Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу
и подгруппами из факторуппы
существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть
некоторый класс групп. Составим с каждой группой
некоторую систему ее подгрупп
. Будем говорить, что
- подгрупповой
-функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия:
1)
для всех
;
2) для любого эпиморфизма
, где А,
и для любых групп
и
имеет место
и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
- принадлежность элемента множеству;
- знак включения множеств;
- знак строгого включения;
и
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е.
;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок группы
;
- порядок элемента
группы
;
- коммутант группы
, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
-
является подгруппой группы
;
-
является собственной подгруппой группы
;
-
является максимальной подгруппой группы
;
-
является нормальной подгруппой группы
;
-
является субнормальной подгруппой группы
;
-
является минимальной нормальной подгруппой группы
;
- факторгруппа группы
по подгруппе
;
- индекс подгруппы
в группе
;
- нормализатор подгруппы
в группе
;
Если
и
- подгруппы группы
, то:
-
и
изоморфны.
Пусть
- группа,
и
, тогда:
- правый смежный класс,
- левый смежный класс;
- совокупность всех нормальных подгрупп группы
;
- группа порядка
;
Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная элементами
и
.
- подгрупповой
- функтор или подгрупповой функтор на
, где
- некоторый класс групп;
- совокупность всех
- подгрупп группы
;
- тривиальный подгрупповой
- функтор;
- единичный подгрупповой
- функтор;
- ограничение подгруппового
- функтора
на класс групп ;
- пересечение системы подгрупповых
- функторов
;
- решётка всех подгрупповых
- функторов;
- решётка всех замкнутых подгрупповых
- функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
Бинарной алгебраической операцией
на множестве
называют отображение декартова квадрата
во множество
. Если
- бинарная операция на
, то каждой упорядоченной паре
элементов из
соответствует однозначно определенный элемент
. Бинарную операцию на
обозначают одним из символов:
и т.д. Если, например, вместо
условимся писать
, то вместо
пишем .
Говорят, что на множестве X определена
бинарная операция (умножение), если
для всех
.
Если
для всех
, то операция называется ассоциативной
.
Если
для всех
, то операция называется коммутативной
.
Элемент
называется единичным
, если
для всех
.
Обратным
к элементу
называется такой элемент
, что
.
Полугруппой
называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на
, т.е.
для всех
и ;
(2) операция ассоциативна, т.е.
для любых
.
Группой
называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на
, т.е.
для всех
и ;
(2) операция ассоциативна, т.е.
для любых
;
(3) в
существует единичный элемент, т.е. такой элемент
, что
для всех ;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого
существует такой элемент
, что
.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной
или абелевой
.
Если
- конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой
, а число
элементов в
- порядком группы
.
Также группой
называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на
;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения
,
имеют решения для любых элементов
.
Подмножество
группы
называется подгруппой
, если
- группа относительно той же операции, которая определена на группе
. Для подгруппы используется следующее обозначение:
. Запись
читается так:
- подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество
конечной группы
называется подгруппой
, если
для всех
и
Собственной
называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть
- группа,
и
. Правым смежным классом
группы
по подгруппе
называется множество
всех элементов группы
вида
, где
пробегает все элементы подгруппы .
Аналогично определяется левый смежный класс
Если
- конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе
также будет конечно, оно называется индексом подгруппы
в группе
и обозначается через
.
Подгруппа
называется нормальной подгруппой
группы
, если
для всех
. Запись
читается так:
- нормальная подгруппа группы
Равенство
означает, что для любого элемента
существует элемент
такой, что .
Пусть
- нормальная подгруппа группы
. Обозначим через
совокупность всех левых смежных классов группы
по подгруппе
, т.е.
. Группа
называется факторгруппой
группы
по подгруппе
и обозначается через
.
Условимся через S
обозначать совокупность всех подгрупп группы
, содержащих подгруппу
. В частности, S
= S
- совокупность всех подгрупп группы
, а S
.
Каждая нормальная подгруппа
группы
определяет цепочку
. Обобщая эту ситуацию, цепочку
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы
называют нормальным рядом
в
.
Ряд называется субнормальным
, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.
для
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами
(если подгруппа
субнормальна в
, то пишут (
).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Собственная подгруппа
неединичной группы
называется максимальной подгруппой
, если
не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы
, т.е. если из условия
следует, что
или
. Для максимальной подгруппы
неединичной группы
используется запись
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы
и
, что
. Поэтому естественно рассмотреть элемент
, для которого
. Отсюда .
Коммутатором
элементов
и
называют элемент
, который обозначают через
. Ясно, что .
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы
, называется коммутантом
группы
и обозначается через
. Таким образом,
.
Для любой неединичной подгруппы
можно построить цепочку коммутантов
Если существует номер
такой, что
, то группа
называется разрешимой
.
Если
- непустое подмножество группы
и
, то
Элемент
называется перестановочным
с подмножеством
, если
. Равенство
означает, что для любого элемента
существует такой элемент
, что
. Если элемент
перестановочен с подмножеством
, то
Совокупность всех элементов группы
, перестановочных с подмножеством
называется нормализатором
подмножества
в группе
и обозначается через
. Итак,
Пусть
и
- мультипликативные группы. Отображение
называется гомоморфизмом
группы
в группу
, если
для любых
и .
Если
- подмножество группы
, то
образ
при гомоморфизме
, а
- образ гомоморфизма
. Образ гомоморфизма
также обозначают через
.
Ядром
гомоморфизма
называется множество
где
- единичный элемент группы
. Другими словами, в ядре собраны все элементы группы
, переходящие при отображении
в единичный элемент группы .
Гомоморфизм
называется мономорфизмом
, если
. Из леммы 1 следует, что гомоморфизм
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение
- инъекция.
Если
, то гомоморфизм
называется эпиморфизмом
. Ясно, что в этом случае
- сюръекция.
Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.
Теорема 1.1
(Теорема о соответствии) Пусть
- нормальная подгруппа группы
. Тогда:
(
1) если
- подгруппа группы
и
, то
- подгруппа факторгруппы ;
(2) каждая подгруппа факторгруппы
имеет вид
, где
- подгруппа группы
и ;
(3) отображение
является биекцией множества S
на множество S
;
(4) если
S
, то
- нормальная подгруппа группы
тогда и только тогда, когда
- нормальная подгруппа факторгруппы .
Лемма 1.2
Пусть
- гомоморфизм группы
в группу
. Тогда:
(
1) единичный элемент
группы
переходит в единичный элемент
группы
, т.е. ;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.
для всех
;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы
, т.е.
;
(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы
, т.е.
;
(5) тогда и только тогда
где
когда
.
Лемма 1.3
Пусть
- гомоморфизм группы
в группу
. Тогда:
(
1) если
, то
;
(2) если
, то
;
(3) если подмножества
и
сопряжены в
, то
и
сопряжены в .
Теорема 1.4
(Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если
- гомоморфизм, то
.
Теорема 1.5
(первая о изоморфизме) Пусть
- нормальная подгруппа группы
. Тогда для любой подгруппы
пересечение
является нормальной подгруппой в подгруппе
, а отображение
является изоморфизмом групп
и
.
Теорема 1.6
(вторая о изоморфизме) Если
и
- нормальные подгруппы группы
, причем
, то
изоморфна .
Лемма 3.1
Пусть
- формация,
. Тогда
Лемма 20.6.
Пусть
- подгрупповой функтор и
- группа. Если
и
, тогда .
Лемма 20.7.
Пусть
,
- элементарно абелевы
-группы с
. Тогда
имеет подгруппу
такую, что .
Теорема.
Пусть
- такой набор конгруэнций
-алгебры A, что
. Пусть
прямое произведение факторалгебр
и
Тогда
- мономорфизм алгебры
в алгебру
и
входит подпрямо в .
Теорема 20.8.
Пусть
- конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из
либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка
является цепью, когда существует такое простое число
, что каждая группа в
является элементарно абелевой
-группой.
Теорема 20.9.
Пусть
- конечная группа и
- конечное многообразие, порожденное
. Тогда в том и только в том случае
является элементарной абелевой
-группой, когда решетка
является цепью.
Лемма 24.9
Пусть
- наследственный гомоморф конечных групп. Пусть
- замкнутый подгрупповой функтор на
Пусть
- нильпотентная группа в
и
Предположим, что
, где
- простое число. Пусть
- нильпотентная группа в
такая, что
и
Тогда
Лемма 24.10
Пусть
- наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и
Пусть
Если
- идемпотент в
, удовлетворяющий условию
и
, где
тогда
Теорема 24.11
Пусть
- конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в
конечная. Тогда ширина
решетки
всех идемпотентов в
конечна и
в том и только в том случае, когда
состоит из нильпотентных групп и
Пусть
некоторый класс групп. Составим с каждой группой
некоторую систему ее подгрупп
. Будем говорить, что
- подгрупповой
-функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия: 1)
для всех
;
2) для любого эпиморфизма
, где А,
и для любых групп
и
имеет место
и
Подгрупповой
-функтор
называется:
1) замкнутым
, если для любых двух групп
и
имеет место
;
2) тривиальным
, если для любой группы
имеет место
;
3) единичным
, если для любой группы
система
состоит из всех подгрупп группы G.
Тривиальный подгрупповой
-функтор обозначается символом
, а единичный - символом
.
Если
и
- подгрупповой
-функтор, то
- такой подгрупповой
-функтор, что
для всех
. Такой функтор называется ограничением функтора
на классе .
Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда
- класс всех групп, подгрупповые
-функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.
Пример 1.
Пусть для любой группы
,
Понятно, что
- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись
.
Пример 2.
Пусть
- совокупность всех нормальных подгрупп группы
для каждой группы
. Такой функтор в общем случае замкнутым не является.
Пример 3.
Пусть
- произвольное натуральное число. Для каждой группы
через
обозначим совокупность всех таких подгрупп
, для которых
. Понятно, что
- подгрупповой
-функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 4.
Пусть
- произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы
.
Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись
.
Если
- подгруппа группы
, то символом
обозначается мощность множества .
Пример 5.
Пусть
- простое число и пусть для любой группы
система
в
нет такой подгруппы
, что
,
- натуральное число, взаимнопростое с
.
Покажем, что
- подгрупповой функтор.
Действительно
, пусть
и
. Предположим, что
где
- натуральное число. Тогда
- натуральное число и
Следовательно,
, и поэтому
. Это означает, что
. Аналогично, мы видим, что если
то
. Таким образом,
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись
. Заметим, что если
- некоторый класс конечных групп и
, то
- замкнутый подгрупповой функтор.
Пример 6.
Пусть
. И пусть для каждой группы
множество
совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из
, индексы которых не делятся на числа из
. Понятно, что
- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Напомним, что подгруппа
группы
называется абнормальной
в
, если всегда из
следует, что
.
Пример 7.
Пусть для любой группы
множество
совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы
. Легко видеть, что
- незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 8.
Пусть
- произвольный класс групп. Подгруппа
группы
называется
- абнормальной в
, если выполняется одно из следующих двух условий:
1)
;
2)
и для любых двух подгрупп
и
из
, где
и
- максимальная подгруппа в
имеет место .
Легко видеть, если группа
разрешима, то ее подгруппа
абнормальна в
тогда и только тогда, когда она
-абнормальна в .
Сопоставляя каждой группе
множество всех ее
-абнормальных подгрупп
, получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .
Пример 9.
Подгруппа
группы
называется
-субнормальной в
, если выполняется одно из следующих двух условий:
1)
;
2)
и в
имеется такая цепь подгрупп
где
- максимальная в
подгруппа, содержащая
, .
Пусть
- некоторая непустая формация и для каждой группы
система
состоит из всех
-субнормальных в
подгрупп.
Покажем, что
- подгрупповой функтор. Пусть
-субнормальна в
. И пусть
и
- такие члены цепи (1), что
, где
- нормальная в подгруппа.
Покажем, что
- максимальная подгруппа в
. Допустим, что
для некоторой подгруппы
. Тогда поскольку
максимальна в
, то либо
, либо .
Пусть имеет место первое. Тогда поскольку
, то
. Противоречие. Значит,
, т.е.
. Поэтому
. Противоречие. Итак, ряд
таков, что в нём для любого
имеет место одно из двух условий:
1)
;
2)
- максимальная подгруппа в
. He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку
то
Итак,
-
-субнормальная подгруппа в
. Понятно также, что если
-
-субнормальная подгруппа в
, то
-
-субнормальная подгруппа в
. Таким образом,
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп
называется формацией
, если каждая конечная группа
обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом
) со свойством
.
Лемма 3.1
Пусть
- формация,
. Тогда
Доказательство. Пусть
. Тогда
Отсюда следует, что
. С другой стороны, поскольку
- гомоморф, то
Откуда получаем
. Из
и
следует равенство .
Лемма доказана.
Пример 10
. Пусть
- некоторый класс конечных групп и
- формация. Пусть для любой группы
Покажем, что
- подгрупповой
- функтор.
Действительно, пусть
и
. Тогда
, и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем
Следовательно,
. Аналогично, если
, то
. Следовательно,
- подгрупповой
-функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .
Пример 11.
Для каждой группы
через
обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из
. Понятно, что
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Пусть
- некоторый класс групп. Будем говорить, что
- ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число
, что для всех
имеет место
. Везде в дальнейшем мы предполагаем, что
- некоторый ограниченный класс групп.
Обозначим через,
множество всех подгрупповых
-функторов, а через
- множество всех замкнутых подгрупповых
-функторов. На множестве
введем частичный порядок
, полагая, что
имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы
справедливо .
Для произвольной совокупности подгрупповых
-функторов
определим их пересечение
для любой группы
. Понятно, что
- нижняя грань для
в
. Мы видим, что
- полная решетка с нулем
и единицей
. Понятно, что функтор
, где
для всех
, является верхней гранью для
в .
Заметим, что если
- произвольный набор замкнутых подгрупповых
-функторов, то, очевидно,
- замкнутый подгрупповой
-функтор. А поскольку замкнутым является и функтор
, мы видим, что
также является полной решеткой.
Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в
. Отметим, например, что если
содержится в классе конечных групп, то решетка
является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа
класс
состоит из элементарно-абелевых
-групп. С другой стороны, решетка
является цепью тогда и только тогда, когда все группы из
являются
-группами. Покажем, что в общем случае
не является подрешеткой в
. Для этого достаточно установить, что если
- класс всех конечных групп и
,
, где
и
- различные простые числа, то функтор
не является замкнутым. Пусть
, где
- группа порядка
, a
- группа порядка
. Понятно, что
и
. Таким образом, если бы функтор
был бы замкнутым, то мы бы имели
Но, как нетрудно заметить, во множество
входят лишь такие подгруппы
из
для которых имеет место одно из двух:
или
. Это означает, что
. Следовательно, функтор не является замкнутым.
Сопоставляя классу конечных групп
решетки
и
можно изучать свойства групп из
в зависимости от свойств решеток
и .
Лемма 20.6.
Пусть
- подгрупповой функтор и
- группа. Если
и
, тогда .
Доказательство. Если
- канонический эпиморфизм
на
, то
Так как
мы видим по определению подгрупповых функторов, что
.
Лемма доказана.
Пусть
- элемент группы
. Тогда если для некоторого натурального числа
имеет место
, то наименьшее натуральное число
с таким свойством называется порядком элемента
. Говорят, что
- группа экспоненты
, если каждый ее неединичный элемент имеет порядок
.
Пусть
- простое число. Тогда группа
называется элементарно абелевой
-группой, если
- абелева группа экспоненты
.
Лемма 20.7.
Пусть
,
- элементарно абелевы
-группы с
. Тогда
имеет подгруппу
такую, что .
Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда
- бесконечная группа.
Пусть
и
, где
для всех
и
. Пусть
- подмножество в
такое, что
. И пусть
, где
и
. Тогда ясно, что
Следовательно,
.
Лемма доказана.
Напомним, что класс групп называется наследственным
, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием
, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.
Пусть
- простое число, делящее порядок группы
. Подгруппа
группы
называется силовской
-подгруппой в
, если
и
- степень числа
. Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа
в любой конечной группе
с
имеется силовская
-подгруппа. Конечная группа
называется -группой
, если ее порядок является степенью числа
.
Обозначим через
- класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы
Теорема.
Пусть
- такой набор конгруэнций
-алгебры A, что
. Пусть
прямое произведение факторалгебр
и
Тогда
- мономорфизм алгебры
в алгебру
и
входит подпрямо в
., класс
является формацией. Обычно вместо
пишут
. Подгруппа
называется коммутантом
группы
. В теории групп хорошо известно, что если
- конечная
-группа, то
. Легко проверить, что если
, то
Теорема 20.8.
Пусть
- конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из
либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка
является цепью, когда существует такое простое число
, что каждая группа в
является элементарно абелевой
-группой.
Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в
является элементарно абелевой
-группой. Тогда для каждого кардинального числа
, мы полагаем
(см. пример 20.2). Понятно, что
влечет, что
. Для доказательства того, что
является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора
со свойством
найдется кардинальное число
такое, что
Предположим, что
для всех кардинальных чисел
. Тогда
. Поскольку
, то найдется группа
такая, что для некоторой ее подгруппы
мы имеем
. Пусть
. Поскольку
, найдется группа
такая, что для некоторой ее подгруппы
мы имеем
. По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп
из
, удовлетворяющих условию
, мы имеем
. Следовательно,
. Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа
в группе
такая, что
Но
, и поэтому
. Если
- канонический эпиморфизм, который отображает
на
, то
, и поэтому
. Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа
имеем место .
Так как
и так как каждая группа в
- либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число
такое, что
. Пусть
- наименьшее натуральное число такое, что
. Мы покажем, что
. Предположим, что
и пусть
- группа из
такая, что
. В этом случае пусть
. Тогда
. Теперь, по выбору числа
, мы имеем
. Это означает, что найдется группа
такая, что
для некоторой подгруппы
из
с
. Пусть
- подгруппа в
такая, что
и
. Тогда
. Так как
, мы имеем
, и поэтому
. Но тогда
, и поэтому
, противоречие. Следовательно
Значит, .
Теперь мы предположим, что решетка
является цепью. Пусть
и
- конечная группа. Предположим, что порядок
группы
делится по крайней мере на два простых числа
и
. Пусть
И пусть
- силовская
-подгруппа в
и
- силовская
-подгруппа в
, соответственно. Тогда
Значит,
и
. Это показывает, что
не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число
, что каждая конечная группа из
является
-группой.
Мы теперь покажем, что каждая группа в
является абелевой. Предположим, что это не так и пусть
- неабелева группа в
. В этом случае некоторая ее подгруппа
, порожденная элементами
, является конечной неабелевой
-группой. Так как по условию класс
является наследственным, то
. Пусть
, где
- класс всех абелевых групп. Поскольку
, то
, и поэтому
. Следовательно, мы имеем
. Теперь пусть
где
. И пусть
- коммутант подгруппы
,
. Тогда
и ясно, что
. Значит,
. Но поскольку
, мы имеем
. Таким образом,
не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в
является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из
делит число .
Теорема доказана.
Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу
, называется конечным многообразием, порожденным
. Из теоремы 20.8 вытекает
Теорема 20.9.
Пусть
- конечная группа и
- конечное многообразие, порожденное
. Тогда в том и только в том случае
является элементарной абелевой
-группой, когда решетка
является цепью.
Пусть
и
- подгрупповые
-функторы. Определим произведение
при помощи следующего правила
Понятно, что подгрупповой
-функтор
является замкнутым тогда и только тогда, когда
. Мы используем символ
для обозначения произведения
, в котором имеется
сомножителей.
Пусть
- произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа
группы
называется
-холловской
, если ее индекс
в
не делится ни на одно число из
, а среди простых делителей ее порядка
нет ни одного не входящего в
. Символом
обозначают множество всех простых чисел, отличных от .
Конечная группа
называется нильпотентной
, если выполняется одно из эквивалентных условий:
а) все силовские подгруппы нормальны в
;
б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки
) нормальны в
.
Лемма 24.9
Пусть
- наследственный гомоморф конечных групп. Пусть
- замкнутый подгрупповой функтор на
Пусть
- нильпотентная группа в
и
Предположим, что
, где
- простое число. Пусть
- нильпотентная группа в
такая, что
и
Тогда
Доказательство.
Пусть
- холловская
-подгруппа в
и
Предположим, что
Тогда
и поэтому
, где
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
противоречие. Следовательно,
и поэтому найдется максимальная подгруппа
в
така1я, что
и
. Так как
- нильпотентная группа, то
и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем
Теперь мы докажем, что
Если
то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем
. Пусть
и пусть
- максимальная подгруппа в
такая, что
Тогда
и так как
Так как
мы видим, что
и поэтому
Следовательно,
. Если
где
- максимальная подгруппа в
то
Но
и поэтому мы видим, что
Лемма доказана.
Лемма 24.10
Пусть
- наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и
Пусть
Если
- идемпотент в
, удовлетворяющий условию
и
, где
тогда
Доказательство.
Предположим, что
Тогда найдется группа
с
Мы можем предполагать, что
- группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно,
содержит подгруппу
такую, что
, но
Ясно, что
Пусть
- максимальная подгруппа в
такая, что
и пусть
Так как
для каждого
, мы имеем
Понятно, что
и поэтому
Так как группа
нильпотентна, то
и поэтому по лемме 24.6,
Так как
мы видим, что
для всех
Следовательно,
и поэтому по выбору группы
, мы имеем
Так как по условию
то найдется такая группа
, что для некоторой ее подгруппы
мы имеем
и
Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что
и поэтому
Полученное противоречие показывает, что
Но согласно нашему предположению, мы имеем
Следовательно,
Пусть
- решетка. Подмножество
называется антицепью в
если для любых различных элементов
и
из
, мы имеем
и
Если
- антицепь в
такая, что
для любой другой антицепи
, тогда кардинальное число
называется шириной решетки .
Если
- произвольная совокупность групп, то символом
обозначается множество всех простых делителей порядков групп из
.
Теорема 24.11
Пусть
- конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в
конечная. Тогда ширина
решетки
всех идемпотентов в
конечна и
в том и только в том случае, когда
состоит из нильпотентных групп и
Доказательство.
Прежде мы предположим, что формация
нильпотентна и
, где
Пусть
Предположим, что имеется замкнытый функтор
в
такой, что
и
для
Мы покажем, что
Действительно, если
, тогда найдется группа
такая, что для некоторой подгруппы
из
, мы имеем
Мы можем считать, что
- группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что
Пусть
- такая максимальная подгруппа в
, что
. Согласно условию, класс
является наследственным. Следовательно,
, и поэтому ввиду выбора группы
, мы имеем
Пусть
Так как
то найдется группа
такая, что
Таким образом, для некоторой подгруппы
мы имеем
и поэтому по лемме 4.9,
Это означает, что
противоречие. Следовательно,
Значит, если
- замкнутый функтор в
и
то для некоторого
мы имеем
По лемме мы видим, что ширина
решетки
равна
Теперь мы предположим, что ширина
решетки
конечна и
Пусть
Если
и
тогда
и
и поэтому
Это означает, что
- конечное множество. Теперь мы покажем, что
- класс нильпотентных групп. Предположим, что
имеет ненильпотентную
. Пусть
и пусть
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
Так как
- ненильпотентная группа, то для некоторого
имеет место
. Хорошо известно (см., например, [], теорема), что
не является субнормальной подгруппой в
, и поэтому
где
(см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что
и поэтому
Это показывает, что
антицепь
с
противоречие. Таким образом,
- формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10, Теорема доказана.
Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997.
Скиба А.Н. Решетки и универсальные алгебры. Учебное пособие. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255 с.
Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997.
Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2001.238 с.
Монахов В.С. Введение в теорию групп. Тексты лекций по курсу "Алгебра и теория чисел". - Минск: Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с.
Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.468 с.
Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989.253 с.
|