Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть
- кольцо с единицей 1. Элемент
из множества
называется обратным в кольце
, если
.
называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо
, элемент 2 необратим в этом кольце, так как
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел.
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел
, обратимыми являются все элементы кроме
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
, обратимыми являются все элементы кроме
.
Определение. Поле – это кольцо
, если:
- коммутативное кольцо (операция
коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица
.
Всякий ненулевой элемент кольца
обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа
- галуафилд.
;
. Определим
операции сложения и умножения:
И
- бинарные операции,
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция
- коммутативна,
-бинарные операции,
- унарная операция, т.к.
, .
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть
- поле. Обозначение:
.
Если
, то
.
Доказательство. Пусть
, докажем, что
, то есть
, тогда
противоречие с аксиомой поля
. Если
, то по аксиоме полей
|
,
.
Если
,
.
умножим равенство
справа на
, то есть
.
.
Доказательство. Если
, то
, умножая обе части равенства
на
слева,
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции:
,
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство.
. Умножим обе части равенства справа на
, где .
, где
.
Доказательство. Выпишем правую часть
равна левой части.
, где
.
Доказательство. Правая часть
равна левой части.
,
.
Доказательство. Правая часть
левая часть.
,
.
Доказательство. Левая часть
.
,
.
Если
, то
.
Доказательство. Вычислим произведение
то есть
обратный элемент к .
, где
.
Доказательство. Левая часть равна
равна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1.
, так как поле.
2.
3.
4.
, так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля
называется подкольцом с единицей поля
, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля
, отличное от
называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле
. Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции
и
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система
называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра
- это поле с единицей 1.
Множество
замкнуто относительно операции
и
Аксиома минимальности, если
такое, что:
а)
б)
, тогда
.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|