Курсовая работа
"Представления конечных групп"
Содержание
Основные обозначения
Введение
1. Представления конечных групп
1.1 Представления групп
1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
1.3 Лемма Шура
1.4 Соотношения ортогональности для характеров
1.5 Индуцированные представления
1.6 Произведение представлений
Заключение
Список использованных источников
Основные обозначения
– группа
|
– порядок группы
|
– единичный элемент группы
|
– единичная подгруппа, единичная группа
|
– множество всех простых делителей натурального числа
|
– множество всех простых делителей порядка группы
|
– центр группы
|
– подгруппа Фиттинга группы
|
– подгруппа Фраттини группы
|
– коммутант группы
|
– централизатор подгруппы
в группе
|
– нормализатор подгруппы
в группе
|
– группа всех автоморфизмов группы
|
– группа всех внутренних автоморфизмов группы
|
-
является подгруппой группы
|
–
является собственной подгруппой группы
|
–
является максимальной подгруппой группы
|
–
является нормальной подгруппой
|
–
является субнормальной подгруппой группы
|
–
является минимальной нормальной подгруппой группы
|
– индекс подгруппы
в группе
|
– прямое произведение подгрупп
и
|
– полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
|
Введение
В данной работе приведены доказательства следующих теорем:
Теорема.
Непустое подмножество
группы
будет подгруппой тогда и только тогда, когда
и
для всех
.
Группой
называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:
1) операция определена на
, т.е.
для всех
;
2) операция ассоциативна, т.е.
для любых
;
3) в
существует единичный элемент, т.е. такой элемент
, что
для всех
, что
для всех ;
4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого
существует такой элемент
, что
.
Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой
.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной
или абелевой
. Если
– конечное множество, являющиеся группой, то
называют конечной группой
, а число
элементов в
– порядком группы
.
Подмножество
группы
называется подгруппой
, если
– группа относительно той же операции, которая определена на
. Запись
означает, что
– подгруппа группы
, а
– что
– собственная подгруппа группы
, т.е.
и .
Централизатор
. Пусть
– непустое подмножество группы
. Совокупность всех элементов группы
, перестановочных с каждым элементом множества
, называется централизатором множества
в группе
и обозначается через
.
Лемма
1. Если
– подмножество группы
, то централизатор
является подгруппой.
2. Если
и
– подмножество группы
и
, то
3. Если
– подмножество группы
и
, то
Центр группы
. Центром группы
называется совокупность всех элементов из
, перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через
. Ясно, что
, т.е. центр группы
совпадает с централизатором подмножества
в группе
. Кроме того, .
Зафиксируем в группе
элемент
. Пересечение всех подгрупп группы
, содержащих элемент
, назовем циклической подгруппой, порожденной элементом
, и обозначим через
.
Теорема.
Циклическая подгрупппа
, порожденная элементом
, состоит из всевозможных целых степеней элемента
, т.е.
Следствие. Циклическая подгруппа абелева.
Порядок элемента.
Пусть
– элемент группы
. Если все степени элемента
различны, т.е.
для всех целых
, то говорят, что элемента
имеет бесконечный порядок
.
Нормализатор
. Если
– непустое подмножество группы
и
то
и
Элемент
называется перестановочным с подмножеством
, если
. Равенство
означает, что для любого элемента
существует такой элемент
, что
. Если элемент
перестановочен с подмножеством
, то
и
. Совокупность всех элементов группы
, перестановочных с подмножеством
, называется нормализатором подмножества в группе
и обозначается через
. Итак,
Лемма.
Пусть
– непустое подмножество группы
,
– произвольный элемент группы
. Тогда:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) если
– подгруппа группы
, то
Подгруппа
называется нормальной подгруппой
группы
, если
для всех
. Запись
читается: »
– нормальная подгруппа группы
«. Равенство
означает, что для любого элемента
существует элемент
такой, что .
Теорема.
Для подгруппы
группы
следующие утверждения эквивалентны:
1)
– нормальная подгруппа;
2) подгруппа
вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е.
для всех
;
3) подгруппа
совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е.
для всех
.
Лемма.
Пусть
– подгруппа группы
. Тогда:
1)
;
2) если
и
, то
;
3)
– наибольшая подгруппа группы
, в которой
нормальна;
4) если
, то
. Обратно, если
, то ;
5)
для любого непустого подмножества
группы
.
Простая группа
. В каждой группе
тривиальные подгруппы (единичная подгруппа
и сама группа
) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе
нет других нормальных подгрупп, то группа
называется простой
. Единичную группу
считают непростой.
Представления конечных групп
Пусть
– группа всех невырожденных матриц порядка
над полем
комплексных чисел. Если
– произвольная группа, то ее (матричным) представлением
называется любой ее гомоморфизм в
G
,
такой, что
,
(единичная матрица),
. Число n называется степенью
этого представления. Если гомоморфизм A
иньективен, то представление называется точным
.
Пример 1.1
Отображение, переводящее каждый элемент группы
в
, является представлением степени
. Оно называется тождественным представлением
группы
и обозначается через
.
Пример 1.2
Если
– некоторое представление группы
, то для каждой невырожденной матрицы
отображение
также является представлением этой группы.
Пусть
и
– два представления группы
. Если существует невырожденная матрица
, такая, что что
,
то представления
и
называются эквивалентными
. Тот факт, что представления
и
эквивалентны, мы будем обозначать так:
. Отношение
определяет классы эквивалентных представлений
группы
.
Пример 1.3.
Пусть
– симметрическая группа степени
. Для элемента
через
обозначим матрицу,
строка которой имеет вид
, где 1 стоит на
месте. Другими словами,
где
Такое отображение
является точным представлением группы
.
1.4. Пусть
–конечная группа, состоящая из элементов
и пусть
– симметрическая группа на
. Отображение, которое ставит в соответствие элементу
подстановку
является инъективным гомоморфизмом группы
в
. С такой подстановкой
мы свяжем матрицу
где, как и в примере
,
Тогда отображение
является точным представлением группы
. Оно называется правым регулярным представлением
этой группы. Определим
следующим образом:
Тогда
и, если
, то каждый диагональный элемент равен нулю.
регулярное представление группы
определяется аналогично с использованием гомоморфизма
Другими словами,
Пусть
– некоторый гомоморфизм из
в
, т.е. подстановочное представление группы
. Представив подстановку
в виде матрицы
, как это сделано в примере 1.3, мы получим представление
Пусть
– представление степени
. Говорят, что
приводимо,
если существует такая невырожденная матрица
, что
где
и
– квадратные матрицы порядка
и
соответственно, причем
Отметим, что представления
эквивалентны, поскольку
для матрицы
Скажем, что представление
неприводимо,
если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения
и
являются представлении степеней
и
соответственно.
Для заданных представлений
и
группы
степеней
и
соответственно отображение
является представление степени
этой группы. Такое, представление называется прямой суммой
представлений
и
и обозначается через
.
Представление
группы
называется вполне приводимым,
если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица
, такая, что
где каждое
является неприводимым представлением группы
.
Представление
группы
называется унитарным,
если для всех
матрица
является унитарной, т.е.
. Здесь
обозначает матрицу, транспонированную к
, где
, а
– величина, комплексно – сопряженная к
. В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.
Матрица
называется эрмитовой,
если
, и положительно определенной,
если
для каждого ненулевого столбца
. Следующая лемма тривиальна.
Лемма 2.1.
Пусть
– произвольная невырожденная матрица. Тогда
– положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.
Лемма 2.2.
Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы
найдется невырожденная верхнетреугольная матрица
, такая, что
.
Доказательство. Пусть
. Тогда
и
. Пусть
.
Положим
Тогда
и
– положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы
.
Теорема 2.3.
Пусть
– конечная группа. Для каждого представления
группы
найдется невырожденная верхнетреугольная матрица
, такая, что
является унитарной матрицей для всех .
Доказательство. Положим
Тогда в силу леммы 2.1
является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица
, такая, что
и поэтому
. Так как
то
, т.е.
; поэтому
– унитарная матрица.
Теорема 2.4.
Каждое представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство. Пусть
– приводимое представление конечной группы
, и пусть
разлагается следующим образом:
В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица
, такая, что
– унитарная матрица. Так как
верхнетреугольная, то
имеет вид
Поскольку
, мы получаем
откуда следует, что
.
Лемма 3.1.
(Лемма Шура.) Пусть
и
– неприводимые представления группы
степеней
и
соответсвенно. Пусть
– такая
– матрица, что
Тогда либо
,
либо
и
невырожденная.
Доказательство. Допустим, что
. Покажем, что тогда имеет место
. Предположим, что либо
, либо
и
вырожденна. Тогда существуют матрицы
и
, такие, что
где
. Так как
, то
где
Таким образом,
, если
, и
, если
. В любом случае
или
приводимо, что противоречит условию.
Теорема 3.2.
Пусть
– неприводимое представление группы
. Пусть
– такая матрица, что
для всех
. Тогда
, где .
Доказательство. Пусть
– некоторое собственное значение матрицы
. Тогда
, а, кроме того,
откуда в силу леммы Шура следует, что
Теорема 3.3.
Пусть
– абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень
1.
Доказательство. Пусть
– неприводимое представление группы
. Поскольку
коммутирует с каждой матрицей
, из предыдущей теоремы следует, что
, где
. Поскольку
неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.
Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.
Характеры.
Для квадратной матрицы
порядка
обозначим через
ее след
, т.е.
Путем прямых вычислений доказывается следующая
Лемма 4.1.
для произвольной квадратной матрицы
.
Для представления
группы
положим
Тогда
– функция, принимающая значения в множестве
и называемая характером
представления
. Очевидно, что
равно степени представления
. Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами
. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая
Лемма 4.2.
Эквивалентные представления имеют один и тот же характер
.
Поскольку
, имеет место равенство
. Таким образом,
принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы
. Такие функции называются функциями классов
.
Первое соотношение ортогональности для характеров.
Пусть
– группа порядка
, а
и
– ее неприводимые представления степеней
и
соответственно. Для произвольной
– матрицы пусть
Тогда, положив
, получаем
Поскольку
, как и
, пробегает группу
, то
Предположим, что
и
неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура
. Отсюда для
-го элемента матрицы
получаем
В частности, если взять
для некоторой пары
и
в остальных случаях, то
Пусть теперь
. Тогда в силу теоремы 3.2
для некоторого
. При этом
-ый элемент матрицы
равен
где
и
для
. Вычислив след матрицы
мы получаем
(здесь
– степень представления
), откуда
Пусть
для некоторой пары
и
, если
или
. Тогда
Тем самым мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.3.
Пусть
– группа порядка
g.
(1) Пусть
– неприводимое представление группы
степени
. Тогда
(2) Пусть
– неприводимое представление, не эквивалентное представлению
. Тогда
Пусть
– характеры представлений
и
. Положив в предыдущей теореме
и просуммировав по
, мы получаем теорему.
Теорема 4.4.
(Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть
– группа порядка
g.
(1) Если
– неприводимый характер группы
, то
(2) Если
– характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы
, то
Отметим, что
для всех
, поскольку теорема 2.3 утверждает, что
эквивалентно некоторому унитарному представлению
и потому
Пусть
– представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы
и
– характеры представлений
. Обозначим через
классы сопряженных элементов группы
, причем
, и пусть
– представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.
Теорема
.
Для функций
, определенных на группе
порядка
и принимающих значения в поле
, определим скалярное произведение
по следующему правилу:
В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо
будем писать
. Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:
В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:
Теорема
. Пусть
– характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы
. Тогда
Кратности неприводимых представлений.
Пусть
– некоторое представление группы
. Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению
где
– неэквивалентные неприводимые представления. Число
называется кратностью
представления
в
, и мы записываем
Пусть
– характер представления
и
– характер представления
. Тогда
Если
, то
и
называют неприводимыми компонентами
представления
и характера
соответственно.
Теорема 4.5.
Пусть
– группа и
– характер некоторого ее представления. Пусть
– кратность неприводимого характера
в
. Тогда
Доказательство. Пусть разложение
в сумму неприводимых характеров имеет вид
, где
– кратность
. Тогда
Теорема 4.6.
Пусть
– представления группы
, а
– их характеры. Тогда
и
эквивалентны в том и только том случае, когда .
Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты
в
и
определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы
вполне приводимо, представления
и
эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление
имеет в
и
одну ту же кратность. Таким образом,
тогда и только тогда, когда .
Пусть
– характер правого регулярного представления группы
порядка
. Отметим, что
Для характера
произвольного неприводимого представления
выполняется соотношение
равно степени представления
). Следовательно, справедлива следующая
Теорема 4.7.
Пусть
– характер правого регулярного представления группы
. Тогда каждое неприводимое представления
этой группы входит в
с кратностью
, где
– степень представления
. Таким образом,
где суммирование ведется по всем неприводимым характерам
группы
.
Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер
левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому
.
Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в
в качестве компоненты, и поэтому
имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы
совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.
Теорема 4.8.
Пусть
– полный набор различных неприводимых характеров группы
. Пусть
– степень
, а
– порядок группы
. Тогда
и
для
.
Для доказательства достаточно вычислить
на элементе
, используя (4.8).
Второе соотношение ортогональности для характеров.
Пусть
– группа, а
– ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса
:
Определим произведение
и
по правилу
где
, а суммирование ведется по
. Для элемента
обозначим через
число пар
, таких, что
. Тогда для
имеется в точности
пар
, таких, что
, поскольку
тогда и только тогда, когда
для
. Поэтому каждый элемент из
появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.
Совокупность всех элементов
для
также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через
.
Тогда
Пусть
– неприводимое представление группы
и
– степень
. Определим
по правилу
Тогда
поскольку
пробегает
, как и
. Значит,
коммутируют с
и в силу теоремы 3.2
Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим
где
– характер представления
и
. В силу (4.10)
Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству
или
Пусть
– все различные неприводимые характеры группы
и
– степень
. Равенство (4.14) имеет место для каждого
. Просуммировав (4.14) по
, получим
Отсюда
Величина
равна порядку централизатора
элемента
в группе
. Поскольку в силу (4.5)
, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.9.
(Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть
– множество всех различных неприводимых характеров группы
, и пусть
– полный набор представителей классов сопряженных элементов группы
. Тогда
где
– порядок
и суммирование ведется по всем неприводимым характерам
группы .
Теорема 4.10.
Число различных неприводимых характеров группы
равно числу ее классов сопряженных элементов.
Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть
есть
– матрица, а
есть
– матрица. Если определитель квадратной матрицы
, имеющий порядок
, отличен от нуля, то .
Пусть
– все различные неприводимые характеры группы
, а
– полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме
Поэтому
. В силу теоремы 4.9
Отсюда следует, что
и потому
.
Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Обозначим через
и
порядки групп
и
соответственно. Если
– некоторая функция на
, то через
обозначим ее ограничение на
. В случае когда
– функция классов на
,
также является функцией классов на
. Если
– характер некоторого представления
группы
, то
представляет собой характер ограничения
представления
на .
По функции
, заданной на
, определим функцию
на
правилом
полагая
для
, не принадлежащих
. Отметим, что
является функцией классов на
, даже еслм
не является функцией классов на
. Если
не сопряжен ни с каким элементом из
, то .
Лемма 5.1.
Пусть
– функция классов на группе
, а
– функция классов на подгруппе
группы
. Тогда
Доказательство. Имеем
Вклад в сумму дают лишь такие пары
, что
. Поэтому, суммируя по тем парам
, для которых
при некотором
, получаем
Если
– характер некоторого представления группы
, то назовем
индуцированным характером
группы
и скажем, что
индуцирован с
. Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .
Пусть
– множество представителей левых смежных классов группы
по
:
Для представления
подгруппы
определим матрицу
так:
где для
, не содержащихся в
, полагаем
. Это обобщение правого регулярного представления группы
. Мы покажем, что
– представление группы
степени
, где
, а
– степень
. При фиксированных
и
множество
содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по
, поэтому среди матриц
, лишь одна ненулевая. Аналогично, множество
содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по
и среди матриц
, также лишь одна ненулевая. Обозначим
-й блок матрицы
через . Тогда
Покажем, что
. Имеется единственное число
, такое, что
, и единственное число
, такое, что
. Если
, то
. Если же
, то
и
, поскольку
. В любом случае
и следовательно,
. Поскольку
, матрица
невырожденна. Таким образом
является представлением группы .
Пусть
– характер
, а
– характер
. Тогда
Тем самым мы получим
. Назовем
индуцированным представлением
группы
и будем говорить, что
индуцировано с
. Сказанное суммирует следующая
Теорема 5.2.
Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Пусть
– представление
степени
, а
– его характер. Тогда индуцированное представление
имеет степень
, где , и характер
Теорема 5.3.
(Закон взаимности Фробениуса.) Пусть
– подгруппа в
. Пусть
– полный набор неприводимых характеров группы
, а
– полный набор неприводимых характеров группы
. Тогда
в том и только том случае, когда
Другими словами, если
– неприводимое представление группы
, а
– неприводимое представление
, то
является неприводимой компонентой в
кратности
тогда и только тогда, когда
является неприводимой компонентой в
кратности .
Доказательство. Пусть
и
. В силу леммы 5.1
Пусть
– квадратные матрицы порядков
и
соответственно, и пусть
. Определим кронекерово
, или тензорное
, произведение
матриц
и
следующим образом:
Значит,
представляет собой квадратную матрицу порядка
. Непосредственными вычислениями устанавливается следующая
Лемма 6.1.
(1)
,
(2) если
имеют степень
, a
– степень
, то
Пусть
и
– представления группы
. Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение
также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением
представлений
и обозначают через
. Пусть
– характеры представлений
соответственно. По лемме 6.1 (1)
Пусть
– полный набор неприводимых представлений группы
, а
– характер
. Отображение
также является неприводимым, и его характер – это
, где
. Пусть .
Теорема 6.2.
Равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Таким образом, кратность вхождения
в
равна кратности вхождения
в
Теорема 6.3.
Пусть
– точное представление группы
и
– его характер. Пусть
– число различных значений, которые принимает
на
. Тогда каждое неприводимое представление группы
входит в
для некоторого
, где
.
Доказательство. Предположим, что неприводимое представление
не входит в
. Пусть
– характеры
и
соответственно. Тогда
для
. Пусть
принимает на
значение
. Положим
и
. В силу (6.1)
для
Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для
. Поскольку
, эта система имеет решение .
Пусть
– степень представления
, т.е.
. Мы можем считать, что
. Покажем, что
. Пусть
, т.е.
. Обозначим через
циклическую группу, порожденную элементом
. По теореме 3.3
эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы
Пусть
– порядок элемента
. Тогда
. Взяв след в равенстве (6.3), получаем
. Это означает, что
, т.е.
. Плскольку
точно,
. Поэтому
и
. Полученное противоречие доказывает теорему.
Таблицы характеров.
Пусть
– группа и
– классы сопряженных элементов в
. Пусть
– нерпиводимые характеры группы
, а
– представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения
таким образом, чтобы получить таблицу характеров
группы
, в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с
, а столбцы – классами сопряженности группы
, начиная с класса .
Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы
, а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.
Путем прямых вычислений доказали лемму:
для произвольной квадратной матрицы
и теорему: Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Пусть
– представление
степени
, а
– его характер. Тогда индуцированное представление
имеет степень
, где , и характер
Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма:
,
(2) если
имеют степень
, a
– степень
, то
Список использованных источников
Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.
Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.
Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195
Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24
|