Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.
п.1. Построение поля комплексных чисел.
Рассмотрим множество
. Определим на
бинарные операции сложения
, умножения
, унарную операцию
и определим элементы .
Для
:
;
;
.
Обозначим:
.
Теорема 1. Алгебра
является полем.
Доказательство. Проверим, что алгебра
есть абелева группа.
Для
.
Для
.
Для
.
Для
(
.
Проверим, что операция
- ассоциативна, то есть
.
Действительно,
.
Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для
.
Действительно,
,
.
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
Из выше доказанного следует, что алгебра
есть кольцо.
Проверим, что кольцо
коммутативно, то есть для
.
Действительно,
.
Проверим, что
- кольцо с единицей 1, то есть
.
Действительно,
.
Так как
, то
.
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца
обратим. Пусть
, что равносильно
. Рассмотрим пару
и проверим, что эта пара является обратной к паре
. Действительно,
.
Из выше доказанного следует, что алгебра
- поле.
Определение. Поле
называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать
, то есть
. Приняты также следующие обозначения:
для
.
Теорема 2. Каждое комплексное число
может быть, и притом единственным образом, записано в виде:
, где
. (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа
).
Доказательство. Существуют
такие, что
. Имеем
.
Теорема 3. Число
обладает свойством:
.
Доказательство.
.
Из равенства
следует, что
.
Определение. Пусть
, где
. Число
называется действительной частью,
- мнимой частью комплексного числа
. Пишем .
Пусть
- алгебраическая форма записи комплексного числа
. Тогда:
если
, то
;
если
, то
.
Определение. Если
, то комплексное число
называют чисто мнимым числом.
Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
1) Для
.
Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.
Доказательство.
.
2) Для
.
Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.
Доказательство.
.
3) Для
.
Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.
Доказательство.
.
4) Для
.
Доказательство.
.
5) Для
.
Доказательство.
.
6) Для
, если
, то
.
Доказательство.
.
п.3. Операция сопряжения.
Определение. Пусть комплексное число
записано в алгебраической форме
. Числом сопряжённым с
называется число .
Свойства операции сопряжения
Для
, где
,
, .
1).
Доказательство.
.
2) .
Доказательство. .
3) .
Доказательство.
.
.
4) Если a¹ 0, то
.
Доказательство.
.
5)
.
Доказательство.
.
6)
.
Доказательство.
.
С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.
п.4. Модуль комплексного числа.
Пусть
записано в алгебраической форме
.
Определение. Модулем комплексного числа
называется неотрицательное действительное число
.
Свойства модуля.
Для
, где
,
, .
1)
.
Доказательство.
.
2)
.
3)
.
Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.
4)
.
Доказательство.
.
Отсюда следует нужное утверждение.
5) Если
, то
.
Доказательство.
.
6) Неравенство треугольника:
.
Доказательство. Докажем сначала неравенство
.
Имеем
(2)
,
так как
.
Из (2) следует, что
.
Из последнего неравенства следует неравенство (1).
Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для
. Докажем неравенство треугольника для
. Имеем
.
7)
.
Доказательство.
. Отсюда следует нужное неравенство.
8)
.
Доказательство. Справедливы неравенства
,
.
Одно из подчёркнутых чисел совпадает с
.
п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть
записано в алгебраической форме
. Поставим в соответствие числу
точку плоскости с координатами
. Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.
Числа
и
расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.
Геометрический смысл модуля
Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа
равно
. Поэтому геометрический смысл
- расстояние от
до начала координат.
y
bi a
i
-1+i 1+i
- 1 0 1 a
x
- 1-i 1-i
- i
Рис.1.
- bi `a
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями:
;
;
.
y | z | =1 y | z |£1 y | z |³1
i i i
- 1 1 - 1 1 - 1 1
0 0 0
- i - i - i
Рис.2.
Пусть
записано в алгебраической форме
. Имеем
.
Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.
y
b a
d |b-d|
b|a-c|
Рис.3.
0 c a x
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями:
;
.
y y
| z-1| =2 0
x
- i
- 1 0 1 3 x |z+i |> 1
- 2i
Рис.4.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
векторами плоскости
Поставим в соответствие числу
связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке
. Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.
y
a+b
b
a
0 Рис.5
x
Геометрический смысл модуля комплексного числа
, при интерпретации чисел векторами, - длина вектора
. Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.
п.6. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Определение. Аргументом комплексного числа
называется число
, равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором
,
определяется с точность до углов, кратных
. Главным значением аргумента комплексного числа
называется то значение
, которое принадлежит промежутку
, оно обозначается
и .
Пусть
записано в алгебраической форме
. Тогда из геометрической интерпретации
следует, что:
;
, если
;
, если
;
, если
.
Заметим, что
выражается только в радианах,
не определён.
Теорема 4. Каждое комплексное число
может быть записано в виде
.
Доказательство. Изобразим
вектором комплексной плоскости,
см. Рис.6.
y
b a
Рис.6.
0 a x
Угол, образованный вектором
и положительным направлением оси абсцисс, равен
, следовательно,
. Поэтому
.
Определение. Если комплексное число
записано в виде
, то говорят, что
записано в тригонометрической форме.
Правила действий с комплексными числами,
записанными в тригонометрической форме.
Пусть комплексные числа
записаны в тригонометрической форме
.
1)
,
то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство.
.
2) Если
, то
,
то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Доказательство. Обозначим
. Так как
, то нужное утверждение доказано.
3) Если
, то
.
4) Формула Муавра. Для
,
.
Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.
5) Обобщённая формула Муавра. Для
,
.
Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).
п.7. Показательная форма записи комплексного числа.
Обозначение. Для
обозначим
. (1)
Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа
в показательной форме принимает вид
. (2)
Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .
Теорема 5. Для
справедливы равенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Из формул Эйлера следует, что для
.
Складывая и вычитая эти равенства находим, что для
:
(1)
;
(2)
.
Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно,
, для
, определяются равенствами:
;
;
;
.
Если в формулах (1), (2), заменить
на
, то мы получим формулы для определения значений
. Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :
;
;
;
.
п.9. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть
,
. Комплексное число
называется корнем степени
из
, если .
Теорема 6. Пусть
,
- множество всех корней степени
из 1. Тогда алгебра
- группа, (которая называется группой корней степени
из 1).
Доказательство. Пусть
.
Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем
- корень степени
из 1.
Проверим, что
- унарная операция. Имеем
- корень степени
из 1.
Очевидно, что 1 – корень степени
из 1.
Доказано, что
- алгебра.
То, что алгебра
- группа, следует из свойств комплексных чисел.
Теорема 7. Для
существует точно
различных корней
степени
из 1,
, . (1)
Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).
Доказательство. Проверим сначала, что числа
, заданные равенством (1), являются корнями степени
из 1. Действительно,
.
Докажем, что любой корень
степени
из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к.
, то
можно записать в показательой форме .
Имеем
. Поэтому
,
,
, где
. По теореме о делении с остатком, существуют такие
, что
, где .
Значит,
,
, т.е. вычисляется по формуле (1).
Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.
Теорема 8. Пусть
,
,
,
. Тогда существует точно
различных корней
степени
из
,
, . (2)
Доказательство. Проверим сначала, что числа
, заданные равенством (2), являются корнями степени
из
. Действительно, .
Пусть
- корень степени
из
. Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число
, где
определено формулой (2). Имеем
Следовательно
- корень степени
из 1, т.е.
совпадает с одним из чисел
. Имеем
Из вышедоказанного следует, что числа
попарно различны.
п.10. Мультисекция.
Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть
- многочлен с числовыми коэффициентами,
. Тогда
, (1)
где
.
Доказательство. Для
равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для
. Имеем
(2)
Если - целое, то
и
.
Если - не целое, то
и по формуле суммы членов геометрической прогрессии
.
Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем
, для которых
. Отсюда следует (1).
Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.
Следствие 1. Пусть
. Тогда
. (3)
Доказательство. Рассмотрим многочлен
.
Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что
,
где . Полагая
в последнем равенстве получим, что
. (4)
Имеем
.
Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).
п.11. Упорядоченные поля
.
Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система
такая, что:
1) алгебра
- поле;
2)
- линейный порядок на
;
3) для
;
4) для
.
Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок
, согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.
Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.
Теорема 9. Если
- упорядоченное поле, то для
из условия
, следует, что .
Доказательство. Так как
- линейный порядок, то
или
. Если
, то по условию 4)
. Если
, то
и по условию 4), .
Теорема 10. Если
- упорядоченное поле, то для
из условия
следует, что .
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что
и
. Из условия 3 следует, что
.
Теорема 11. Поле комплексных чисел
нельзя упорядочить.
Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел
упорядоченно. Так как
, то по теореме 10
- противоречие.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
|