, если
5. Аналогичноустановим, что при
имеем:
, если же
, то
Таким образом:
, если
(5)
, если
6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при
имеем:
Если же х<0, то
Итак,
, если
(6)
, если
7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если
, то
При
имеем:
Итак,
, если
(7)
, если
8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0(8)
,если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.
9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если
(9)
, если
10. Выражение арккотангенса через арксинус.
, если 0<x(10)
, если х<0
11. Выражение арккотангенса через арктангенс.
, если x>0 (11)
, если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
y= 0 , если x>0
-π , если x<0
На чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений
, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к.
, то получаем
,
откуда:
на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y = 0 , если
, если
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x
;
и
Областью определения функции
служит интервал
, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента
содержится на сегменте
. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=π/6 имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x
также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
, то имеем y=π-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если
, то
y=х-2πk
и если
, то
y=(π-х)+2πk
График функции
представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y =
cos x
, где
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и
, поэтому:
Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π;4π], то y = 4π – x
Вообще, если
, то y = x - 2πk
Если же
, то y = -x + πk
Графиком функции
является ломаная линия
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
;
В данном случае
(т.к.
, а следовательно,
), а также
, поэтому .
Вычислив синус дуги γ, получим:
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к.
, а
. Вычисляем
В рассматриваемом примере
, так как дуги γ и
заключены в различных интервалах,
, а
В данном случае
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги γ и
расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
, и
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности
, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность α – β заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус
, где
и
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
, где 0 < x <
1, 0 < y <
1
, где 0 < x <
1, 0 < y <
1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму
через арксинус
По определению арксинуса
и
,
откуда
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x
и y
разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при
и
, имеем:
, и
,
откуда
При x
> 0, y
> 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а)
б)
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и
в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия
и
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив
, получим:
При x
> 0, y
> 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е.
или
Откуда
и, следовательно,
Наличие случая 1 при x
< 0, y
< 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x
и –y
имеет место случай 1, а потому
или
Случай 2.
В этом случае x
> 0, y
> 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия
получим
Случай 3.
Этот случай имеет место при x
< 0, y
< 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги γ и
имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса)
, следовательно в случае 1
;
в случае 2
и в случае 3
.
Итак, имеем окончательно:
,
или
; x
> 0, y
> 0, и
(1)
; x
< 0, y
< 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x
на –x
получим:
,
или
; x
> 0, y
> 0, и
(2)
; x
< 0, y
< 0, и
3. Выразить сумму
через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1:
если
, то
Приняв во внимание, что обе дуги
и
расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно,
, откуда
Случай 2:
. Если
, то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим
. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если
, а случай 2, если
.
Из равенства
следует, что дуги
и
имеют одинаковый косинус.
В случае 1
, в случае 2
, следовательно,
,
,
(3)
4. Аналогично
,
,
(4)
пример:
5.
; xy
< 1
; x
> 1, xy
> 1 (5)
; x
< 0, xy
> 1
При xy
=1не имеет смысла
6.
; xy
> -1
; x
> 0, xy
< -1 (6)
; x
< 0, xy
< -1
7.
;
;
(7)
;
8.
;
(8)
;
9.
;
; x
> 1(9)
; x
< -1
10.
(10)
(11)
, если
(12)
, если