ЛЕКЦИЯ №5

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СНУ

Пусть дана система вида:

(5.1)

f'(x)= - производная

Частная производная - вектор (все значения).

МЕТОД НЬЮТОНА

Дана система вида (5.1), где f_i один раз непрерывно дифиринцируемые функции, т.е. существуют все частные первые производные этих функций.

Строим последовательность приближений сходящуюся к точному решению системы .

Пусть - некоторое начальное приближение к решению, а - катое приближение к решению. Построим зависимость, позволяющую на основании построить .

Точное приближение

ξ-корень обращает уравнение в верное равенство(тождество).

(5.2)

Разложим функции f_i из системы (5.2) в ряд Тейлора в окрестности точки х^к до линейных составляющих.

(5.3)

Система (5.3) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для поиска компонента вектора поправки h^k .

Перепишем систему (5.3) в виде:

(5.4)

Сокращаем запись системы (5.4) : (5.5)

Решим систему (5.5) методом обратной матрицы. Определитель Якобиана в точке х^к не равен 0.

Получили связь последующего приближения с предыдущим.

(5.6)

условие окончания вычислений. (5.7)

- расстояние между векторами (метрика).

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

Пусть дана система вида (5.1). Преобразуем ее к виду (5.8)

Система (5.8) в векторном виде (5.9)

Необходимо найти неподвижную точку систему

Очевидно, что эта точка ξ – решение системы (5.1)

Пусть дано -некоторое начальное приближение к ξ и на k-том шаге получено приближение . Тогда последующее приближение :

(5.10)

Условие окончания совпадает с (5.7)

Всегда ли метод сходится?

Пусть М- матрица, составлена из элементов m_ij

M=[m_ij ], где m_ij =

Определение нормы матрицы А: -число удовлетворяющее свойствам.

1) ≥0, =0 ≡0

2) число

3)

4)

Способы задания нормы матрицы:

1) =

2) =

3) =

Достаточное условие сходимости метода итераций:

Если , i=1,n , на Сч и Сч, то процесс итераций сходится независимо от выбора начального приближения.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Пусть дана система вида (5.1), преобразуем ее к виду (5.8). Как и в методе итераций строим последовательность приближений к неподвижной точке.

ускорение сходимости за счет подстановки предыдущего приближения.

Достаточное условие совпадает с достаточными условиями сходимости метода итераций.

Условие окончания получения приближений совпадает с (5.7).

ЛЕКЦИЯ № 6, 7

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

Общая постановка задачи.

Пусть ¦(c) – некоторая функция, которая можетбыть известно, частично известной и неизвестной. Эту функцию необходимо заменить некоторой «хорошей» функцией j(c), которая будет достаточно близкой ¦(c).

Постановка задачи интерполяции.

Для того чтобы конкретизировать постановку задачи приближения функции необходимо ответить на следующие вопросы:

1. что известно о ¦(c) (способ задания, степень гладкости);

2. к какому классу, семейству функций должна принадлежать j(c);

3. что понимаем под близостью j(c) и ¦(c) каков критерий согласия;

Часто приближение функции называют аппроксимацией

Постановка задачи интерполяции.

Пусть ¦(c) задана на некотором разбиении отрезка [a;b] точками х_i ,

i=0,n , где a = х₀ <х₁ <…<x_n = b

интерполяция – вычисление ¦(c) в точке Î[a;b], x¹x_i , i = 0,n

экстраполяция – вычисление функции ¦(c) в точке ХÎ[a;b];

Определение интерполяции ввел в 1656 году Джон Уолесс, а в 1655 году ввел символ ¥.

Для полиномиальной интерполяции j(c) имеет вид j(c)=а₀ +а₁ х+а₂ х² +…+а_n xⁿ .

Для того, чтобы считать j(c) к ¦(c) вводится ограничение j(c_i )= ¦(c_i ), i=0,n ;

Т.е значения этих функций в точке х_i должны совпадать. Точки х _i будем называть узлами интерполяции

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Необходимо определить коэффициенты полинома степени n(их будет n+1), построения аппроксимации функции, заданной в n+1 узле. Используя ограничения на j(c): j(c_i )= ¦(c_i )=y, i=0,n , составим систему:

(6_. 1)

Выпишем определитель этой системы

Определитель

Вандермонда

При условии: x₀ ¹x_j приi¹j определитель системы (6.1) отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вывод:

если задано разбиение в виде n+1различной точки, то всегда существует функция в виде полинома n-ой степени, которая проходит через все точки графика ¦(c),определенной на этом разбиении.

Посторонние приближенияфункции при помощи полиномов указанным способом весьма трудоемко и обладает большой вычислительной погрешностью, поэтому его использование для большого числа узлов интерполяции нецелесообразно.

Лагранж предложил строить интерполяционные полиномы в виде:

P_n (x)=∑ C_i l_i (x) (6.2)

C_{i =} y_{i =} ¦(c_i ), l_i (x)=полиномы n-ой степени, которые удовлетворяют условию:

Для полинома узлы интерполяции x_j , j=0,n , j≠I являются корнями, причем действительными и попарно различными (все имеют кратность 1)

Тогда полином l_i может быть записан в виде:

(6.3)

Общий вид полинома Лагранжа:

(6.4)

Встает вопрос о точности, о приближения функции. Вводится понятие остаточного члена многочлена Лагранжа ; для того, чтобы оценить аппроксимации ¦(c) в некоторой точке xÎ[a;b]

Функцию ¦(c) представим в виде ¦(c)= P_n (x)+R_n (x), где R_n (x)- остаточный член многочлена Лагранжа в процессе длительного и трудоемкого вывода для R_n (x) получена следующая формула:

(6.5)

Строится система вложенных отрезков

¦^{( n +1)} -производная (n+1)-го порядка

Пусть

(6.6)

Если ¦(c)-полином n-ой степени, то производная (n+1)-го порядка равна 0, тогда R_n (x)≡0 и мы получаем точную аппроксимацию.

Теорема:

Многочлен Лагранжа вида (6.4) для таблично заданной функции единственен.

Доказательство:

Пусть Q_n (x)- многочлен Лагранжа, построенный для этой же функции ¦(c) по тем же узлам интерполяции. Q_n (x)¹P_n (x) Q_n (x_i )=y_i =P_n (x_i ),

Рассмотрим многочлен L_n (x)= Q_n (x)-R_n (x)-это многочлен n-ой степени, для которого точки x_i , i=0,n являются корнями. Это противоречит основной теореме алгебры, которая говорит о том, что полином n-ой степени имеет ровно n корней . А L_n (x) имеет n+1 корней . Противоречие доказывает теорему.

Интерполяционная схема Эйткина

Поскольку при большом числе узлов интерполяции вычисление значения полинома Лагранжа по формуле (6.4) громоздко, необходимо получить рекуррентную формулу.

Пусть ¦(c)- непрерывна, узлы выбраны на отрезке [a;b] таким образом, что:

Введем функцию

x_i -узлы интерполяции;

y_i= ¦(c)

Полином Лагранжа: P_n (x) см. (6.4)

Таким образом, функция Q_0,1 (x) представляет собой полином Лагранжа l-ой степени, построенной по узлам x₀ ,x₁ введем функцию вида

Функция Q_1,2 (x)- интерполяционный полином Лагранжа, построенный по узлам x₁ ,x₂ .

Введем теперь функцию

Аналогично:

Q_0,1,2 (x₂ )= у₂

В силу единственности полинома Лагранжа, построенного по узлам x₀ , x₁ ,x₂

функция Q_0,1,2 (x) представляет собой интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени, построенный по узлам x₀ , x₁ ,x₂ .

Введем функцию:

(7.1)

Функция представляющая собой полином Лагранжа 2-ой степени, построенного по узлам x₀ , x_1,… x_i .

Формула (7.1) позволяет рекуррентно вычислять полином Лагранжа любой степени.

Т.к. (7.1) представляет собой альтернативную форму записи интерполяционного полинома, точность приближения функции также может быть оценена по формуле (6.5)

(7.1)-интерполяционная схема Эйткина.

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Пусть функция ¦(c) задана на системе равноотстоящих узлов x_i =x₀ +ih,

где h-шаг сетки, y_i =¦(c_i ).

Конечной разностью первого порядка в точке x₀ называется ∆y₀ =y₁ -y₀

Конечной разностью первого порядка в точке x_i : ∆y_i =y_{i +1} -y₀ -y_i

Конечной разностью второго порядка в точке x₀ : ∆² y₀ =∆y₁ -∆y₀

Конечной разностью второго порядка в точке x_i : ∆² y_i =∆y_{i +1} -∆y_i

Общая формула для конечной разности k-того порядка в точке x_i :

∆ ^k y_i =∆ ^{k -1} y_{i +1} -∆ ^k y (7.2)

Заметим: ∆⁰ y_i = y_i

Формула (7.2) позволяет вычислять рекуррентно конечные разности

Связь конечных разностей и производных

чем меньше h, тем точность выше

Аналогично можем получить связь

; (7.3)

Свойства конечных разностей

В связи с производными вида(7.3)конечные разности обладают свойствами:

1. постоянные, равны нулю;

2. постоянный множитель у функции выносится за знак

3. суммы 2-х функций равны сумме каждой функции

4. полинома n-ой степени, n-го порядка постоянны и равны

∆ⁿ y=hⁿ a_n n!

a_n -коэффициент при xⁿ полинома R_n (x)

Верно и обратное утверждение: все конечные разности n-го порядка некоторой функции постоянны и одинаковы, конечные разности n +1-го порядка равны 0, а конечные разности n-1-го порядка различны, то функция представляет собой полином n-ой степени.

Распространение ошибки в исходных данных при вычислении конечные разности

Любые измерения несут в себе погрешность (ошибка округления, точность измерения приборов)

Пусть значения функции определены в узлах x₀ , и в некоторой точке x_k значение некоторой точке x_k значение функции найдено с ошибкой ε, т.е ỹ_k + ε

Составим таблицу конечных разностей

x_{k -2} y_{k -2} ∆y_{k -2} ∆² y_{k -2} ∆³ y_{k -3} +ε

x_{k -1} y_{k -1} ∆y_{k -1} +ε∆² y_{k -2} +ε∆³ y_{k -2} -3ε

x_k y_k +ε ∆y_{k -1} -ε∆² y_{k -1} -2ε∆³ y_{k -1} +3ε

x_{k +1} y_{k +1} ∆y_{k +1} ∆² y_k +ε ∆³ y_k -ε

x_{k +2} y_{k +2} ∆² y_{k +1}

Как видно из таблицы конечных разностей при увеличении порядка конечных разностей ошибка в исходных данных распространяется и растет.

Такое взаимодействие ошибок называют шумом, если это ошибки округлений - то шумом округлений .

Если ошибки округлений достаточно большие, то может происходить следующее явление: при увеличении порядка конечных разностей они могут уменьшаться и→0, но, дойдя до некоторого малого значения, опять могут начать расти из-за шума округлений.

Столбец в таблице конечных разностей, в которой все конечные разности ≈0, называют «практическим постоянным»; при этом конечные разности высших порядков не используют.

Для интерполяции целесообразно использовать многочлен такой степени, которая совпадает с порядком «практической постоянной» конечных разностей.

ЛЕКЦИЯ №8

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯРАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ

Дана функция y=¦(c),заданная на сетке равноотстоящих узлов:

y_i =¦(c_i ), x_i =x₀ +ih_i ,

Строим интерполяционный полином с целью упрощения записи полинома (интерполяционного) и представления его в виде, позволяющем оценивать влияние каждого из компонентов на значение аппроксимации, запишем его так:

N_n (x)=-a₀ +a₁ (x-x₀ )+a₂ (x-x₀ )(x-x₁ )+…+a_n (x-x₀ )…(x-x_n-1 ) (8.1)

Необходимо посчитать его коэффициенты a_i . Будем находить из условия

N_n (x_i )=y_i

i=0 : N_n (x₀ )=y₀ =a₀ +a₁ 0+…+a_n 0 a₀ = y₀

i=1 : N_n (x₁ )=y₁ = y₀ +a₁ (x₁ -x₀ ) + a₂ 0+…+a_n 0

x₁ =x₀ +1h=x₁ -x₀ =h

i=2 : N_n (x₂ )=y₂ = y₀ +∆y₀ /h(x₂ -x₀ ) (x₂ -x₁ ) + a₃ 0+…+a_n 0

x₂ -x₀ =2h

x₂ -x₁ =h

y₂ = y₀ +∆y₀ 2+a₂ 2h²

i = k : (8.2)

Запишем теперь, используя (8.2) , полином (8.1) в виде:

N_n (x)= y₀ +∆y₀ /h(x-x₀ )+…+ ∆ⁿ y₀ /n!hⁿ (x-x₀ )(x-x₁ )… (x-x_n-1 ) (8.3)

Полином (8.3) 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона. Он наиболее приспособлен для вычисления значения функции в точках, близких к x₀

С целью упрощения записи полинома введем переменную

x=x₀ +gh

Если g-целое, то будет совпадать с номером узла

x₀ – базовый узел полинома (8.3)

x_i =x₀ +gh- x₀ -ih=h(g-i);

N_n (g)= y₀ +∆y₀ g+…+ ∆ⁿ y₀ /n!g(g-1)(g-2)(g-n+1) (8.4)

Полином Ньютона в силу единственности существования интерполяционного полинома Лагранжа является одной из форм записи полинома Лагранжа, поэтому для полинома (8.3) справедливо, что формула остаточного члена полинома Лагранжа

Для вычисления функции в точках находящихся в середине сетки узлов интерполяции либо в ее конце, т. е близкие к x_n , применяют два подхода

1. строят формулы для вычисления функции в точках х, близких к середине сетки интерполяции

2. формулы для точек х, близких к х_n (упорядочивание узлов интерполяции).

Соответственно получаются формулы Стирлинга , Бесселя, Гаусса, и 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона .

Второй путь: в качестве узла х₀ для заданной точки х берут тот узел, который наиболее близок к х, узел х₁ выбирают как самый близкий из оставшихся узлов к х.

Т.е последовательность упорядочившаяся по возрастанию.

Для вычисления значения функции в точке х используется 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

х0 х1 х2 х3 х4 х5 х6

Преобразуем узлы:

х₀ ′=x_3;

x₁ ′=x₄ ;

x₂ ′=x₂ ;

x₃ ′=x₅ ;

Разделенные разности

Пусть функция ¦(c),задана на системе неравно отстоящих узлов.

Разделенной разностью 1-го порядка назовем выражение:

Разделенной разностью 2-го порядка:

Разделенной разностью k-го порядка:

(8.6)

|x-x₀ |,

Свойства разделенной разности:

- на сетке равноотстоящих узлов разделенной разности совпадают конечными разностями

- разделенные разности понижают степень многочлена

- разделенные разности n-го порядка постоянны и равны

Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов

Пусть функция ¦(c), задана на сетке не равноотстоящих узлов x_i , .Запишем следующие разделенные разности:

Выполним такие действия n-1 раз, получим:

Полином Ньютона:

N_n (x)=¦⁰ (c)

R_n (x)= ¦(c,c_0,… c_n )(x-x₀ )… (x-x_n ) (8.8)

То¦(c)= N_n (x)+ R_n (x)

N_n (x) ≈ ¦(c)

R_n (x) = ¦(c) - N_n (x)

Если ¦(c) имеет (n+1)-ую производную, то остаточный член может быть преобразован к виду остаточного члена (8.9) полинома Лагранжа.

При вычислении полинома в точке х узлы интерполяции лучше переименовать так, чтобы х₀ был самым близким к х, а все остальные узлы тем более удаленные по увеличению расстояния к х.