn
,
x
0
)
а, то
D
(
x
0
,
a
) – замкнутый шар.
Если
p
(
xn
,
x
0
) = а, то
S
(
x
0
,
a
) – сфера.
Всякий шар метрического пространства, содержащий точку
y
, называется окрестностью
точки
y
.
[4]
Свойства нормы оператора.
1) Если оператор
ограничен,
, то и оператор
ограничен, причем .
2) Если операторы
ограничены, то и оператор
ограничен, причем
и .
[5]
Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.
[6]
|