Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле
. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что поле
комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел
можно определить как множество упорядоченных пар
действительных чисел,
,
, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность
называется подпоследовательностью
, если для любого k существует такое натуральное
, что
=
, причем
Б
тогда и только тогда, когда .
Комплексное число– расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма
, где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению
.
Вещественное число (действительное число)– любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция– 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех
и всех
выполняется неравенства
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого
существует такой номер
, что если
, то для всех
выполняется неравенство
. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями
и
как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля
) носит название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел
. Число
называется ее пределом, если для любого действительного числа
существует такой номер
, что при
выполняется неравенство
. В этом случае пишут lim
, а=lim
, b=lim
. Предельное соотношение lim
=c равносильно соотношению , ибо
max
Последовательность
такая, что
R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть
ограниченная последовательность, т.е.
, тогда
, так что
есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей
. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен
.
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной
.Представим себе "график" функции
, считая , что значения
изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения
откладываются вверх в направлении оси
. Мы установим, что
являются непрерывными функциями от
на всей плоскости комплексной переменной. Функция
от комплексной переменной
называется непрерывной в точке
, если достаточно близким к
значениями
соответствует сколь угодно близкие к
значения
.В более точных терминах - для любого
найдется такое
, что
, как только .
Непрерывность
дает основания представлять себе график
в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость
, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение
, в котором
, и, тем самым,
, т.е. что поверхность
доходит до плоскости
в точке
. Мы докажем, что если дана точка на поверхности
,которая расположена выше плоскости
, то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности
существует самая низкая точка, скажем, при
. Она не может находиться выше плоскости
, ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно,
и , следовательно
, т.е.
корень полинома .
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином
c нулевым свободным членом.
Тогда для любого
найдется такое
, что
, как только .
Доказательство: Пусть
. Тогда
Положим
Если
то
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином
и точка
.
Расположим полином по степеням
,
Тогда
так что
Правая часть есть полином от
с нулевым свободным членом.
По лемме 1 для любого
найдется такое
, что
как только
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства
следует, что для данного
то
, которое "обслуживает"
, подходит и для
. Действительно, при имеем
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если
-полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что
M,как только
.
Это означает, что любая горизонтальная плоскость
отрезает от поверхности
конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.
Доказательство: Пусть
где
полином от
c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для
найдется такое
, что при
, будет
. Модуль
может быть сделан сколь угодно большим, именно, при
будет
. Возьмем
Тогда при будет
и
так что
Лемма 5. Точная нижняя грань значений
достигается, т.е. существует такое
, что
при всех .
Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань
через
. Возьмем последовательностью
стремящихся к
сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений
, ибо
-точная нижняя грань. Поэтому найдутся
такие, что
. Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для
найдем такое
, что при
будет
Отсюда следует, что
при все
. Последовательностью
оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
. Пусть ее предел равен
. Тогда
в силу непрерывности
. Кроме того,
. Поэтому
Итак , что и требовалось доказать.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть
полином отличный от константы, и пусть
. Тогда найдется такая точка
, что
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности
дана точка, находящаяся выше плоскости
, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство: Расположим полином
по степеням
Тогда
Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от
, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть
– первое отличное от нуля слагаемое после
, так что
(если k>1). Такое слагаемое имеется, так как
не константа. Тогда
+
+
(
+…+
))=
=c0
(1+
+
).
Здесь
=
есть полином от
с нулевым свободным членом. По лемме 1 для
=
найдется такое
,что |
|<
, как только |
|<
. Положим
=
(
) и
. Тогда
.
Выберем
так, что
. Для этого нужно взять
. Далее, положим
, т.е. возьмем
. При таком выборе будет
. Теперь положим
при
и
. Тогда и
|
|=
.
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять
при
так что при k>1 (т.е. в случае, когда
-корень кратности
полинома
)имеется k направлений спуска по поверхности
. Они разделяются
направлениями подъема при
Действительно, в этих направлениях
и
Так что если
есть корень производной кратности
, то поверхность
в окрестности точки
"гофрирована" так, что на ней имеется
"долин" cпуска, раздельных
"хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле
, комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть
- данный полином, отличный от константы. Пусть, далее,
и
- точка, в которой
; Она существует по лемме 5. Тогда
ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка
что
невозможно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
|