Топологические пространства - курсовая работа

§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1.1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным , если у всякого множества О , открытого в пространстве Y , полный прообраз f ^–1 (О ) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f : X → Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y является непрерывным, т.е. для любого множества О , открытого в Y , прообраз f ^–1 (O ) открыт в Х , и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y , и множество открыто в Х , в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f ^–1 (F ) замкнуто в Х .

Достаточность. Пусть для любого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х . Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y . Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х . Таким образом, для любого множества О , открытого в Y , полный прообраз открыт в Х и отображение f : X → Y непрерывное по определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным , если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О ₁ О ₂ .

Определение 5. Пространство Х называется связным , если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О ₁ и О ₂ , не имеющих общих точек, то О ₁ = CO ₂ и O ₂ = CO ₁ . Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным , если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным , если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

(1) существуют непустые открытые множества О ₁ и О ₂ , для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х ;

(2) существуют непустые замкнутые множества F ₁ и F ₂ , для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х ;

(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О ₁ и О ₂ непустые открытые множества, для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х . Рассмотрим множества F ₁ = СО ₁ и F ₂ = СО ₂ . Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F ₁ и F ₂ непустые замкнутые множества, для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х . Рассмотрим множество G = F ₁ Ì Х . Множество F ₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F ₂ (F ₁ = CF ₂ ). Поэтому множество G = F ₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х .

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х . Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х .

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ (х ) =

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q , открытым в Х .

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ (Х ) = М . Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ ^–1 (М ) = φ ^–1 (А В ) = φ ^–1 (А ) φ ^–1 (В ),

причём φ ^–1 (А ) и φ ^–1 (В ) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О ₁ = φ ^–1 (А ) и О ₂ = φ ^–1 (В ) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О ₁ О ₂ . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F ₁ и F ₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F ₁ F ₂ . Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F ₁ , либо в F ₂ .

Доказательство. Пусть F ₁ и F ₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F ₁ F ₂ . Тогда

М = (М ∩ F ₁ ) (M ∩ F ₂ ).

Так как множества F ₁ и F ₂ замкнутые в Х , то множества М ∩ F ₁ и M ∩ F ₂ замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F ₂ , пустое. Тогда

М = М ∩ F ₁ Í F ₁ . €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О ₁ и О ₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X ) = Y . Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O ₁ O ₂ .

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X ) = Y , прообразы G ₁ = f ^–1 (O ₁ ) и G ₂ = f ^–1 (O ₂ ) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х , что противоречит его связности. €

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным , если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным , если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х . В силу компактности пространства Х , из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А . Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А . €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым , если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х ) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки y ÎY прообраз f ^–1 (U ) называется трубкой (над U ), а прообраз f ^–1 (y ) называется слоем (над точкой y ).

Определение 11. . Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой y ÎY , если существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y .

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy , т.к., если U = U ₁ U ₂ , где U ₁ , U ₂ – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f ^–1 (U ) = f ^–1 (U ₁ ) f ^–1 (U ₂ ), f ^–1 (U ₁ ) ∩ f ^–1 (U ₂ ) = Æ,

т.е. f ^–1 (U ) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой y ÎY , если оно не является несвязным над точкой y , т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным , если оно связно над каждой точкой y Î Y .

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y . Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;

(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что для каждой трубки f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y Î Y , т.е. существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . Таким образом, трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , О ₁ ∩ О ₂ = Æ.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f ^–1 (U ) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f ^–1 (U ) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f ^–1 (U ) существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что для трубки f ^–1 (U ) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y . €

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным , если каждый слой f ^–1 (y ), где y Î Y , этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z , при котором f = g φ . Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f ^–1 (y ) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g ^–1 (y ) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y , тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y , трубка над которой f ^–1 (U ) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f ^–1 (U ) (связного слоя f ^–1 (y )) связен, т.е. множество φ (f ^–1 (U )) (множество φ ( f ^–1 (y ))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y , т.е. существует такая связная окресность Oy точки y , что трубка g ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . (Предположим, что слой g ^–1 (y ) несвязен над точкой y Î Y ).

По условию, f = g φ , следовательно,

f ^–1 (U ) = (g φ ) ^–1 (U ) = φ ^–1 (g ^–1 (U )).

Отсюда,

φ (f ^–1 (U )) = φ (φ ^–1 (g ^–1 (U ))) =g ^–1 (U )

(для слоя φ ( f ^–1 (y )) = g ^–1 (y )). Получили противоречие, т.к. множество φ ( f ^–1 (U )) связное (слой φ ( f ^–1 (y )) связен), а множество g ^–1 (U ) (слой g ^–1 (y )) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f ^–1 (y ) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y . Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f ^–1 (y ) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g ^–1 (y ) связен). В силу произвольности выбора точки y , заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €

2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f : X → Y называется замкнутым , если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F ) является замкнутым множеством в Y .

Определение 16. Отображение f : X → Y называется замкнутым над точкой y ÎY , если для всякой окрестности О слоя f ^{– 1} (y ) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y , трубка над которой f ^{– 1} (Oy ) содержится в данной окрестности О слоя f ^{– 1} (y ):

f ^{– 1} (y ) Í f ^{– 1} (Oy ) Í О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X → Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой y ÎY .

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f ^{– 1} (y ). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f ^–1 (y ) = Æ. Поэтому множество f (F ) замкнуто в Y и точка y Ï f (F ). Значит окрестность Oy = Y \ f (F ) точки y обладает таким свойством f ^{– 1} (Oy ) ∩ F = Æ, следовательно, f ^{– 1} (Oy ) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой y ÎY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой y ÎY . Предположим, что образ f (F ) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y . Пусть точка y Î [f ( F ) ] \ f (F ), т.е. принадлежит границе множества f (F ). Множество X \ F является окрестностью множества f ^{– 1} (y ). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y , что f ^{– 1} (Oy ) Ì X \ F . Но тогда Oy ∩ f (F ) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F )].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F , замкнутое в Х . Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F ) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F ) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X . В силу предложения 2.1, образ f (F ) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f ^–1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f | _Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g ^–1 (y ). Тогда в Х найдётся открытое множество U ¢ такое, что U = U ¢ Z . Множество O = U ¢ (X \ Z ) будет окрестностью слоя f ^–1 (y ) . Отображение f замкнутое над точкой y Î Y , поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y , что f ^–1 (Oy ) Ì O . Тогда g ^–1 (Oy ) Ì Z O = Z U ¢ = U .

В силу произвольности выбора точки y Î Y , можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y , то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y . 

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y , где T – произвольное множество в Y . Тогда под-отображение g = f | : f ^–1 (T ) ® T замкнуто над точкой y . В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T ), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T ).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g ^{– 1} (y ) = f ^{– 1} (y ), такую что

O = O ' f ^–1 (T ),

где О ¢ – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y , найдётся такая окрестность O ' y в Y точки y , что f ^{– 1} (O ' y ) Ì О' . Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y , что Oy = Oy ' T , и f ^{– 1} (Oy ) = g ^{– 1} (Oy ) Ì O ' f ^–1 (T ) = О . Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Î Y .

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y , то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y . 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y .

Доказательство. Поскольку слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f ^–1 (y ) множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = f ^–1 (y ). Тогда в Х существуют открытые множества Q ₁ и Q ₂ такие, что

O ₁ = Q ₁ f ^–1 (y ), O ₂ = Q ₂ f ^–1 (y ).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х . Их пересечение есть замкнутое множество, и F f ^–1 (y ) = Æ (т.к. О ₁ и О ₂ замкнутые в f ^–1 (y ), как дополнения до открытых). Множество О = (Q ₁ Q ₂ ) \ F открыто в Х , причём f ^–1 (y ) Ì О . Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy точки y , что f ^–1 (Oy ) Ì О . Пусть G ₁ = f ^–1 (Oy ) Q ₁ и G ₂ = f ^–1 (Oy ) Q ₂ – открытые в f ^–1 (Oy ) множества. Так как

Ì Х \ f ^–1 (Oy ),

то G ₁ ∩ G ₂ = Æ. Тогда f ^–1 (Oy ) = G ₁ G ₂ . Следовательно, трубка f ^–1 (Oy ) несвязна.

Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y . Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f ^–1 (U ), и непустые, т.к. О ₁ Ì и О ₂ Ì . Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f ^–1 (U ) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y , отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y. 

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f ^–1 (y ) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y . Тогда существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U , для которой выполняются следующие условия:

f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , О ₁ ∩ О ₂ = Æ,

где О ₁ и О ₂ – непустые открытые в f ^–1 (U ) множества.

Слой f ^–1 (y ) связен и f ^–1 (y ) Ì f ^–1 (U ), отсюда, f ^–1 (y ) содержится либо в О ₁ , либо в О ₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х ₁ ÎО ₁ . Образ этой точки f (x ₁ ) = y ₁ Ì U . По условию, слой f ^–1 (y ₁ ) связен и f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ О ₂ = f ^–1 (U ). Поскольку О ₁ ∩ О ₂ = Æ и х ₁ ÎО ₁ , следовательно (по теореме 1.4), f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ . (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О ₁ , то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х ₁ произвольная, то О ₁ = f ^–1 ( f (O ₁ )). Аналогично доказывается, что О ₂ = f ^–1 (f (O ₂ )).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f ^–1 (Oy ) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O ₁ ) = g (O ₁ ) и f (O ₂ ) = g (O ₂ ) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O ₁ ) f (O ₂ ), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U . 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→ Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f | _Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f ^–1 (T ) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→ Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х .

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R , для которого f (х ) = 0 при любом х Î [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f ^–1 (y ) над точкой y = 0 связен. Но f ^–1 (0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1] [2;3] ® R задано условием f (х ) = 0 для любого х Î [-1;1] [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f ^–1 (0) = [-1;1] [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х . Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→ Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X ) = Y и Х связно, то Y связно.

Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ О ₂ = Х . Допустим, что найдётся точка y Î . Тогда в любой окрестности слоя f ^–1 (y ) содержаться как точки множества О ₁ , так и точки множества О ₂ . С другой стороны, f ^–1 (y ) Ì f ^–1 (U ), где трубка f ^–1 (U ) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y ) и должна содержаться либо в О ₁ , либо в О ₂ (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

= Æ,

т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О ₁ ) f (О ₂ ) = Y , значит,

= f (О ₁ ) и = f (О ₂ ),

т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €

Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.