Главная              Рефераты - Математика

 

Ряды - шпаргалка

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х11 ) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi ;yi ) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi ;yi ) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi =F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хii ) и нашли соот-е значения zi =F(хii ).

Пусть точка (х00 )ÎЕ дельта окрест-ю точки (х00 ) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0 )+(y-y0 )] <d.

Точка (х00 ) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х00 ) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х00 )Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.


y
P
x

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z= f(х;у) при х®х0 , у®у0 , М(х;у)®М0 . limх ®х0 (у ®у0) f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х00 ) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0 )2 +(y-y0 )2 ] <d. êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an ; lim Yn=b => Yn=b+bn ;

Xn ± Yn = (a + an ) ± (b + bn ) = (a ± b) + (an ± bn ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an )/(b+bn ) – a/b = (ab+an b–ab–abn )/b(b+bn ) =(ban -abn )/b(b+bn )=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М000 ) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М000 ), если имеет место равенство limх ®х0(у ®у0) f(х;у)=f(х00 ) или lim ®0( ®0) f(х0 +Dх;у0 +Dу)= f(х00 ), где х=х0 +Dх и у=у0 +Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М000 ) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x00 ).

Если (х00 ) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х00 )–1 род.

Если (х00 )–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х00 ) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х00 ) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке:1)Если фун f1 (х;у) и f2 (х;у) непрерывны в точке (х00 ), то сумма (разность) f(х;у)=f1 (х;у)±f2 (х;у), произведение f(х;у)=f1 (х;у)*f2 (х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1 (х;у)/f2 (х;у), есть непрер-я фун в точке х00 .

Док-во (суммы): По определению получаем, что limх ®х0(у ®у0) f1 (х;у)=f100 ), limх ®х0(у ®у0) f2 (х;у)=f200 ) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх ®х0(у ®у0) f(х;у)=limх ®х0(у ®у0) [f1 (х;у)+f2 (х;у)]=

=limх ®х0(у ®у0) f1 (х;у)+limх ®х0(у ®у0) f2 (х;у)=

=f100 )+f200 )=f(х00 ). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х00 , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0 =j(х00 ), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х00 ).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х00 ) не выполняется условие limх ®х0(у ®у0) f(х;у)= f(х00 ), то точка N(х00 ) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие lim ®0( ®0) f(х0 +Dх;у0 +Dу)=f(х00 ) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ), за исключением самой точки N(х00 ); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ), но не сущ-ет предела limх ®х0(у ®у0) f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ) и сущ-ет предел limх ®х0(у ®у0) f(х;у), но limх ®х0(у ®у0) f(х;у)¹f(х00 ).

Классификация точек разрыва:

Если (х00 ) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00 ) – 1 род.

Если (х00 ) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х00 ) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00 ) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х00 …) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х00 …)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х0 ;`у0 …) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0 ;`у0 …)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N* (x* ;y* …), что будет выполн рав-во f(x* 0 ;y* 0 …)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x.x z=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆y z=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆x z к приращ-ю ∆x при ∆x®0.

∂z/∂x=lim(∆x ®0)x z/∆x=lim(∆x ®0) (f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim(∆y ®0)y z/∆y=lim(∆y ®0) (f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: dx z(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dу z(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0 ,y0 ), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2 +∆y2 ), т.е. lim( ®0, ®0, r ®0) 0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0 ,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0 ,y0 ), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0 , y=y0 . A=∂z(х00 )/∂x; B=∂z(х00 )/∂y.

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0 ,y0 ) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2 z/∂x2 ;z`` xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z`` xy ;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z`` yx ; ∂φ/∂y=∂2 z/∂y2 ;z`` yy ;

Третья производная: ∂3 z/∂x3 ; ∂3 z/∂x2 ∂y; ∂3 z/∂x∂y¶х; ∂3 z/∂y∂x2 ; ∂3 z/∂y∂x∂y; ∂3 z/∂y2 ∂x; ∂3 z/∂y3 .

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0 (x0 ,y0 ), если f(x0 ,y0 )> f(x,y) {f(x0 ,y0 )<f(x,y)}для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0 ,y0 )и отличных от неё.

Определение max и min при предположении, что х=х0 +Dх и у=у0 +Dу, тогда

f(x;y)-f(x0 ;y0 )=f(х0 +Dх;у0 +Dу)-f(x0 ;y0 )=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М000 ); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М000 );

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0 , y=y0 , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0 . Тогда ф-ия f(x,y0 ) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0 ,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0 , y=y0 или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0 ,y0 ), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0 ,y0 ) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0 ,y0 )/∂x=0, ∂f(x0 ,y0 )/∂y=0.

Тогда при x=x0 , y=y0 :

1)f(x,y) имеет максимум, если

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 <0

2)f(x,y) имеет максимум, если

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 >0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 <0

4)Если ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 =0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x =0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];

Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1 ,DS2 ,DS3 …DSn ). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1 ,P2 ,P3 …Pn ). f(Pi ) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi )DSi . Vn =n åi=1 f(Pi )DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi интегральной суммы n åi=1 f(Pi )DSi , если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек Pi ÎDi наз двойным интегралом зад фун z= f( x; y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi =óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶

Св-ва:

1)óóD (f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóD f1(x,y)dxdy+óóD f2(x,y)dxdy

2) óóD a f(x,y)dxdy=aóóD f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1 ÈD2 , то

óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2 .

óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1 , вторая – соот-е площадкам обл D2 . В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi . Переходя в равенство

óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi к пределу при DSi ®0, получаем равенство

óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).·

4) Если фун f(x,y)=1, то óóD 1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть

óóD f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óóD f1(x,y)dxdy³óóD f2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

в óа ( j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£в óа (j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID £MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D.

Рассмотрим ID =в óа f 2( x ) óf 1( x ) f(x,y)dydx=в óа Ф(х)dx

-это двукратный интеграл .

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

óóD f(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=

=óóD f(pcosj;psinj)pdpdj=

=j2 ój1 dj p2( j ) óp1( j ) (pcosj ;psinj)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности.

óóD f(x,y)dxdy=SD

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма

DVi=n åi =1 f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

limmax di ® 0 n åi =1 f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил

Площадь поверхности.

Sпов. = óó[Ö1+(dz/dx)2 +(dz/dy)2 dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn )=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F( x; y; y’;у”…у n )=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn )=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n )=0.

Фун вида у=j(х;С12 ;…Сn ) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn )=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С12 ;…Сn ; 2) для любых начальных усл х0 , у0 , у 0 , уn 0 можно найти конкретную совокупность С1 02 03 0 ;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 02 03 0 ;…Сn 0 ), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида j(х;С123 ;…Сn )=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур . наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением , если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)

{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0

∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-PdxlnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1e Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–∫ Pdx , где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn , P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли , приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(y n )y’+P(y n+1 )=Q, Сделаем далее замену z=(y n+1 ), тогда dz/dx=(-n+1)(y- n )y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y n )y’+P(y n+1 )=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y n+1 ), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0 )f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности , если вып. усл. f(tx;ty)=(tk )f(x;y); f(tx;ty)=(t0 )f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + CÞ вместо U подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав . наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

j(x0;С10;С20)=y0 ,

j’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e–∫ P( x) dx )]/(y1 2 )dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’ +py +qy=f(x), p,q – числа. y=c1 y1 +c2 y2 +y* , где y1 , y2 – два лин-но незав. реш.

(1) y’’ + py +qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx k2 +pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2 =(-p±Ö(p2 -4q))/2, k1 ¹k2 y1 =ek 1 x , y2 =ek 2 x .

Т.к. y1 /y2 ¹const, то y=c1 ek 1 x +c2 ek 2 x .

2. D=0 k1,2 =-p/2

y1 =e-px/2 , y2 =y1 ∫(e-- pdx )/y1 2 dx=e-px/2 , y=e-px/2 (c1 +c2 x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2 =a±bi, y1 =ea x Cosbx, y2 =ea x Sinbx, y1 /y2 ¹const, y=ea x (c1 Cosbx+c2 Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=Pn (x)ea x 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y* =(A0 xn +A1 xn-1 ++...+An )=Qn (x)ea x .

a - однократный корень y* =xQn (x)ea x .

3) a - двукрат. корень y* =x2 Qn (x)ea x .

2. f(x)=p(x)ea x Cosbx+q(x)ea x Sinbx

1) a+bi – не корень y* =U(x)ea x Cosbx+V(x)ea x Sinbx.

2) a+bi – корень y* =x[U(x)ea x Cosbx+V(x)ea x Sinbx].

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi – не корень, y* =ACosbx+BSinbx.

2)bi – корень, y* =x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1 , U2 ...Un ,... Выражение U1 +U2 +...+Un +... наз-ся числовым рядом ,

U1 , U2 ...Un – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда : Sn = U1 +U2 +...+Un .

Если сущ-ет конечный предел limn ® ¥ Sn =S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limn ® ¥ Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел limn ® ¥ Sn , то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во : Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn - k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck . Тогда имеем: Sn =Ck +Dn - k , где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn - k , то сущ-ет и limSn ; если сущ-ет limSn , то сущ-ет limDn - k , а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a1 +a2 +...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1 +ca2 +...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn , а ряда (2) – через Dn . Тогда Dn =ca1 +...+can =c(a1 +...+an )=cSn . Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim Dn =lim(cSn )=climSn =cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a1 +a2 +...(5) и b1 +b2 +...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1 и S2 , то ряды (a1 +b1 )+(a2 +b2 )+...(7) и (a1 –b1 )+(a2 –b2 )+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1 +S2 и

S1 –S2 .

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn , а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1 n и S2 n , получим: Dn =(a1 +b1 )+...+(an +bn )=(a1 +...+an )+(b1 +...+bn )=S1 n +S2 n . Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn =lim(S1 n +S2 n )= limS1 n +limS2 n =S1 n +S2 n .

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1 n +S2 n .

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn =0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U1 +U2 +...+Un +... сходится, т.е. limSn =Sn®¥, тогда имеет место равенство limSn -1 =S.

limSn –limSn-1 =0, lim(Sn –Sn-1 )=0. Но Sn –Sn -1 =Un следов-но limUn =0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1 +U2 +...+Un +...(1), S1 n ; V1 +V2 +...+Vn +...(2) S2 n ; Известно,что Vn ³Un при n³N0 .

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $limS2 n =S. S1 n =U1 +U2 +...+UN 0 +UN 0+1 +...+Un =SN 0 +VN 0+1 +...+Vn . limS1 n =lim(SN 0 +Dn - N0 )=SN 0 +D. S1 n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN 0 +D => $limS1 n =Sn 1 .

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn /Vn =L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $lim(Un +1 /Un )=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³N, будет иметь место нер-во (Un +1 /Un )<q (2 ). Действительно, т.к. величина Un +1 /Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

|Un +1 /Un – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2 ) для различных значений n, начиная с номера N, получим UN +1 <qUN ,

UN +2 <qUN +1 < q2 UN

Рассмотрим теперь два ряда:

U1 +U2 +...+UN +Un+1 +... (1)

UN +qUN +q2 UN +... (1 ). Ряд (1 ) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN +1 , меньше членов ряда (1 ), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un +1 /Un )=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un +1 /Un )>1, или Un +1 >Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn ÖUn =L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

|n ÖUn –L|<q–L; осюда следует, что n ÖUn <q или Un <qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1 +U2 +...+UN +UN +1 +... (1) и qN +qN +1 +qN +2 +... (1 ). Ряд (1 ) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN , меньше членов ряда (1 ). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: n ÖUn >1 или Un >1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN , больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ ån=1 Un , где члены ряда убывают Un >Un +1 >0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un .

Если не собственный интеграл ¥ ò1 f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ ò1 f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1 >U2 >U3 … и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n ® ¥ Un =0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1 ³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m =(U1 -U2 )+(U3 -U4 )+…+(U2m-1 -U2m ). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2 m имеет предел Limm ® ¥ S2 m =S. Переходя к пределу в неравенстве S2 m <U1 при m®¥, получим, что U1 ³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2 m+1 =S2 m +A2 m+1 ; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Limm ® ¥ S2 m+1 =

=Limm ® ¥ S2 m + Limm ® ¥ А2 m+1 =S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Limn ® ¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1 +U2 +U3 ….+Un + знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ ån=1 ½Un ½; |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn + и Sn - суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn 1 =Sn + -Sn - , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn 2 = Sn + +Sn - . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn ® ¥ Sn 2 =S. Последовательности Sn + и Sn - являются возрастающими и ограниченными (Sn + ≤ SSn - ≤ S ), значит существуют пределы

Limn ® ¥ Sn + и Limn ® ¥ Sn - , и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Limn ® ¥ Sn1 =Limn ® ¥ Sn + -Limn ® ¥ Sn - , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…сходиться, то ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + наз абс. сходящимся.

Если ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + сходиться, а ряд |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…расходиться, то ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0 +C1 X+C2 X2 +…+Cn Xn ..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0 ≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0 |, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1 , то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1 |.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0 ≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn ® ¥ Un =Limn ® ¥ Cn X0 n =0. Значит последовательность |Cn X0 n | Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |Cn X0 n |<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

0 |+ |C1 X0 ||Х/X0 |+…+ |Cn X0 n ||X/X0 |n +…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0 |+…+М|X/X0 |n +… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0 |<1, т.е. при|X|<|X0 |, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1 | ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1 |), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости , а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а01 х+а2 х2 +…+аn х2 +…+аn+1 хn+1 +… и

а01 (х-х0 )+а2(х-х0 )2 +…+аn(х-х0 )2 +… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1 +U2 +..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1 (Х)+U2 (Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn (Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn (x)+rn (x), где rn (x) есть сумма ряда Un +1 (x)+Un +2 (x) +…, т.е. rn (x)= Un+1 (x)+Un+2 (x) +… В этом случае величина rn (x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn →∞ rn (x)= Limn →∞ [S(x)-Sn (x)]=0, т.е. остаток rn (x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U1 (Х)+U2 (Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а123 +…+аn ..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1 (x)│≤a1, …,│Un (x)│≤an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2 /2!]+…

…+fn (a)[(x-a)n /n!]+Rn (x), (1) где остаточный член Rn (х)={[(x-a)n+ 1]/[(n+1)!]}f( n+1) [a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn (x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn (a)[(x-a)n /n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2 /2!]+…

…+fn (0)[xn /n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex =1+x+x2 /2!+…+xn /n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x3 /3!+x5 /5!+…+(-1)n-1 [X2n-1 ]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX=1-x2 /2!+x4 /4!-…+[(-1)n X2n ]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)m =1+mx+[m(m-1)x2 ]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3 ]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x2 /2+x3 /3-..+[(-1)n xn+1 ]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2 +…+xn +..

1/(1+X2 )=1-x2 +x4 -x6 +…

arctgX=x-x3 /3+x5 /5-x7 /7+…+[(-1)n+1 x2n-1