Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x
2
– 3
x
+5
x
-1
Решение.
Для решения неравенств,
правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида
используем метод интервалов
.
Обозначим f
(
x
)
x
2
-3
x
+5
и найдем область определения
x-1
D
(
f
)
функция f
(
x
).
Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-;
1) (1;)
.
Найдем нули функции f
(
x
).
Для этого решим уравнение:
x
2
- 3
x
+5
x
2
-3
x
+5=0 (1)
x
-1
x
-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x
2
- 3
x
+5=0,
D
= (-3)2
-4 1 5=9-20<0 –
уравнение не имеет решений.
Функция f
(
x
)
непрерывна на множестве D
(
f
)
и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f
(
x
)
на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02
-3 0+5
f (2)= 22
-3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f
(
x
)
и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f
(
x)>
0
f (x) > 0, x c (1
;)
.
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log
5
(3
x
+1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов
положительных чисел
| loga
a=1
|
| m loga
b =loga
bm
|
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
Log5
(3x+1)<2, log5
(3x+1)<2log5
5, log5
(3x+1)<log5
52
.
При a
>1
функция y
=
loga
t
в области определения D
(
loga
),
задаваемой неравенством t
> 0,
монотонно возрастает, то есть, если t
1
>
t
2
>0,
тоloga
t
1
>
loga
t
2.
Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Если
a > 1,
то
Loga
f(x) < loga
g(x)
-
0 < f(x) < g(x)
|
log5
(3x+1) < log5
52,
0 < 3x + 1 < 52
, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x
с
3; 8.
1
Ответ:
3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinxcosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0<
x<
2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
| cosf
(x)=0-f
(x)=п
+пn
, n c Z 2 |
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п
+пn
, n
с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п
+пn
<
2п, п <
пn<
2п п
222, п <
п
n
< 3п
1
<
n<
3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n
с Z, то n
=0 и n
=1. Подставляя n
=0 и n
=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как - 1<
sinx<
1 при любых значениях x.
Ответ:
п
3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее значение функции
f
(x)=3x2
-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции
могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f
(
x
) функции
f
(
x
), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f
(x) +g
(x)) =f
(x) + g
(x)
|
| (xm
) = m
xm
-1
|
| C=0
|
f
(x)=(3x2
-18x+7) =3 (x2
)-18 x +7=3 2x2-1
-18 x1-1
+0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
6x-18=0, x=3c[-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f
(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f
(x)=3x2
-18x+7,
f
(-5)=3 (-5)2
-18 (-5)+7=75+90+7=172,
f
(-1)=3 (-1)2
-18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f
(x)=f
(-1)=28.
[-5; -1]
Ответ
:
min f
(x)=f
(-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную:
f
(
x
)=
x
+5
sinx
Решение.
Найдем область определения D
(
f
) функции
f
(x):
D
(
f
)=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную
f
(x), называют множеством всех первообразных
F
(
x
) функции
f
(x) на некотором промежутке
(в данном случае, на области определения D
(
f
)=(- ~;~))
или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции
f
(x) на указанном промежутке и (
общепринято) обозначают:
Используя свойства неопределенного интеграла
| |(
f
(
x
) +
g
(
x
))
dx
=
|f
(
x
)
dx
+
|g
(
x
)
dx
|
| |af(x) dx=a|f(x)dx
|
и таблицу неопределённых интегралов
xm
+1
| xm
dx
=m+1 + C
,
где m= -1
|
| |sinx dx
= -cosx + C
|
получим:
F
(x)=|
f
(x)dx
= |
(x
+
5sinx)dx
= |
xdx
+ 5|
sinxdx
=
1+1 + 5 (- cosx) + C=
2 -5cosx + C
.
x1+1
x2
Ответ:
F
(x) = 2 -5cosx + C
.
|