Описываются понятия r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.
п.1. r- перестановки.
Определение. r- перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения.
Если (a
, ..., a
) есть r- перестановка n- элементного множества, то r £ n.
Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного множества, где n, rÎN. Положим P(n, 0) = 1 для nÎN0.
Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного множества, где
n, rÎN, вычисляется по формуле
P(n, r) = n
= n(n -1)...(n - r + 1). (1)
Доказательство. Первая координата r- перестановки n- элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1).
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n, |B| = r, где
n, r ÎN. Тогда число всех инъекций f: B ® A равно P(n, r) = n
.
Доказательство. Обозначим B={b
, ..., b
}, инъекция f: B ®A может быть записана в табличной форме
,
где кортеж
есть r- перестановка множества A. Поэтому искомое число равно P(n, r).
Определение. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу.
Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного множества равно n!.
Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n
= n(n-1)...(n-n+1) =
= n!.
Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| = |B| = n, nÎN. Тогда число всех биекций f: B ® A равно n!.
Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f: B ® A является инъекцией и наоборот. По следствию 1, искомое число равно P(n, n) = n!.
п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания).
Определение. Пусть A- конечное множество. r- сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.
Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rÎN
. Справедливы утверждения:
1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества равно
.
2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного множества равно
.
Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные подмножества определяют разные перестановки. Поэтому K×r! - число всех r- перестановок множества A, равное n
. Отсюда следует, что K = n
/ r! = =
.
Пример 1. Каждый кортеж
N
, где
, кодируется k-элементным подмножеством
множества
. Поэтому, при фиксированном k, число всех кортежей
N
, где
, равно .
Пример 2. Перечисление беспорядков степени n. Обозначим U- множество всех перестановок степени n,
. Будем считать, что элементами перестановок являются числа
. Перестановка
степени n называется беспорядком, если
для всех .
Существует только один беспорядок
степени 2.
Существует только два беспорядка
степени 3.
Для
обозначим
множество всех
перестановок степени n таких, что
. Число всех беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих множеству
. Обозначим
число всех беспорядков степени n. По формуле включения- исключения
, (1)
где суммирование ведётся по всем кортежам
N
таким, что
. Легко видеть, что для любого кортежа
N
, где
справедливо равенство
.
При фиксированном k число всех кортежей
N
, где
, равно
. Из равенства (1) следует, что
.
Поэтому
.
п.3. Перестановки с повторениями.
Определение. Кортеж t = (b
, ..., b
) называется перестановкой с повторениями состава (n
, ..., n
) множества {a
, ..., a
}, если элемент a
входит в t n
раз, ..., a
входит в t n
раз, где n
, ..., n
ÎN
, .
Обозначение. Обозначим P(n
, ..., n
) число всех перестановок с повторениями состава (n
, ..., n
) некоторого k - элементного множества, где n = = n
+...+n.
Теорема 1. Для любого (n
, ..., n
)ÎN
P(n
, ..., n
) = n!/n
!...n
! , где n = n
+...+n .
Доказательство. Перестановка (b
, ..., b
) состава (n
, ..., n
) множества {a
, ..., a
} кодируется кортежем длины k: на первом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент
; на втором месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент
; ...; на k - ом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент
. Первый элемент кортежа может быть выбран
способами; если первый элемент выбран, то второй можно выбрать
способами; ...; если первые
элементов выбраны, то k- ый элемент может быть выбран
способами. По правилу произведения получаем, что число всех перестановок с повторениями состава (n
, ..., n
) из {a
, ..., a} равно
P(n
, ..., n
) =
...=
=
Обозначение. Для " n
, ..., n
ÎN
полиномиальный коэффициент
определяется равенствами:
если n
+...+ n
= n, то
;
если n
+...+ n
¹ n, то
.
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие, что |A| = n, |B| = k, (n
, ..., n
)ÎN
, n
+...+ n
= n, B = {b
, ..., b
}. Тогда число всех функций
f:A®B таких, что |f
(b
)| = n
для всех i = 1, ..., k, равно .
Доказательство. Пусть A={a
, ..., a
}. Запишем функцию f:A®B в табличном виде
.
Кортеж (f(a
), ..., f(a
)) есть перестановка с повторениями состава (n
, ..., n
) множества {b
, ..., b}.
Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n. Тогда число кортежей множеств (A
, ..., A
) таких, что
|A
| = n
, ..., |A
| = n,
|A
ÇA
| = Æ для всех i ¹ j,
A
È...ÈA
= U, равно
.
Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей равно
...
= .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|