| Содержание
1)Поверхностный интеграл второго рода
2)Вычисление интеграла по поверхности
3)Теорема Остроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интеграл теорема доказательство
Интеграл по поверхности
Поверхность будем рассматривать
1. как образ замкнутой области
при непрерывном отображении
2. Отображение можно задать в векторном виде
в каждой точке гладкой поверхности
3. Для
существует нормаль
, перпендикулярный к касательным
кривым
в точке
. Следовательно
равен векторному произведению касательных к
векторов:
,
поверхность
-
направление касательных прямых к
и
в т.
к поверхности
.
Направляющие косинусы нормали
к поверхности
Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:
Примеры векторных полей:
- поле скоростей текущей жидкости или газа.
- гравитационное поле
- электростатистическое поле.
Если в какой то области
, заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью
, к каждой точке
можно поставить в соответствие векторное поле
, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.
Поверхностный интеграл второго рода.
Определение интеграла по поверхности.
Вычисление.
Дано:
- область ограниченная поверхностью
Дано:
- поверхность
-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность
в направлении нормали
.
Функции
- непрерывны в области
с границей
.
Т/н
: поток жидкости (или газа) через поверхность
в направлении
.
Решение.
1. Поверхность
разобьем на
произвольных частей.
2. Выберем по точке
3. Вычислим
скорость течения жидкости в точке
4. Определим
, где
-скалярное произведение
-единичная нормаль к поверхности
в точке
- вектор в точке
.
5. Составим
6. Найдем
Механический смысл интеграла по поверхности
-
объем цилиндра с основанием
и высотой
.
Если
-скорость течения жидкости , то
равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность
за единицу времени в направлении нормали .
- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность
в положительном направлении нормали
равен потоку векторного поля
через поверхность
в направлении нормали .
Вычисление интеграла по поверхности
Пусть нормаль
:
Заметим, что
Действительно,
как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно
,
-угол между касательной плоскостью к
и его проекцией на плоскость
Следовательно
Вычисление интеграла по поверхности.
1.
Аналогично
Пример 1.
Найти поток вектора
через часть поверхности параболоида
в направлении внутренней нормали.
-проектируется на
с двух сторон и
образует с осью Ох углы
(острый и тупой )
Аналогично
Пример 2. Вычислить
, где
-сфера
, нормаль
внешняя.
Пример 3. Найти поток вектора
через часть сферы
в направлении внешней нормали
Пример 4.
Пример 5.
Теорема Остроградского-Гаусса.
Дивергенция.
-поток вектора через поверхность
в направлении
за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области
и количеством жидкости втекающей в область .
1.
. Следовательно из области
жидкости вытекает столько же сколько втекает.
2.
жидкости или газа вытекает больше, внутри
существует источник
.
3.
жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри
существует сток.
Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри
нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.
Если
-непрерывна вместе с частными производными в области
то:
Поток изнутри
равен суммарной мощности источников и стоков в области
за единицу времени.
Величина потока вектора через замкнутую поверхность
:
является глобальной характеристикой векторного поля в области
и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области
.
· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали
, а не абсолютное количество жидкости прошедшей через
независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):
Дивергенция:
Определение:
-
стягивается в точку.
Определение: Дивергенцией векторного поля
в точке
называется предел отношения потока векторного поля через поверхность
к объему
, ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность
стягивается в точке .
Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля
исходящего из точки
, т.е. мощность источника и стока
находящегося в точке .
- средняя объемная мощность потока
.
-существует источник в точке
.
- существует сток в точке
Теорема 2.
Доказательство:
ч.т.д.
Пример 1.
. Найти поток вектора
через всю поверхность тела
,
в направлении внешней нормали.
Решение:
1.
2.
Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.
|