Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай
– область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області
задано скалярне поле, якщо кожній точці
поставлено у відповідність деяке число .
Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія), на якій функція
набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи
різних постійних значень:
, отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.
Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина
є функцією лише точки
і, можливо, часу (нестаціонарні поля).
Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат
, то точка
у цій системі координат матиме певні координати
і скалярне поле
стане функцією цих координат: .
2. Векторне поле
Кажуть, що в області
задано векторне поле, якщо кожній точці
поставлено у відповідність деякий вектор
.
Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості
; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції
; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння
, що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .
Зручною геометричною характеристикою векторногополя
є векторні лінії – криві, в кожній точці
яких вектор
напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.
Нехай векторна лінія, яка проходить через точку
, описується рівнянням
, де
– параметр. Умова колінеарності вектора поля
і дотичного вектора
в довільній точці цієї лінії має вигляд
,(1)
де
– деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді
(2)
або, помноживши на
, у вигляді
.(3)
Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку
, визначається додатковою умовою
,(4)
де
– радіус-вектор точки
.
Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці
вектор
повністю визначається своїм модулем
і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат
, то векторне поле
описується вектор-функцією трьох змінних
або трьома скалярними функціями – її координатами:
.
Оскільки в прямокутних координатах
, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь
,(5)
а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
,(6)
де
– координати точки
.
3. Похідна за напрямом
Скалярне і векторне поля
і
Називаються диференційованими
разів, якщо функції
диференційовані
разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.
Нехай
– скалярне поле, задане в області
,
– одиничний фіксований вектор;
– фіксована точка;
– довільна точка із
, відмінна від
і така, що вектор
колінеарний
. Нехай, далі,
– величина напрямленого відрізка
(вона дорівнює його довжині
, якщо напрям вектора
збігається з напрямом вектора
, і дорівнює –
, якщо вектори
і є протилежними).
Означення.
Число
називається похідною скалярного поля
(функції
) в точці
за напрямом
і позначається символом.
Похідна за напрямом
є швидкістю зміни функції
за напрямом
в точці.
Якщо в прямокутній системі координат
, то
.(7)
Зокрема, якщо вектор
збігається з одним із ортів
або
, то похідна за напрямком
збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо , то
.
Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення
. Вектор
називається похідною векторного поля
(вектор-функції
) в точці
за напрямом
і позначається символом.
Якщо в прямокутній системі координат
, то
.
4. Градієнт скалярного поля
скалярне векторне поле дивергенція
Означення
. Градієнтом скалярного поля
називається вектор-функція
.
Із рівності (7) випливає, що
,(8)
Звідси
, оскільки
.
Тут
– кут між векторами
і
в точці
. Очевидно, що
має найбільше значення при
, тобто у напрямі
в даній точці. Інакше кажучи, вектор
в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля
(функції
) у цій точці, а
є швидкість зростання функції
в цьому напрямі. Таким чином, вектор
не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією.
5. Потенціальне поле
Означення.
Векторне поле
називається потенціальним в області
, якщо воно збігається в області
з полем градієнта деякого скалярного поля:
.(9)
Функція
називається скалярним потенціалом векторного поля
. Якщо
, то із рівності (9) випливає, що
.
Інколи потенціалом векторного поля
називають таку функцію
, що
.
Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси
, розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією
(
– гравітаційна стала,
). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці
. Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції
, яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно
.
Аналогічно
, звідси
.
Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду
, розміщеного на початку координат. Воно описується в точці
вектором напруженості
.
Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді
. Функція
називається потенціалом електричного поля точкового заряду
.
Поверхні рівня потенціала
називаються еквіпотенціальними поверхнями.
6. Дивергенція
Означення
. Дивергенцією векторного поля
називається скалярна функція
.
Слово «дивергенція» означає «розбіжність».
Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду
, розміщеного в початку координат:
,
.
Оскільки
, і аналогічно
, то
(при
). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат
.
7. Ротор
Означення. Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор-функція
.
Зокрема, для плоского поля
маємо
.
Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі
із сталою кутовою швидкістю
(рис. 1).
Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле швидкостей
точок цього тіла можна подати у вигляді
.
Знайдемо ротор поля швидкостей
:
.
Таким чином,
є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання
, а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:
.
Розглянемо потенціальне поле
. Його потенціал
. Обчислимо ротор цього поля:
.
Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.
8. Соленоїдальне поле
Векторне поле
називається соленоїдальним в області
, якщо в цій області
. Оскільки
характеризує густину джерел поля
, то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.
Наприклад, електричне поле
точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову
) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці
). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.
Якщо векторне поле
можна подати як ротор деякого векторного поля
, тобто
, то вектор – функція
називається векторним потенціалом поля .
Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що
, тобто поле
є соленоїдальним.
Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор Гамільтона
Згадаємо, що символ
називається оператором частинної похідної по
. Під добутком цього оператора на функцію
розумітимемо частинну похідну
, тобто
. Аналогічно,
і
– оператори частинних похідних по
і по .
Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:
.
За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.
У результаті множення вектора
на скалярну функцію
отримуємо
:
.
Скалярний добуток вектора
на вектор – функцію
дає
:
.
Векторний добуток вектора
на вектор – функцію
дає
:
.
10. Нестаціонарні поля
Нехай в області
визначено нестаціонарне скалярне поле
: величина
є функцією точки
і часу
. Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку
, яка рухається в області
(частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом
. Величина
в рухомій точці
є складеною функцією :
.
Обчислимо похідну по
цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо
.
Вводячи в точці
вектор швидкості
, отримуємо
Або
.(11)
Аналогічно, якщо в області
задано нестаціонарне векторне поле
, то для рухомої точки
векторна величина
є складеною функцією
:
. Повну похідну по
для кожної координати вектор – функції
можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори
і складаючи, отримуємо
.(12)
У формулах (11) і (12) доданки
і
виражають швидкості зміни величин
та
з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки
і
утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.
|