Вычисление обратной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу
Квадратная матрица А
называется невырожденной
, или неособенной
, если её определитель отличен от нуля и вырожденной
, или особенной
, если её определитель равен нулю.
Квадратная матрица В
называется обратной
для квадратной матрицы А
того же порядка, если их произведение
АВ= ВА=Е
,
где
Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема.
Для того, чтобы матрица А
имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная к А
, обозначается через А-1
, так что В= А-1
. Для матрицы А
обратная ей матрица А-1
определяется однозначно.
Справедливы следующие равенства:
1) D
(А-1
)=(
D
А)-1
;
2) (А-1
)-1
=А
;
3) (А1
А2
)-1
=А2
-1
А1
-1
;
4) (АТ
)-1
=(А-1
)Т
.
Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:
пусть нам дана матрица А
, имеющая следующий вид:
Предположим, что D
А
¹
0
. Построим следующую матрицу С
следующим образом:
где А
ij
– алгебраическое дополнение элемента а
ij
в определителе матрицы А
. Очевидно, что для построения матрицы С
необходимо сначала заменить элементы матрицы А
соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Полученная таким образом матрица С
называется присоединённой
к матрице А
, или союзной с А
.
Чтобы получить матрицу А-1
, обратную для матрицы А
, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С
поделить на D
А
, т.е. матрица А-1
будет иметь следующий вид:
Пусть матрица А
, имеет следующий вид:
Чтобы найти матрицу А-1
, обратную для матрицы А
, необходимо:
- вычислить определитель матрицы (D
А= -3
);
- найти алгебраические дополнения элементов а
ij
в определителе матрицы А
:
- составить присоединённую матрицу С
по формуле (2);
- разделить все элементы матрицы С
на D
А
.
Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе
Word
присоединенную матрицу С
по формуле (2), после чего в программе Excel
найдём обратную матрицу А-1
(по формуле (3)) для матрицы А
.
1. Включите компьютер.
2. Подождите пока загрузится операционная система Windows
, после чего откройте окно
Microsoft
Word
.
3. Вставьте объект
Microsoft
Equation
3
.
0.
4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:
·запишите
алгебраическоедополнение А12
., используя шаблон нижних индексов
;
·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;
·занесите числовые значения определителя в свободные поля;
Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12
-А44
(см. рис. 8.1)
В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel
.
5. Откройте окно
Microsoft
Excel
.
6. Перепишите матрицу А
и формулу
(4) из
Word
в
Excel
(см. рис. 8.2).
Рис. 8.1 Рис. 8.2
7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций
ƒх
, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:
·
активизируйте ячейку
D9;
·выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ƒх
в стандартной панели задач;
·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ
выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;
·выделите область
A6¸C8;
·
выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ОК
(рис. 8.3).Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11
= -45, А12
= 20, А13
=1, А14
=-17, А21
=63, А22
= -31, А23
=1, А24
=25, А31
= -6, А32
=3, А33
=3,33Е-16, А34
= -3, А41
=12, А42
= -5, А43
= -1, А44
=5.
Как вы видите, значение дополнения А33
записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:
· активизируйте ячейку
L17, после чего нажатие ПКМ;
· на экране компьютера появится контекстное меню;
· выполните нажатие ЛКМ
на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);
Рис. 8.4
·
после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ
на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);
·
выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ОК
.
После чего алгебраическое дополнение А33
=0 см. рис. 8.6
-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать
: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.
8. Найдём в Excel
матрицу А-1
,
обратную для А
. Для этого:
·заполните ячейки
А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С
(рис. 8.7).
Рис. 8.7 Рис. 8.8
·активизируйте ячейку
А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением
в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).
·Выделите область
А28¸D31, после чего поменяйте формат
выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ
(см. рис. 8.9).
Рис. 8.9 Рис. 8.10
9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:
·выделите область
F28¸I31;
·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх
(
категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);
·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift
+
Ctrl
+
Enter
.
В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.
Задания для самостоятельной работы.
1) |
2 |
2 |
-1 |
1 |
1 |
-0,5 |
0,5 |
-1 |
2) |
3 |
4 |
1 |
2 |
6 1/3 |
-4 1/6 |
-2 1/3 |
2 5/6 |
4 |
3 |
-1 |
2 |
ответ: |
1 |
0,5 |
-0,5 |
0 |
3 |
5 |
3 |
5 |
ответ: |
-5 |
3,5 |
2 |
-2,5 |
8 |
5 |
-3 |
4 |
-1 |
1,5 |
-0,5 |
0 |
6 |
8 |
1 |
5 |
2 |
-0,5 |
-1 |
0,5 |
3 |
3 |
-2 |
2 |
-4 |
1,5 |
-0,5 |
2 |
3 |
5 |
3 |
7 |
0 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
3) |
2 |
3 |
11 |
5 |
- 2/7 |
2/7 |
5/7 |
- 1/7 |
4) |
2 |
-2 |
0 |
1 |
1/4 |
1/6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
2 |
ответ: |
1 2/7 |
-2 4/5 |
2/7 |
- 1/3 |
2 |
3 |
1 |
-3 |
ответ: |
- 1/6 |
0 |
0 |
1/8 |
2 |
1 |
3 |
2 |
- 1/7 |
2/3 |
- 1/7 |
0 |
3 |
4 |
-1 |
2 |
3/8 |
- 1/2 |
- 1/3 |
1 1/7 |
1 |
1 |
3 |
4 |
- 1/7 |
1/7 |
- 1/7 |
3/7 |
1 |
3 |
1 |
-1 |
1/8 |
- 2/5 |
0 |
4/9 |
5) |
2 |
-2 |
0 |
1 |
1/4 |
1/6 |
0 |
0 |
6) |
2 |
5 |
4 |
1 |
1 |
- 1/3 |
- 1/2 |
1/7 |
2 |
3 |
1 |
-3 |
ответ: |
- 1/6 |
0 |
0 |
1/8 |
1 |
3 |
2 |
1 |
ответ: |
- 4/5 |
1 5/7 |
0 |
0 |
3 |
4 |
-1 |
2 |
3/8 |
- 1/2 |
- 1/3 |
1 1/7 |
2 |
10 |
9 |
7 |
5/6 |
-2 |
1/5 |
0 |
1 |
3 |
1 |
-1 |
1/8 |
- 2/5 |
0 |
4/9 |
3 |
8 |
9 |
20 |
- 1/5 |
2/7 |
0 |
0 |
7) |
1 |
1 |
-6 |
-4 |
- 1/9 |
1/4 |
0 |
0 |
8) |
4 |
-3 |
1 |
5 |
1/2 |
0 |
- 3/5 |
1/3 |
3 |
-1 |
-6 |
-4 |
ответ: |
2/5 |
- 1/4 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
-2 |
-3 |
ответ: |
1/2 |
- 2/9 |
- 8/9 |
2/5 |
2 |
3 |
9 |
2 |
- 1/9 |
0 |
0 |
0 |
3 |
-1 |
2 |
0 |
- 1/2 |
- 1/9 |
1 |
- 2/7 |
3 |
2 |
3 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1/9 |
2 |
3 |
2 |
-8 |
1/5 |
- 1/9 |
- 1/4 |
0 |
9) |
7 |
9 |
4 |
2 |
1 |
0,6 |
-2 |
1,4 |
10) |
2 |
-1 |
-6 |
3 |
- 2/9 |
3/8 |
0 |
-1 1/6 |
2 |
-2 |
1 |
1 |
ответ: |
0 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
7 |
-4 |
2 |
-15 |
ответ: |
0 |
1/4 |
- 1/3 |
-1 1/6 |
5 |
6 |
3 |
2 |
-1 |
-0,6 |
3 |
-3,4 |
1 |
-2 |
-4 |
9 |
- 2/7 |
1/8 |
0 |
- 1/3 |
2 |
3 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
2 |
-6 |
- 1/8 |
0 |
0 |
- 2/7 |
11) |
6 |
5 |
-2 |
4 |
0 |
- 1/3 |
3/4 |
3/7 |
12) |
3 |
-2 |
-5 |
1 |
0 |
1/4 |
2/5 |
0 |
9 |
-1 |
4 |
-1 |
ответ: |
0 |
1/9 |
- 1/5 |
- 1/5 |
2 |
-3 |
1 |
5 |
ответ: |
- 1/6 |
0 |
3/8 |
1/5 |
3 |
4 |
2 |
-2 |
- 1/6 |
1 2/7 |
-2 1/4 |
-1 1/4 |
1 |
2 |
0 |
-4 |
- 1/7 |
1/6 |
1/9 |
0 |
3 |
-9 |
0 |
2 |
0 |
1 |
-2 |
-1 |
1 |
-1 |
-4 |
9 |
0 |
0 |
0 |
1/9 |
13) |
2 |
-3 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14) |
1 |
1 |
-6 |
-4 |
- 1/9 |
1/4 |
0 |
0 |
6 |
9 |
-2 |
-1 |
ответ: |
0 |
1/6 |
0 |
0 |
3 |
-1 |
-6 |
-4 |
ответ: |
2/5 |
- 1/4 |
0 |
0 |
10 |
3 |
-3 |
-2 |
2/3 |
1/2 |
- 1/7 |
- 1/3 |
2 |
3 |
9 |
2 |
- 1/9 |
0 |
0 |
0 |
8 |
6 |
1 |
3 |
- 1/2 |
- 1/2 |
0 |
1/2 |
3 |
2 |
3 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1/9 |
15) |
1 |
2 |
3 |
-2 |
0 |
1/9 |
1/6 |
1/9 |
2 |
-1 |
-2 |
-3 |
ответ: |
1/9 |
0 |
1/9 |
- 1/6 |
3 |
2 |
-1 |
2 |
1/6 |
- 1/9 |
0 |
1/9 |
2 |
-3 |
2 |
1 |
- 1/9 |
- 1/6 |
1/9 |
0 |
|