| Задача 1.
В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более 2 изделий.
Решение.
А)
Используя классическое определение вероятности:
Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m – кол-во благоприятных исходов события А;
n – количество всех возможных исходов;
Б)
Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
;
– кол-во благоприятных исходов события
;
– кол-во благоприятных исходов события
;
– кол-во благоприятных исходов события
;
n’ – количество всех возможных исходов;
Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2.
В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где А – взятие хорошей детали,
– взятие детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность попадания на сборку небракованной детали.
; (т. к.
) = 1% = 0.01)
;
;
Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3.
В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где А’ – взятие бракованной детали,
– взятие детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность попадания на сборку бракованной детали.
; (согласно условию)
;
;
Согласно формуле Байеса:
Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача 4.
Рабочий обслуживает 18
станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна
. Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?
Решение.
Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков:
где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.
.
Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача 5.
В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять
= 0,05.
Все промежуточные вычисления поместить в таблице.
| Магазин №1
|
Магазин №2
|
| 20,35
|
20,01
|
| 20,60
|
23,55
|
| 32,94
|
25,36
|
| 37,56
|
30,68
|
| 40,01
|
35,34
|
| 25,45
|
23,20
|
Пусть, a1
– товарооборот в 1 магазине, a2
– товарооборот во 2 магазине.
Формулируем гипотезы Н0
и Н1
:
Н0
: a1
= a2
Н1
: a1
≠ a2
| |
xi
|
xi-a1
|
(xi-a1)2
|
yi
|
yi-a2
|
(yi-a2)2
|
| |
20,35
|
-9,135
|
83,44823
|
20,01
|
-6,35
|
40,32
|
| |
20,6
|
-8,885
|
78,94323
|
23,55
|
-2,81
|
7,896
|
| |
32,94
|
3,455
|
11,93703
|
25,36
|
-1
|
1
|
| |
37,56
|
8,075
|
65,20563
|
30,68
|
|
18,66
|
| |
40,01
|
10,525
|
110,7756
|
35,34
|
4,32
|
80,64
|
| |
25,45
|
-4,035
|
16,28123
|
23,20
|
8,98
|
9,98
|
| ∑
|
176,91
|
|
366,591
|
158,14
|
-3,16
|
158,496
|
a1
=
=
= 29,485, a2
=
=
1
=
=
73.32
2
=
=
n 1
= n 2
= n =6
Вычислю выборочное значение статистики:
ZВ
=
*
=
Пусть
= 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента:
(n1
+n2
-2)= 2.228.
Следовательно, так как ZВ
=0,74 <
=2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0
, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.
Задача 6.
По данному статистическому ряду:
1. Построить гистограмму частот.
2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.
3. Найти оценки параметров распределения.
4. На уровне значимости
= 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.
Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.
| Интервал
|
Частота случайной величины
|
| 1 – 2
|
5
|
| 2 – 3
|
8
|
| 3 – 4
|
19
|
| 4 – 5
|
42
|
| 5 – 6
|
68
|
| 6 -7
|
44
|
| 7 – 8
|
21
|
| 8 – 9
|
9
|
| 9 – 10
|
4
|
1. Гистограмма частот:
2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.
3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:
| №
|
Интервалы
|
Частота,
mi
|
Середина
Интервала, xi
|
xi
*mi
|
xi
2
*mi
|
| 1
|
1–2
|
5
|
4,5
|
7,5
|
112,5
|
| 2
|
2–3
|
8
|
2,5
|
20
|
50
|
| 3
|
3–4
|
19
|
3,5
|
66,5
|
232,75
|
| 4
|
4–5
|
42
|
4,5
|
189
|
350,5
|
| 5
|
5–6
|
68
|
5,5
|
374
|
2057
|
| 6
|
6–7
|
44
|
6,5
|
286
|
1859
|
| 7
|
7–8
|
21
|
7,5
|
157,5
|
1181,25
|
| 8
|
8–9
|
9
|
8,5
|
76,5
|
650,25
|
| 9
|
9–10
|
4
|
9,5
|
38
|
361
|
| ∑
|
|
n=220
|
|
1215
|
7354,25
|
Найдем оценки параметров распределения:
=
= 5,523
2
=
2
= 2,925
=
= 1,71
4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.
| №
|
Интервалы
|
Частоты, mi
|
t1
|
t2
|
Ф(t1
)
|
Ф(t2
)
|
pi
|
| 1
|
-∞ – 2
|
5
|
-∞
|
-2,06
|
0
|
0,0197
|
0,0197
|
| 2
|
2–3
|
8
|
-2,06
|
-1,47
|
0,0197
|
0,0708
|
0,0511
|
| 3
|
3–4
|
19
|
-1,47
|
-0,89
|
0,0708
|
0,1867
|
0,1159
|
| 4
|
4–5
|
42
|
-0,89
|
-0,31
|
0,1867
|
0,3783
|
0,1916
|
| 5
|
5–6
|
68
|
-0,31
|
0,28
|
0,3783
|
0,6103
|
0,232
|
| 6
|
6–7
|
44
|
0,28
|
0,86
|
0,6103
|
0,8051
|
0,1948
|
| 7
|
7–8
|
21
|
0,86
|
1,45
|
0,8051
|
0,9265
|
0,1214
|
| 8
|
8–9
|
9
|
1,45
|
2,03
|
0,9265
|
0,9788
|
0,0523
|
| 9
|
9-∞
|
4
|
2,03
|
∞
|
0,9788
|
1
|
0,0212
|
Где: t1
=
, t2 =
, ai
, bi
– границы интервала, Ф(t) – Функция распределения
нормального закона.
pi
= Ф(t2
) – Ф(t1
)
Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию
, составляем еще одну таблицу для вычислений:
| № интервала
|
pi
|
mi
|
n* pi
|
|
| 1
2
|
0,0708
|
13
|
15,57
|
0,4242
|
| 3
|
0,1159
|
19
|
25,5
|
1,6569
|
| 4
|
0,1916
|
42
|
42,15
|
0,0005
|
| 5
|
0,232
|
68
|
51,04
|
5,6336
|
| 6
|
0,1948
|
44
|
42,86
|
0,0303
|
| 7
|
0,1214
|
21
|
26,71
|
1,2207
|
| 8
9
|
0,0735
|
13
|
16,17
|
0,6214
|
| ∑
|
|
|
|
9,5876
|
Согласно расчетам,
=
= 9,5876
Выбираем уровень значимости
= 0,05 и вычисляем
1-α
(k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.
0,95
(7–2–1) =
0,95
(4) = 9,49.
Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.
Задача 7.
По данным выборки вычислить:
а) выборочное значение коэффициента корреляции;
б) на уровне значимости
= 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
Решение
Формулируем гипотезы Н0
и Н1
:
Н0
: a1
= a2
Н1
: a1
≠ a2
| |
xi
|
xi-a1
|
(xi-a1)2
|
yi
|
yi-a2
|
(yi-а2)2
|
xi*yi
|
| |
4,40
|
-0,476
|
0,2266
|
3,27
|
-0,47
|
0,2209
|
14,388
|
| |
5,08
|
0,204
|
0,0416
|
4,15
|
0,41
|
0,1681
|
21,082
|
| |
4,01
|
-0,866
|
0,7499
|
2,95
|
-0,79
|
0,6241
|
11,829
|
| |
3,61
|
-1,266
|
1,6027
|
1,96
|
-1,78
|
3,1684
|
7,075
|
| |
6,49
|
1,614
|
2,605
|
5,78
|
2,04
|
4,1616
|
37,512
|
| |
4,23
|
-0,646
|
0,4173
|
3,06
|
-0,68
|
0,4824
|
12,944
|
| |
5,79
|
0,914
|
0,8354
|
4,45
|
0,71
|
0,5041
|
25,765
|
| |
5,52
|
0,644
|
0,4147
|
4,23
|
0,49
|
0,2401
|
23,349
|
| |
4,68
|
-0,196
|
0,0384
|
3,54
|
-0,2
|
0,04
|
16,567
|
| |
4,95
|
0,074
|
0,0055
|
4,01
|
0,27
|
0,0729
|
19,849
|
| ∑
|
48,76
|
-
|
6,9371
|
37,4
|
-
|
9,6626
|
190,36
|
a1
=
= 4,876, a2
=
= 3,74
1
=
= 0,7708
2
=
= 1,0736
n 1
= n 2
= n =6
а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции
=
б) Проверим на уровне значимости
=0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:
(n-2)=2,306
Вычислим величину
=
получаем, что
>0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.
Задача 8.
По данным выборки найти:
а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
б) с доверительной вероятностью р =1-
найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
| α
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
x9
|
x10
|
| 0.01
|
3,85
|
8,87
|
21,26
|
6,72
|
0,29
|
15,48
|
7,48
|
0,33
|
0,34
|
1,37
|
Решение
а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
| xi
|
mi
|
mi
xi
|
mi
xi
2
|
| 3,85
|
1
|
3,85
|
14,822
|
| 8,87
|
1
|
8,87
|
78,677
|
| 21,26
|
1
|
21,26
|
451,987
|
| 6,72
|
1
|
6,72
|
45,158
|
| 0,29
|
1
|
0,29
|
0,0840
|
| 15,48
|
1
|
15,48
|
239,630
|
| 7,48
|
1
|
7,48
|
55,950
|
| 0,33
|
1
|
0,33
|
0,109
|
| 0,34
|
1
|
0,34
|
0,115
|
| 1,37
|
1
|
1,37
|
1,877
|
| ∑65,99
|
10
|
65,99
|
888,409
|
Математическое ожидание:
m=
=
Дисперсия:
δ2=
=
б) с доверительной вероятностью р =1-
найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.
Определим из таблиц значение
, где
;
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:
0,271<M<12.927
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.
|