Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)
где
- некоторая вещественная положительная константа и
- оператор Лапласа.
Эллиптические координаты
, допускающие разделение переменных связаны с декартовыми:
,
.
Полагая
в методе разделения переменных, получаем уравнения:
,
,
где
- константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
, (2)
где обычно переменная
имеет вещественное значение, а
- заданный вещественный ненулевой параметр.
Собственные значения
и граничные условия
(3)
соответствуют чётным функциям Матье
, а собственные значения
и граничные условия
(4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом:
,
,
, .
Собственные значения
, отвечающие функциям
,
,
,
, обозначаются через
,
,
, .
Модифицированное уравнение Матье
(5)
получается из уравнения Матье (2) подстановкой
. В зависимости от того, будет в (5)
или
, это уравнение имеет либо решение
, либо решение
, которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода:
,
,
, .
Вычисление функций Матье
I
рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
,
(6)
удовлетворяющие в нуле условию
, если
(7)
, если
И на бесконечности условию
~
,
(8)
где
- задано, а
(
) - собственные значения задачи (2), (3), (4),
Параметр
используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9)
(10)
Здесь
- "масштабирующая" функция, положительная на
, удовлетворяющая условию
при
, её выбор находится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для
и
:
(11)
(12)
где
и
.
Для совместного решения задач Коши для
и
используется следующий приём. Функцию
ищем в точках
. На каждом из отрезков
вспомогательные функции
находятся, как решение задач Коши
(13)
где
.
Поскольку для любых решений
и
, уравнений (12) и (13) справедливо соотношение
, получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления
, ,
,
, (14)
причём
.
Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка
величины
,
, ;
2. Полагая
, по формуле (14) вычисляем
,
;
3. По формуле (10) вычисляем функции
,
;
4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции
.
В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция
, где
.
Вычисление функций Матье
III
рода
Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
,
. (15)
Условие на бесконечности
~
,
. (16)
Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:
,
и при достаточно больших
линейному соотношению:
,
.
(17)
Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших
представимо асимптотическим рядом
.
Рассмотрим алгоритм нахождения функций
. Для их вычисления нужно перенести граничное условие
,
где
, справа налево от точки
до точки
.
Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку
переносим соотношение
,
потребовав выполнение условия
для всех
,
, где
и
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка
.
Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:
,
где
.
Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:
.
функция матье дифференциальное уравнение
Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
|