Полуточка: модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.
Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.
Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:
Считается, что точка
принадлежит миру с временем
:
В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:
Здесь величина
определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом
есть разность времён этих двух миров:
Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:
Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина
зависит от величины
, и с течением
величина
испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин
и :
Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:
и
Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:
где через
обозначен оператор
с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:
Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
А именно:
Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
В силу того, что величина
и её приращение являются скалярами, имеем:
И в случае когда
мало, имеем:
Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:
Оставив члены первого порядка малости по
:
Используя определение полуточки
получим:
Положив точку функцией величины
и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности
, получим:
Это выражение и является определением скорости точки
, если она движется во времени
, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
То есть абсолютное приращение точки
выполняется несмотря на произвольность величины
так, что точка
остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметим также, что в силу свойства точки
верно равенство:
Далее...
Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины
и
дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Для понимания дальнейшего вывода представим величины
и
в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:
Здесь индексом
обозначены главные части, а индексом
- дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:
Сгруппировав главные и дуальные части, получим:
Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин
,
,
и
, оценим характер вклада в скорость точки
отдельных величин
и
. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.
Случай 1.
Зададим точку
как дуальный вектор с единичной главной частью:
а величину
как дуальный вектор с нулевой главной частью:
Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
В силу того, что выбрано условие
, имеем:
Таким образом, в приведённых выше условиях величина
является линейной скоростью приращения дуальной части
. В силу того, что в состав величины
входит как полярная, так и дуальная части, то есть:
то в силу свойств функций
и
, определённых как
И имеющих свойства сопрягаться:
Имеем равенство для первого случая:
Или: величина
является линейной скоростью изменения вектора
.
Случай 2. Выберем величины
и
такими, что выполняются следующие условия:
Используя выражение (29) с этими условиями, получим:
В силу выбора
и свойства (38) имеем:
И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
Переведя величины
и
в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:
где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов
и
.
Или: величина
является угловой скоростью вращения вектора
.
Таким образом, величины
и
имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.
Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний
и
здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины
и
, а также отдельное исследование главной части точки
. В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора
|