Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Филиал Уральского государственного экономического университета в г. Березники
Кафедра математики и естественных наук
Контрольная работа № 1
по дисциплине: "Математика"
Выполнил:
Студентка I курса,
группы ЭКПС-091
Лоскутова Ирина Петровна
Проверил:
к. ф-м. н., профессор
Кобзев Виктор Николаевич
Березники
2009
Задача 1.1 Вычислить определитель 4-го порядка
Решение. Так как элемент
, то 1-ую строку нужно умножить на (– 2) и прибавить ко 2-ой строке; 1-ую строку умножаем на (– 3) и прибавляем к 3-ей строке; 1-ую строку умножаем на (– 4) и прибавляем к 4-ой строке, получаем матрицу:
Ответ:
.
Задача 1.2 Решить систему матричным способом
Решение. В матричной форме система имеет вид:
(1), где
;
;
.
Найдем определитель матрицы А:
.
Так как
, то матрица А невырожденная и обратная матрица
существует.
Найдем матрицу
, транспонированную к А:
.
Найдем алгебраические дополнения к матрице
:
;
;
;
;
;
;
;
.
Из алгебраических дополнений элементов матрицы
составим присоединенную матрицу
:
.
Вычислим обратную матрицу
:
.
Проверим правильность вычисления обратной матрицы:
По формуле (1) вычислим:
Ответ:
Проверка:
Þ
Þ Система решена верно.
Задача 1.3 Решить систему методом Крамера
Решение. Найдем определитель системы
Так как
, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
;
.
математический матрица невырожденный транспонированный
По формулам Крамера:
;
Ответ: решение системы
.
Задача 1.4 Найти общее решение системы, используя метод Гаусса
Решение. Расширенная матрица система имеет вид:
Так как элемент
, то 1-ую строку прибавляем ко 2-ой строке, 1-ую строку умножаем на (– 2) и прибавляем к 3-ей строке, 1-ую строку умножаем на 4 и прибавляем к 4ой строке, исключим элемент
из всех строк, начиная со второй. Результаты запишем в матрицу:
Так как элемент
, то, прибавляем 2-ую строку к 3-ей, умножаем 2-ую строку на (– 2) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент
из 3-ей и 4ой строк. Результаты запишем в матрицу:
Так как элемент
, то, умножаем 3-ю строку на (– 1) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент
из 4-ой строки. Результаты запишем в матрицу:
Система уравнений примет вид:
,
– связные элементы,
– свободная,
Ответ:
Проверка. Подставим все значения в первое уравнение системы.
Получим:
Þ система решена верно.
Задача 1.5
Даны векторы
,
.
Найти: 1)
, 2)
, 3)
, 4)
, 5) .
Решение
,
.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
Т.к.
, то
5)
.
Ответ:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
|