Застосування подвійних інтегралів
Содержание
1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах
2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії
3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
Нехай функція
неперервна в деякій замкненій і обмеженій області
,тоді існує інтеграл
.
Припустимо, що за допомогою формул
(1)
ми переходимо в інтегралі
до нових змінних
та
.
Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити
та
:
. (2)
Згідно з формулами (2), кожній точці
ставиться у відповідність деяка точка
на координатній площині з прямокутними координатами
і
.
Нехай множина всіх точок
утворює обмежену замкнену область
. Формули (1) називаються формулами перетворення координат,
а формули (2) - формулами оберненого перетворення.
Справедлива така теорема.
Теорема.
Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область
в замкнену обмежену область
і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області
неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник
, (3)
а функція
неперервна в області
, то справедлива така формула заміни змінних
. (4)
Функціональний визначник називається визначником Якобі
або якобіаном.
Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі
за формулами (1), ми маємо елемент площі
в координатах
замінити елементом площі
в координатах
і стару область інтегрування
замінити відповідною їй областю .
Розглянемо заміну декартових координат
полярними
за відомими формулами
. Оскільки
.
То формула (3) набирає вигляду
(4)
де область
задана в декартовій системі координат
, а
- відповідна їй область в полярній системі координат.
У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області
містить суму
, оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:
.
Якщо область
(рис.1, а
) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути
та
і кривими
та
, то полярні координати області
змінюються в межах
,
(рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді
(5)
Рисунок 1 - Область: а
)
; б)
подвійний інтеграл полярна координата
Якщо область
охоплює початок координат, тобто точка
є внутрішньою точкою області
, то
(6)
де
- полярне рівняння межі області
.
Приклади
1. Обчислити інтеграл
, якщо область
- паралелограм,
обмежений прямими
(рис.1, а
).
Розв’язання
Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі
так і в напрямі осі
область
потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.
Виконаємо таку заміну змінних:
, тоді прямі
та
в системі
переходять в прямі
та
у системі
(рис.1, б), а прямі
та
відповідно в прямі
та .
Таким чином, область
(паралелограм) переходить у системі
в прямокутник
.
Рисунок 2 - Область: а
)
; б)
Далі маємо
За формулою (3)
2. У подвійному інтегралі
, де
- круг, обмежений колом
, перейти до полярних координат з полюсом в точці
, і обчислити отриманий інтеграл.
Розв’язання
Область
зображена на рис.2.
Рівняння, які пов’язують
і полярні координати
з полюсом у точці
, мають вигляд
, причому видно, що кут
змінюється в межах від
до .
Рисунок 3 - Область
Підставивши вирази для
і
в рівняння кола, отримаємо
, звідки
або
. Ці дві криві на площині
при
обмежують область
, яка є прообразом області
при відображенні. Якобіан
відображення дорівнює
. Підінтегральна функція
у нових змінних дорівнює
. За формулою (3) маємо
.
Одержаний подвійний інтеграл за областю
зводимо до повторного:
і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:
2.
Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії
1. Площа плоскої фігури.
Якщо в площині
задана фігура, щомає форму обмеженої замкненої області
,то площа
цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:
.
2. Об'єм тіла.
Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі
і яке обмежене знизу областю
площини
, а зверху - поверхнею
, де функція
неперервна та невід'ємна в області
, знаходиться за формулою (2):
3. Площа поверхні.
Якщо поверхня
,задана рівнянням
(7)
проектується на площину
в область
(
рис.3) і функції
,
,
неперервні в цій області, то площу
поверхні
знаходять за формулою
(8)
Рисунок 4 - Поверхня
Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область
на
частин
, які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють
.
У кожній частині
візьмемо точку
; на поверхні
їй відповідатиме точка
, де
. Через точку
проведемо дотичну площину [3]
.
На площині
виділимо ту її частину, яка проектується на площину
в область
.
Позначимо цю частину дотичної площини через
,
а її площу - через
. Складемо суму
. (9)
Границю
суми (9), коли найбільший з діаметрів
областей
прямує до нуля, назвемо площею поверхні (
7), тобто за означенням покладемо
. (10)
Обчислимо цю границю. Оскільки область
, яка має площу
, проектується в область
з площею
, то
, де
- кут між площинами
та (
рис.3), тому
.
Але гострий кут
дорівнює куту між віссю
і нормаллю
до дотичної площини, тобто куту між векторами
та
. Знайдемо за формулою (4)
.
Отже,
.
Підставляючи значення
в (10), отримуємо
.
Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області
функції
. Ця функція інтегровна в області
, тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).
1. Маса пластини.
Нехай на площині
маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області
, в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією
.
Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):
.
2. Центр маси пластини. Статичні моменти.
Нехай матеріальна пластина в площині
має форму області
, густина пластини в точці
дорівнює
, де
- неперервна функція в області
Розіб'ємо область
на частини
,виберемо в кожній з них довільну точку
і наближено вважатимемо, що маса
частини
дорівнює
, де
- площа області
. Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці
, то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати
та
центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями
.
Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при
. Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами
. (11)
Величини
(12)
називаються статичними моментами пластини
відносно осі
та
.
Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді
.
Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину
, то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти
.
3. Моменти інерції пластини.
Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.
Нехай матеріальна пластина має форму області
у площині
,а неперервна функція
визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область
на частини
, площі яких дорівнюють
,
і виберемо в кожній з цих частин довільну точку
.
Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами
. Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі
та відносно
наближено визначатимуться за формулами
.
Перейшовши до границі в кожній із сум при
, отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:
. (13)
Знайдемо момент інерції
пластини відносно початку координат.
Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки
з масою
відносно початку координат дорівнює
,
аналогічно отримуємо, що
. (14)
|