Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла - реферат

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

на тему:

«Построение эйлерова цикла. Алгоритм форда и Уоршелла»

МИНСК, 2008

1. Эйлеровы цепи и циклы

Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку.

а) б)

Рис. 1.

Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г.

Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G . Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G . Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым .

Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой.

Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G (X , E ) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G , x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k ³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2k , т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень.

Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m =3.Легко проверить, что единственный граф с m =3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K ₃ (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m =3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m >3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a . Пусть m(a , x ) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x . Если x ¹a , то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину z ÎX , из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a . Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G . Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе все вершины имеют четные степени. Пусть — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m₁ , m₁ , …, m_k соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент . Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами происходят соответственно в вершинах x ₁ , x ₂ , …, x_k . Тогда про­стая цепь

n(a , a )=m(a , x ₁ ) Um₁ (x ₁ , x ₁ ) Um(x ₁ , x ₂ ) U…Um_k (x_k , x_k ) Um(x_k , a )

является эйлеровым циклом в графе G . Теорема доказана.

Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а).

Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин.

Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен.

Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения.

Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом.

Теорема 3. Сильно связный орграф G (X , E ) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины x ÎX выполняется

.

Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи m_i . Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G .

Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей m_i . Следовательно, таких цепей будет не менее чем k /2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k /2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из ребер граф разло­жится на k /2 цепей, покрывающих G . Таким образом, доказана.

Теорема 4. Пусть G — связный граф с k >0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G , равно k /2.

Алгоритм построения эйлерова цикла

Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.

Пусть G (X , E ) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.

1°. Пусть a — произвольная вершина графа G . Возьмем любое ребро e ₁ =(a , x ₁ ) , инцидентное вершине a, и положим m = {e ₁ }.

2°. Рассмотрим подграф G ₁ (X , E\ m₁ ). Возьмем в качестве e ₂ ребро, инци­дентное вершине x ₁ и неинцидентное вершине a , которое также не является мостом в подграфе G ₁ (если такое ребро e ₂ существует!). Получим простую цепь m₂ = {e ₁ , e ₂ }.

3°. Пусть e ₂ = (x ₁ , x ₂ ), x ¹a . Рассмотрим подграф G ₂ (X , E\ m₂ ) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе выберем ребро e ₃ ÎE \ m₂ , инцидентное вершине a , которое не является мостом в под­графе (если такое ребро e ₃ суще­ству­ет!). Получим простую цепь

m₃ = {e ₁ , e ₂ , e ₃ }.

Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл m = {e ₁ , e ₂ , …, e_n }, где n — число ребер графа G (X , E ).

Обоснование алгоритма

Предположим, что уже построена простая цепь m_{k -1} = {e ₁ , e ₂ , …, e_{k -1} } для k ³2 методом, указанным в алгоритме. Пусть e_{k -1} = (x_{k -2} , x_{k -1} ) и x_{k -1} ¹a . Рас­смо­трим подграф , который получается из подграфа G _{k -1} (X , E\ m_{k -1} ) удалением всех изолированных вершин. Вершина x_{k -1} в этом подграфе имеет нечет­ную степень, поэтому существует по крайней мере одно ребро e_k ÎE\ m_{k -1} , ин­ци­дентное x_{k -1} . Если это ребро единственное, то оно не является мостом в графе . В противном случае вершина a будет связана с некоторой вер­ши­ной единственной цепью, содержащей ребро e_k , что противоречит суще­ствованию эйлерова цикла в графе G . Поскольку e_k - не мост, то процесс мож­но продолжать, взяв . Если ребро e_k не единственное инци­дентное вершине x_{k -1} , то среди этих ребер есть по крайней мере одно, не явля­ющееся мостом. В противном случае один из этих мостов можно выбро­сить так, что вершины x_{k -1} и a попадут в разные компоненты связности графа . Если x_{k -1} принадлежит компоненте M , то в этой компоненте все вер­шины имеют четную степень, поэтому существует эйлеров цикл в M , про­хо­дящий через x_{k -1} . Этот цикл содержит все ребра, инцидентные x_{k -1} и при­над­лежащие , являющиеся одновременно мостами. Получено противоречие, так как ребра из эйлерова цикла мостами быть не могут. Итак, в рассмотренном случае существует ребро e_k , инцидентное вершине x_{k -1} и не являющееся мостом. Значит, и в этом случае процесс можно продолжать, взяв

.

Из предыдущего следует, что процесс нельзя продолжать тогда и только тогда, когда мы попадем в вершину a , причем степень вершины a относительно непройденных ребер равна нулю. Докажем, что в этом случае построенный цикл m - простой цикл. Покажем, что m содержит все ребра графа G . Если не все ребра графа G принадлежат m, то не принадлежащие m ребра порождают компоненты связности C ₁ , …, C_m (m ³1) в подграфе . Пусть компонента C_i , 1£i £m соединяется с циклом m в вершине y_i . Если существует ребро e Îm , такое, что e =(y_i , a ), то при построении цикла m было нарушено правило выбора ребра e , что невозможно. Если часть цикла m, соединяющая y_i и a , состоит более чем из одного ребра, то первое ребро этой части было мостом, и поэтому было нарушено правило вы­бора , что невозможно. Итак, непройденных ребер быть не может, поэ­тому m - эйлеров цикл.

2. НАХОЖДЕНИЕ КРАТЧАЙШИХ ПУТЕЙ В ГРАФЕ

Рассматрим ориентированные графы G (X , E ) каждой дуге e ÎE которого ставится в соответствие вещественное число l (e ). Т.е. на множестве Е создана функция l :E ®R . Такой граф принято называть нагруженным . Само число l называется весом дуги.

Можно увидеть аналогию между, например, картой автомобильных или железных дорог. Тогда множество вершин Х будет соответствовать городам, множество дуг – магистралям, соединяющим города, а веса – расстояниям. (На практике, при этом, фактически получится неориентированный граф).

В связи с изложенной аналогией будем называть веса дуг расстояниями.

Определение 2. 1. Пусть имеется последовательность вершин x ₀ , x ₁ , …, x_n , которая определяет путь в нагруженном графе G (X , E ), тогда длина этого пути определяется как .

Естественный интерес представляет нахождение кратчайшего пути между двумя заданными вершинами x и y.

Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути .

Будем предполагать, что все расстояния в графе положительны. (Если это не так, то ко всем весам можно всегда добавить такую константу, что все эти веса станут положительными).

Пусть мы ищем путь от вершины x ₀ к вершине x_n . Будем каждой вершине x_i ставить в соответствие некоторое число l_i по следующим правилам.

1° Положим l₀ = 0, l_i = ¥ (достаточно большое число) для "i > 0.

2° Ищем в графе дугу (x_i , x_j ) удовлетворяющую следующему условию

l_j - l_i > l (x_i , x_j ), (1)

после чего заменяем l_j на

.

Пункт 2°повторяется до тех пор, пока невозможно будет найти дугу, удовлетворяющую условию (1). Обоснуем этот алгоритм и укажем как определяется кратчайший путь.

Отметим, что l_n монотонно уменьшается, то после завершения алгоритма найдется дуга , такая, что для которой последний раз уменьшалось l_n . (Иначе вообще нет пути между x ₀ и x_n или для верно (1)).

По этой же самой причине найдется вершина , такая , что

,

этот процесс может продолжаться и дальше, так что получится строго убыва­ю­щая последовательность . Отсюда следует, что при некото­ром k мы получим .

Покажем, что – минимальный путь с длиной l_n , т.е. длина любого другого пути между x ₀ и x_n не превышает k_n .

Возьмем произвольный путь и рассмотрим его длину .

После завершения алгоритма имеем следующие соотношения

Сложив все эти неравенства, получим

,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример.

а б

Рис. 2.1

На рис. 2.1а изображен исходный помеченный граф и начальные значения l_i . На рис. 2.1б для того же графа указаны конечные значения l_i и выделен кратчайший путь. Пометка вершин графа происходила в следующем порядке (в скобках указана дуга, вдоль которой выполняется (1)):

l₁ = 6 (x ₀ , x ₁ ),

l₂ = 7 (x ₀ , x ₂ ),

l₃ = 6 (x ₀ , x ₃ ),

l₄ = 12 (x ₁ , x ₃ ),

l₄ = 11 (x ₂ , x ₄ ),

l₅ = 16 (x ₃ , x ₄ ),

l₅ = 15 (x ₄ , x ₅ ),

l₆ = 18 (x ₄ , x ₆ ),

l₆ = 17 (x ₅ , x ₆ ).

Иногда возникает задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Одним из способов решения этой задачи является

Алгоритм Флойда

Обозначим l_ij длину дуги (x_i , x_j ), если таковой не существует примем l_ij = ¥, кроме того, положим l_ii = 0. Обозначим длину кратчайшего из путей из x_i в x_j с промежуточными вершинами из множества {x ₁ , …, x_m }. Тогда можно получить следующие уравнения

, (2)

. (3)

Уравнение (2) очевидно. Обоснуем уравнение (3). Рассмотрим кратчай­ший путь из x_i в x_j с промежуточными вершинами из множества {x ₁ , …, x_m , x_{m +1} }. Если этот путь не содержит x_{m +1} , то . Если же он содержит x_{m +1} , то деля путь на отрезки от x_i до x_{m +1} и от x_{m +1} до x_j , получаем равенство .

Уравнения (2) и (3) позволяют легко вычислить матрицу расстояний [d_ij ] между всеми парами вершин графа G (X , E ). На первом этапе согласно (2) составляем n ´n матрицу равную матрице [l_ij ] весов ребер (n – число вершин G (X , E )). n раз производим вычисление по итерационной формуле (3), после чего имеем – матрицу расстояний.

Отметим, что алгоритм Флойда непосредственно не указывает сам кратчайший путь между вершинами, а только его длину. Алгоритм Флойда можно модифицировать таким образом, чтобы можно было находить и сами пути. Для этого получим вспомогательную матрицу [R_ij ], которая будет содержать наибольший номер вершины некоторого кратчайшего пути из x_i в x_j (R_ij =0, если этот путь не содержит промежуточных вершин).

Эта матрица вычисляется параллельно с по следующим правилам

Последнее выражение следует из обоснования (3).

Теперь кратчайший путь выписывается из следующего рекурсивного алгоритма:

Кратчайший путь из x_i в x_j :

1°. Если R_ij = 0 то выполнить 2°,

иначе выполнить 3°.

2°. Если i =j то выписать x_i и закончить,

иначе выписать x_i и x_j закончить.

3°. Выписать кратчайший путь между x_i и .

4°. Выписать кратчайший путь между и x_j .

Пункты 3° и 4° предполагают рекурсивное обращение к рассмотренному алгоритму.

С задачей определения кратчайших путей в графе тесно связана задача транзитивного замыкания бинарного отношения.

Напомним, что бинарным отношением на множестве Х называется произвольное подмножество E ÌX ´X .

Транзитивным называется отношение, удовлетворяющее следующему условию: если (x , y ) ÎE и (y , z ) ÎE , то (x , z ) ÎE для всех x , y , z ÎX . Отметим, что бинарное отношение можно однозначно представить орграфом G (X , E ). Теперь для произвольного отношения Е определим новое отношение Е * следующим образом

E * = {(x , y ) | если в G (X , E ) существует путь ненулевой длины из x в y }.

Легко проверить, что Е * - транзитивное отношение. Кроме того, Е * является наименьшим транзитивным отношением на Х в том смысле, что для произвольного транзитивного отношения F ÉE выполняется E * ÉF . Отно­ше­ние Е * называется транзитивным замыканием отношения Е .

Если отношение Е представить в виде графа G (X , E ) в котором каждая дуга имеет вес 1, то транзитивное замыкание Е * можно вычислить с помощью алгоритма Флойда. При этом надо учесть, что

(x_i , x_j ) ÎE * если .

Для большего удобства алгоритм Флойда в этом случае можно моди­фи­ци­ровать следующим образом.

Положим

.

Вместо (3) запишем

,

где Ú – дизъюнкция (логическое сложение),

Ù – конъюнкция (логическое умножение).

После завершения работы алгоритма будем иметь

Модифицированный таким образом алгоритм называется алгоритмом Уоршелла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баканович Э.А., Волорова Н.А., Епихин А.В. Дискретная математика:. В 2-х ч..– Мн.: БГУИР, 2000.– 52 с., ил. 14 ISBN 985-444-057-5 (ч. 2).

2. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. М. Иза-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.