Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1
, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1
<A2
<…<Ak
+1
, такие, что
а)
;
б) знаки функции D(t) на множествах A1
, A2
, …, Ak
+1
перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1
. Пишем
, если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение
выполнено тогда и только тогда, когда
а) не существует точки x1
, …, xk
(-¥<x1
<…<xk
<¥) такие, что
(-1)k-i
f(xi
) > (-1)k-i
g(xi
),
;
б) существуют точки y1
, …, yk
(-¥<y1
<…<yk
<¥) такие, что
(-1)k-i
f(yi
) > (-1)k-i
g(yi
),
.
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.
Определение 2. Пишем
, если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений:
,
,
,
. Пишем
, если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений:
,
,
, .
Функция f имеет индекс k-
в F, если выполнено отношение
и не выполнено
. Функция g имеет индекс k+
в F, если выполнено
и не выполнено
.
Через Ik
-
(Ik
+
), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k-
(k+
) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через FU
обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
, uÎU,
абсолютно сходятся.
В случае
положим
, fÎFU
, AÌFU
,
:
, Fi
(A)={Fi
(f): fÎA},
,
,
.
Множество
называется моментным пространством класса F относительно системы функций
.
Лемма 1. Пусть системы u1
(t), …, un
(t) и u1
(t), …, un
(t), un
+1
(t) образуют T+
-системы на [0, ¥) такие, что
. Тогда отношение
невозможно для
и, если
, то
.
Доказательство. Допустим, что
, где k£n, и A1
, …, Ak
– множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов
рассмотрим матрицу
.
Так как
,
,
то есть
, (1)
где di
(-1)k
-
i
,
и di
=0,
для всех векторов
.
Из (1) следует, что detH(
)=0 для любых
. С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(
), получим
, (2)
где 0£x1
<x2
<…<xk
<¥. Так как векторы
линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов
. Из (2) получаем .
Пусть теперь
и
.
Так как
, (3)
где di
=(-1)n
+1-
i
,
, то
,
где H – матрица, записанная в (3) слева,
- матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0,
. Вместе с равенством dn
+1
=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi
}i
³
1
функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f
, если
для всех uÎU.
Определение 4. Множество AÌFU
назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид
, где V открыто,
при
,
при
.
Множество AÌFU
назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
2.
;
3. Множества Ik
-
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌI-
k
+1
(k>n) такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции
.
Пусть система
образует T+
- систему на [0, ¥).
Рассмотрим систему функций
, такую, что wi
=ui
для
и
- T+
- системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система
образует T+
- систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство. Пусть
. Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj
}j
³
1
ÌIk
-
такая, что
. Зафиксируем произвольное fl
.
Если fl
ÎIk
-
, где k£n+1, то положим fl
*
=fl
.
Пусть k>n+1 и s={
} – (k-1, W) окрестность fl
в Ik
-
.
Рассмотрим произвольные
и
. Допустим, что
. Согласно лемме 1, отношения
и
невозможны для s£k-1. Следовательно,
и
, что невозможно.
Таким образом, отображение
непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что
- открытое множество в Rk
-1
, содержащее
.
Пусть
,
и
- многочлен по системе
, имеющий k-2 нулей x1
, …, xk
-2
. Условие bk
-1
=0 противоречит чебышевости системы
. Положим bk
-1
>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk
-2
.
Имеем
,
где cl
i
– i-ая компонента вектора
, и, следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml
>-¥.
Кроме того,
.
Возьмем последовательность
, такую, что
Fk
-1
(flp
)>Fk
-1
(flq
)=ml
при p<q и
,
Рассмотрим произвольные flp
и flq
, где p<q. Так как
, то отношения
и
невозможны для s£k-2. Отношения
и
невозможны, так как flp
, flq
ÎIk
-
. Из леммы 1 получаем
.
Так как
, то найдется функция
, такая, что Fk
-1
(fl
’
)=ml
.
Отношение fl
’
ÎIk
-
невозможно, в силу определения числа ml
и принципа инвариативности области. Отношения fl
’
ÎIm
-
для m<k-1 невозможны, так как
. Следовательно
.
Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию
, такую, что
. Из условия
следует утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2.
;
3. Множества Ik
+
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌIk
+
такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции
;
5. Ik
+
ÌFU
для k³n+1.
Теорема 2. Пусть система
образует T+
-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Определение 6. Систему
непрерывных на [0, ¥) функций назовем T+
1
-системой, если она является T+
-системой, и, кроме того, системы u1
, …, ul
-1
, ul
+1
, …, un
также являются T+
-системами для
.
Лемма 2. Пусть
- T+
1
-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что
(-1)n-i
Fi
(f) ³ (-1)n-i
Fi
(g),
.
Тогда отношения
,
и
,
, невозможны.
Доказательство. Допустим, что имеет место отношение
и 1£p£n.
Пусть x1
, …, xp
-1
(-¥<x1
<…<xp
-1
<¥) – точки перемен знака функции
; xо
=-¥, xn
=¥;
. Выберем точки xn
-1
<xn
-2
<…<xp
<xp
-1
так, чтобы
,
,
. Рассмотрим систему равенств
, (4)
где hi
=±1. Из условия
следует, что hn
=1. С другой стороны, из (4) получаем
,
где А – матрица, записанная в (4) слева, An
i
– матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как
- T+
1
-система на [0, ¥), то detA>0, detAn
i
>0,
. Следовательно, hn
£0. Получили противоречие.
Случай
,
, рассматривается аналогично.
Теорема 3. Пусть
- T+
1
-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство. Пусть
. Возьмем последовательность векторов
так, чтобы
при и
для
, j³1.
Согласно теореме 1, для любого
найдется последовательность
такая, что
.
Существует j1
, такое, что
, где r - какая-либо метрика в Rn
, и
,
.
Выберем j2
так, чтобы
и
,
.
Продолжая таким образом, получим последовательность
такую, что
и
(5)
Рассмотрим произвольные
и
. Отношения
и
для k>n невозможны, в силу условий .
Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем
,
т. е. существует функция
такая, что
. Включение
противоречит условию
, в силу принципа инвариативности области.
Из произвольности
следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1 Экстремальная задача
Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W(
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и
; c1
, …, cn
– вещественные константы; xÎ[a, b].
Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла
на множестве
ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям
,
.
Для классов Âo
- всех ФР на [a, b] и ВL
– ФР на [a, b], удовлетворяющих условию
, -¥<x<y<¥, задача решена в [1].
Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].
Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.
Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.
Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo
, BL
, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.
Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): Ik
+
(Ik
-
) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+
(k-
);
;
- пространство моментов порядка k;
;
;
, .
Основной результат работы содержится в утверждении.
Теорема. Пусть
,
. Тогда:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
.
§ 2 Свойства отображения
Нам понадобятся два факта из [6].
1. Для любого
существует и единственная ФР
.
2. Если
, то множество
одноэлементно. Если
, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства
(т. е.
при
и
(значок Þ обозначает слабую сходимость)) и
ФР такие, что
,
,
, для aÎ(0,1) и
для bÎ(0,1).
Пусть
и
, где
, xÎ[a, b].
Функция Ás
непрерывна слева на [a, b] и Ás
(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás
(x) не убывает по x.
Далее, из sk
Þs при k®¥ следует
Á
ÞÁs
. Следовательно, семейства распределений {Á
} и {Á
} непрерывны.
Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0
(f)<…<Bm
(f) (под X<Y (X, YÌR1
) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j
f(x)>0 (или (-1)j
+1
f(x)>0 при xÎBj
(f),
и f(x)=0 при
.
Лемма 1. Для любого распределения Á
(Á
) и для любого Ám
,
, функция Ám
- Á
(Ám
- Á
) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].
Доказательство. Предположим, что функция Ám
- Á
имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0
<x1
<…<xn
+3
£b такие, что (-1)i
[Ám
-Á
] > 0,
. Кроме того, Ám
(a)=Á
(a)=0. Следовательно, существуют точки y0
Î[a, x0
), y1
Î[x0
, x1
), …, yn
+3
Î[xn
+2
, xn
+3
) такие, что функция (-1)i
[m(t) - ha
(t)] возрастает в точке yi
,
, что противоречит условию
.
Равенство
запишем в виде
Ás
(t)=ci
,
,
где
,
, с0
= 1.
Очевидно, что последовательности u0
, …, uk
,
, образуют T+
- системы на [a, b]. Из условия W(
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и
следует (см. [1]), что последовательности –u0
, …,-uk
, также образуют T+
- системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám
- Á
не может иметь n+1 строгих перемен знака.
Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi
(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0
(f)=(-¥, infB1
(f)], Pi
(f)=[supBi
-1
(f), infBi
+1
(f)],
, Pk
(f)=[supBk
-1
(f), +¥).
Зафиксируем ФР
. Рассмотрим два класса функций
{Da
=Ás
- Á
:aÎ[0,1]} и {db
=Ás
- Á
:bÎ[0,1]}.
Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da
(db
) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da
(db
) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.
Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0
(a), …, Xn
+2
(a) (Y0
(b), …, Yn
+2
(b)) следующим образом. Если a (b) есть:
1.параметр первого типа, то
Xi
(a)=Pi
(Da
),
(Yi
(b)=Pi
(db
),
);
2.
3.параметр второго типа, то
Xi
(a)=Pi-1
(Da
),
, X0
(a)=(-¥, infB0
(Da
)],
(Yi
(b)=Pi
(db
),
, Yn+2
(b)=(supBn+1
(db
), +¥));
4.параметр третьего типа, то
Xi
(a)=Pi
(Da
),
, Xn
+2
(a)=[supBn
+1
(Da
), +¥)),
(Yi
(b)=Pi
-1
(db
),
, Y0
(b)=(-¥, infB0
(db
)]).
Таким образом:
(-1)n-i
Da
(t)£0 при tÎIntXi
(a),
, (1)
(-1)n-i
db
(t)³0 при tÎIntYi
(b),
.
При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi
(a) и (-1)n
-
i
Da
(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi
(b) и (-1)n
-
i
db
(t)³0 при tÎY.
Заметим также, что Xi
(0)=Yi
+1
(0), Xi
+1
(1)=Yi
(1).
Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1
непрерывно, если из gi
®g0
, xi
®x0
, где g0
, gi
Î[0, 1], xi
ÎZ(gi
), i³1, следует x0
ÎZ(g0
).
Лемма 2. Отображения Xi
(a), Yi
(b),
непрерывны.
Доказательство. Пусть aj
®a, j®¥. Обозначим через
границы отрезка Xi
(aj
). Определим a0
=-¥. Возьмем произвольную точку a1
сгущения последовательности {a1
(
j
)
}j
³
1
. Пусть для удобства
. Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai
(
j
)
}j
³
1
,
и {bi
(
j
)
}j
³
1
,
. Положим bn+2
=+¥.
Итак,
,
,
(2)
причем -¥=a0
<a1
£b0
£a2
£b1
£…£an+1
£bn
£an+2
£bn+1
<bn+2
=+¥.
Из (1) и (2) следует, что для
.
(-1)n-i
Da
(t)£0 (3)
при tÎ(ai
, bi
), если ai
¹bi
.
Из (3) и
следует, что ai
¹bi
,
, так как в противном случае функция Da
имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi
(a) следует [ai
, bi
]ÌXi
(a),
. Для любого i из xj
Î[ai
(
j
)
, bi
(
j
)
] и xj
®x0
вытекает, что x0
Î[ai
, bi
]. Следовательно, x0
ÎXi
(a).
Непрерывность отображений Yi
(b) доказывается аналогично.
§ 3 Доказательство теоремы
В случае
утверждение теоремы очевидно.
Пусть
.
Лемма 3. Для любого ФР
и любой точки xÎ[a, b] существует ФР
такая, что Áv
(t)³Ás
(t) (Áv
(t)£Ás
(t)) в некоторой окрестности точки x.
Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi
(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0
£0. В этом случае положим
.
Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi
(0).
Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi
(1). Пусть
. Согласно лемме 2, xÎYi
(b¢
). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {bj
}j
³
1
такая, что xÎYi
(bj
) и bj
®b¢. Пусть для некоторого bl
не существует такого k, что n-k четно и xÎYk
(bl
). Тогда
в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем
. Если же для всех bj
, j³1, существует kj
такие, что n-kj
четны и
, то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm
(bj
) для бесконечного числа элементов последовательности {bj
}. По лемме 2 xÎYm
(b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi
(b¢).
б) Предположим, что xÎYi
(1)=Xi
+1
(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi
+1
(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi
+1
(a¢). Если a¢=0, то xÎXi
+1
(0)=Yi
+2
(0). Это противоречит условию xÎXi
+1
(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).
Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn
+2
(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.
б) Пусть xÎYn
+2
(1). Так как Yn
+2
(1)ÌYn
+1
(1), то xÎYn
+1
(1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn
+1
(1), так как в этом случае множества Yn
+1
(1) и Yn
+2
(1) совпадают, что невозможно. Так как xÎYn
+1
(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn
+1
(1), то d1
(t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем
.
Итак, доказано существование такой ФР
, что Ás
-Án
£0 в некоторой окрестности точки x. Случай Ás
-Án
³0 рассматривается аналогично.
Теорема следует из леммы 3 и утверждения:
Ás
(x) и
Ás
(x+0) достижимы. Докажем последнее.
Пусть d=
Ás
(x) . Пусть последовательность ФР
, i³1, такова, что Á
. Выберем подпоследовательность последовательности {si
}, слабо сходящуюся к некоторой ФР
. Покажем, что Ás
(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Ás
(x)-Ás
(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Ás
. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á
(x¢)-Ás
(x¢)½<e¤2, из которого следует, что Ás
(x¢) - Á
(x¢)<e, j>N. Так как Á
(x¢) £Á
(x), то Ás
(x) - Á
(x)<e, откуда следует Ás
(x) - d£e. Последнее неравенство влечет Ás
(x)=d.
Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0,
¥
)
В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).
Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0
º1 на [0, ¥) функций образуют T+
-системы на [0, ¥).
Положим (1£i£n, sÎÂ):
,
,
- моментное пространство класса Â относительно системы
.
Пусть
.
Найти
, где
.
10
. Первый подход заключается в урезании справа класса Â в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх
решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.
Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх
={sÎÂ:s(x+0)=1}.
Очевидно, для любых x1
<x2
(1)
Предположим, что для любого x>0 Âх
- индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).
Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству
, L>0 и т. д.
Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение
(
-замыкание множества XÌRn
),
где Ii
-
- множество всех ФР, имеющих индекс i-
в Â.
Кроме того, для этих классов справедливо включение
, и следовательно,
(2)
Лемма 1.
.
Доказательство. Пусть
. Из выпуклости множества
следует, что точка
является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в
, т. е. существуют векторы
, и числа l1
>0, …, ln
>0, ln
+1
>0 такие, что
.
Из (2) следует существование последовательностей
, таких, что
.
Тогда для достаточно больших k выполнено равенство
,
где
,
.
Следовательно,
.
Из леммы 1 следует, что
для достаточно больших x. Так как класс Âx
является индексационным на [0, x], то ([5])
,
,
где
,
(
) – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Âx
.
Так как ФР
имеет индекс (n+1)-
в Â и
, то
.
Из (1) следует, что
.
Вид экстремальных ФР
и
для рассматриваемых классов имеется в [5].
20
. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0
всех ФР на [0,¥).
Лемма 2. Если u0
, u1
, …, un
– T+
-система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы
.
Доказательство. Из определения T+
-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции uj
(t) и auj
(t)+buj
(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.
Пусть х – наибольшее решение уравнения uj
(t)=0. Рассмотрим уравнение
auj
(t)+buj
(t)=0, t>x. (3)
Уравнение
(ui
(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.
Пусть
,
.
Допустим, что
не существует, т. е. А<B.
Введем последовательности {ti
}i
³
1
, {ti
}i
³
1
, удовлетворяющие условиям:
а) tk
®¥,tk
®¥ при k®¥;
б)
,
;
в) t1
<t1
<t2
<t2
<…<tm
<tm
<… .
Пусть cÎ(A, B).
Из-за непрерывности функции
на (x, ¥) уравнение
имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).
Выберем 0£j0
£n так, чтобы
для всех
и обозначим
.
Пусть число t0
таково, что
при t>t0
.
Рассмотрим функцию
Пусть
,
,
.
Легко видеть, что системы v0
, v1
, …, vn
и v0
, v1
, …, vn
, W являются T+
-системами на [0, ¥).
Предположим, что эти системы являются T+
-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0
<t1
<…<tn
-1
<tn
<¥
,
,
где
.
Через
обозначим множество ФР sÎÂ0
, для которых интегралы
,
, абсолютно сходятся.
Пусть
- моментное пространство класса
относительно системы
.
Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций
.
Имеем
, т. е.
.
Заметим, что отображение
является взаимно однозначным, причем
.
Таким образом,
- множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).
Пусть
.
Необходимо найти
. (4)
Из равенств (sÎÂ0
U
)
следует, что задача (4) эквивалентна следующей.
Найти
, (5)
где
- множество функций
, удовлетворяющих равенствам
,
,
.
Таким образом, задача в классе Â0
сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].
Именно для любого
,
где
- ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках
при нечетном n и в точках
при четном n,
- ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках
при нечетном n и в точках
при четном n.
Из приведенных выше рассуждений следует, что
,
,
где
,
,
r - величина скачка функции
в точке ¥.
Литература
1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.
2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.
3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.
4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.
5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.
|