IX математический симпозиум.
Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.
г. Волжский.
05-11 октября 2008 года.
Белотелов В.А.
Нижегородская обл.
г. Заволжье
vbelotelov@mail. ru
Простые числа? – Это просто!?
Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.
Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.
Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:
(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.
Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.
Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.
Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные
числа, а d – разность этой прогрессии.
Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).
Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.
Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.
В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.
Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.
В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.
В формулах индексы
и
обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же
и
дополнительными индексами не отягощаю. Без
и
описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражении
под суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при
>1 и
>1 из формулы выпадают.
Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.
Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.
Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.
Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.
Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.
Обобщающий вывод:
ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.
1
|
7
|
11
|
13
|
17
|
19
|
23
|
29
|
31
|
37
|
41
|
43
|
47
|
49
|
|
53
|
59
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
61
|
67
|
71
|
73
|
77
|
79
|
83
|
89
|
91
|
97
|
101
|
103
|
107
|
109
|
113
|
119
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
121
|
127
|
131
|
133
|
137
|
139
|
143
|
149
|
151
|
157
|
161
|
163
|
167
|
169
|
173
|
179
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
181
|
187
|
191
|
193
|
197
|
199
|
203
|
209
|
211
|
217
|
221
|
223
|
227
|
229
|
233
|
239
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
241
|
247
|
251
|
253
|
257
|
259
|
263
|
269
|
271
|
277
|
281
|
283
|
287
|
289
|
293
|
299
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
301
|
307
|
311
|
313
|
317
|
319
|
323
|
329
|
331
|
337
|
341
|
343
|
|
347
|
349
|
353
|
359
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
361
|
367
|
371
|
373
|
377
|
379
|
383
|
389
|
391
|
397
|
401
|
403
|
407
|
409
|
413
|
419
|
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
421
|
427
|
431
|
433
|
437
|
439
|
|
443
|
449
|
451
|
457
|
461
|
463
|
467
|
469
|
473
|
479
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
481
|
487
|
491
|
493
|
497
|
499
|
503
|
509
|
511
|
517
|
521
|
523
|
527
|
529
|
533
|
539
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
541
|
547
|
551
|
553
|
557
|
559
|
563
|
569
|
571
|
577
|
581
|
583
|
587
|
589
|
593
|
599
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
601
|
607
|
611
|
613
|
617
|
619
|
623
|
629
|
631
|
637
|
|
641
|
643
|
|
647
|
649
|
653
|
659
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
661
|
667
|
671
|
673
|
677
|
679
|
683
|
689
|
691
|
697
|
701
|
703
|
707
|
709
|
713
|
719
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
721
|
727
|
731
|
733
|
737
|
739
|
743
|
749
|
751
|
757
|
761
|
763
|
767
|
769
|
773
|
779
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
6
|
4
|
2
|
4
|
2
|
4
|
6
|
2
|
|
7х13
|
11х11
|
7х43
|
19х19
|
17х23
|
11х41
|
13х37
|
7х73
|
1
|
31
|
61
|
91
|
121
|
151
|
181
|
211
|
241
|
271
|
301
|
331
|
361
|
391
|
421
|
451
|
481
|
511
|
541
|
571
|
11х17
|
7х31
|
13х19
|
7х61
|
11х47
|
7
|
37
|
67
|
97
|
127
|
157
|
187
|
217
|
247
|
277
|
307
|
337
|
367
|
397
|
427
|
457
|
487
|
517
|
547
|
577
|
7х23
|
13х17
|
11х31
|
7х53
|
19х29
|
7х83
|
11
|
41
|
71
|
101
|
131
|
161
|
191
|
221
|
251
|
281
|
311
|
341
|
371
|
401
|
431
|
461
|
491
|
521
|
551
|
581
|
7х19
|
11х23
|
7х49
|
13х31
|
17х29
|
7х79
|
11х53
|
13
|
43
|
73
|
103
|
133
|
163
|
193
|
223
|
253
|
283
|
313
|
343
|
373
|
403
|
433
|
463
|
493
|
523
|
553
|
583
|
7х11
|
7х41
|
13х29
|
11х37
|
19х23
|
7х71
|
17х31
|
17
|
47
|
77
|
107
|
137
|
167
|
197
|
227
|
257
|
287
|
317
|
347
|
377
|
407
|
437
|
467
|
497
|
527
|
557
|
587
|
7х7
|
13х13
|
7х37
|
17х17
|
11х29
|
7х67
|
23х23
|
13х43
|
19х31
|
19
|
49
|
79
|
109
|
139
|
169
|
199
|
229
|
259
|
289
|
319
|
349
|
379
|
409
|
439
|
469
|
499
|
529
|
559
|
589
|
11х13
|
7х29
|
17х19
|
7х59
|
11х43
|
13х41
|
23
|
53
|
83
|
113
|
143
|
173
|
203
|
233
|
263
|
293
|
323
|
353
|
383
|
413
|
443
|
473
|
503
|
533
|
563
|
593
|
7х17
|
11х19
|
13х23
|
7х47
|
11х49
7х77
|
29
|
59
|
89
|
119
|
149
|
179
|
209
|
239
|
269
|
299
|
329
|
359
|
389
|
419
|
449
|
479
|
509
|
539
|
569
|
599
|
|
7х103
|
11х71
|
29х29
|
13х67
|
17х53
|
19х49
7х133
|
31х31
|
23х47
|
11х101
|
7х163
|
601
|
631
|
661
|
691
|
721
|
751
|
781
|
811
|
841
|
871
|
901
|
931
|
961
|
991
|
1021
|
1051
|
1081
|
1111
|
1141
|
1171
|
13х49
7х91
|
23х29
|
17х41
|
19х43
|
11х77
7х121
|
13х79
|
7х151
|
31х37
|
11х107
|
607
|
637
|
667
|
697
|
727
|
757
|
787
|
817
|
847
|
877
|
907
|
937
|
967
|
997
|
1027
|
1057
|
1087
|
1117
|
1147
|
1177
|
13х47
|
11х61
|
17х43
|
7х113
|
23х37
|
13х77
11х91
7х143
|
19х59
|
611
|
641
|
671
|
701
|
731
|
761
|
791
|
821
|
851
|
881
|
911
|
941
|
971
|
1001
|
1031
|
1061
|
1091
|
1121
|
1151
|
1181
|
19х37
|
7х109
|
13х61
|
11х83
|
23х41
|
7х139
|
17х59
|
13х91
7х169
|
613
|
643
|
673
|
703
|
733
|
763
|
793
|
823
|
853
|
883
|
913
|
943
|
973
|
1003
|
1033
|
1063
|
1093
|
1123
|
1153
|
1183
|
7х101
|
11х67
|
13х59
|
7х131
|
19х53
|
17х61
|
11х97
|
23х49
7х161
|
13х89
|
617
|
647
|
677
|
707
|
737
|
767
|
797
|
827
|
857
|
887
|
917
|
947
|
977
|
1007
|
1037
|
1067
|
1097
|
1127
|
1157
|
1187
|
11х59
|
7х97
|
|
17х47
|
7х127
|
13х73
|
11х89
|
|
7х157
|
|
19х61
|
29х41
|
619
|
649
|
679
|
709
|
739
|
769
|
799
|
829
|
859
|
889
|
919
|
949
|
979
|
1009
|
1039
|
1069
|
1099
|
1129
|
1159
|
1189
|
7х89
|
23х31
|
11х73
|
17х49
7х119
|
19х47
|
13х71
|
7х149
|
29х37
|
11х103
|
623
|
653
|
683
|
713
|
743
|
773
|
803
|
833
|
863
|
893
|
923
|
953
|
983
|
1013
|
1043
|
1073
|
1103
|
1133
|
1163
|
1193
|
17х37
|
13х53
|
7х107
|
19х41
|
11х79
|
29х31
|
|