Числа Фибоначчи и золотое сечение в живом - реферат

В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики.

Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

Кроме того, и это являются фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика.

Наконец было установлено довольно большое количества ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма».

Добро пожаловать в « золотое сечение» нашей природы!

В вышедшей в 1202 г. «Книге абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи содержалась задача о кроликах.

«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5 из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в десятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар привела первая пара в данном месте к концу одного года. Действительно, на этих полях ты можешь увидеть, как мы это делаем; именно, мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».

Из выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующее же члены равны сумме двух предыдущих.

2.Перейдем от кроликов к числам рассмотрим следующею числовую последовательность:

u1, u2, …, un,

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т.е. при всяком n>2

un = un-1+un-2

Такие последовательности, в которых каждый член определяется, как некоторая функция предыдущих в математике называется рекуррентными или по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство(2) – возвратным (рекуррентным) уравнением. Число рекуррентно – индуктивно по его номеру.

Заметим, прежде всего, что по одному этому условию (2) члены последовательности (1) вычислять нельзя.

Можно составить сколько угодно различных числовых последовательностей, удовлетворяющих этому условию; например,

2,5,7,12,19,31,50,…,

1,3,4,7,11,18,29,…..,

-1,-5,-6,-11,-17,……, и т.д.

значит для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы можно было вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

Начнем с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена (1) имеется два предшествующих; например. Перед первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один, значит вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

3.Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u1 =1 и u2=1. Условие (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,

которые уже встречались в задаче о кроликах.

В честь автора этой задачи вся последовательность(1) при u1=u2=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

Также в этом труде содержалось множество других задач. Л. Фибоначчи неоднократно путешествовал по странам Востока и в своей книге использовал труды арабских математиков.

1.Разделим отрезок АВ единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

С2 А С1 В

Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

_1_ = __х__

х 1-х (1.1)

откуда х2=1-х (1.2)

положительным корнем(1.1) являются _-1_+_√_5_

2

так что отношения в пропорции (1.1) равны

_1_ = ___2___ = ___2(1+√5)__ = _1+√5_ = а

х -1+√ 5 (-1+√5)(1+√5) 2

каждое такое деление (точкой С1) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С2 окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением). Как это видно на рисунке. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

_С2 В_ = _А В_ = а

АВ С2А

2.Фактическое построение точки, делящей отрезок золотым сечение, осуществляется без труда.

Р
ис. 3 Рис. 4

Пусть АВ=1; востановим из точки перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ=1/2 (рис. 3). Тогда ЕВ = √ 1+(1/2)2 = √5/2.

Проведя из Е, как из центра дугу через А до пересечения с ЕВ в точке D, мы получаем

ВD = _√5-1_

2

Наконец проведя через D дугу с центром в В, мы находим искомую точку С1.точку внешнего деления С2 можно найти из условия АС2 = ВС1.

3.Золотое сечение довольно часто встречается в геометрии, например, для квадрата, вписанного в полукруг (см. рис. 4), точка С делит золотым сечением отрезок АВ.

Сторона правильного десятиугольника (рис.5) вписанного в круг радиуса R, как известно равна

2R sin 360°/2,10 т.е. 2R sin 18°

таким образом,

а 10 =2R _√5-1_ = R _√5-1_ = _R_

4 2 а

И

R

А 10

Е

А

D

G

В