МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005
Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. 5
1.1. Базовые понятия и факты.. 5
1.2. Простое расширение Q
+
(a
) 5
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7
Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел. 9
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом. 12
2.4. Примеры.. 20
Литература. 22
Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа
Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
· Теорема 2.2.1.
Любое расширение
, где
, является полем С
.
· Теорема 2.3.1.
Если
, то
– поле тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – поле,
позволяющая выявлять полуполя вида
.
· Теорема 2.3.6.
Если минимальный многочлен
f
-
g
порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень
, такой что
и последовательность (**), заданная числами
p
и
q
, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность
задается следующим образом:
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
· Теорема 2.3.7.
Для комплексных чисел
расширение
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Определение:
Алгебра <P, +, ×> называется полуполем
, если
(1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;
(2) <Р, ×> – группа с 1;
(3) Дистрибутивность
a.
b.
(4)
Не сложно показать, что Q
+
является полуполем.
Определение:
Пусть Р
– подполуполе полуполя F
,
, тогда простым расширением
полуполя P
с помощью элемента a
называется наименьшее подполуполе полуполя F
,
содержащее множество P
и элемент a
. Простое расширение P
с помощью a
обозначается P
(a
).
Теорема 1.2.1.
Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию
Q
+
в качестве полутела.
Доказательство.
Предположим, что S
– неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент s
ÎS
, что s
+s
¹s
.
Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц. Через
обозначим сумму k
единиц (при k
ÎN
). Так как любое полутело является антикольцом, то
. Покажем, что суммы различного числа единиц в S
различны. Допустим от противного, что
при некоторых натуральных m
<n
. Положим l
=
n
-
m
ÎN
. Тогда
. Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент
, получим
.
Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
для любого t
ÎN
.
По свойству Архимеда, найдется такое t
ÎN
, что tl
>n.
При k=
tl
имеем
и n<
k
. Тогда
.
Откуда 1=1+1 (
). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S
содержит аддитивную копию N
. Но тогда S
содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q
+
, причем, очевидно, операции в Q
+
и S
согласованы.
■
Теорема
1.2.2.
- простое расширение полуполя Q
+
.
Доказательство.
Заметим, что Q
+
(a
) – полуполе. Кроме того, а Î Q
+
(a
). Это не сложно увидеть, взяв
. Очевидно
.
Предположим, что есть полуполе P
меньшееQ
+
(a
), содержащее а
и Q
+
. Тогда оно содержит все выражения вида
. Так как P
– полуполе, то
. Таким образом,
. Так как P
– минимальное полуполе, то
. То есть,
–простое расширение полуполя Q
+
.
■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема
1.2.3.
- простое расширение поля Q
.
Пусть а –
алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F
числа а
имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f
многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F
, а многочлен g
составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда
.
, тогда
.
Покажем, что любое равенство
получается из
, где
. Заметим, что
, так как а
– корень
, а
– минимальный многочлен для a
. Представим
, где
составлен из положительных одночленов многочлена h
, а
‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h
, взятых с противоположным знаком. Таким образом,
Приведем подобные члены в паре
, и найдем такой
, что
,
не имеют подобных членов.
Аналогично найдем
, что
и
не имеют подобных членов.
Получаем
Так как
не имеют подобных членов и
не имеют подобных членов, то
,
или
,
.
Найдем значения этих многочленов в точке а
.
,
.
Итак,
,
.
То есть,
тогда и только тогда, когда
.
Будем говорить, что Q
+
(a
) порождается минимальным соотношением
.
Для простого расширения
справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1.1.
Пусть
простое расширение
,
a
– алгебраический элемент над
. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)
– поле;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
.
Доказательство
.
· (1)®(2): Пусть
– поле. Так как
- простое расширение поля Q
элементом a
. То
. Однако,
. Таким образом,
.
· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что
.
Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент
не будет обратим. Рассмотрим
и
,
тогда
.
По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит.
. Так как
, то
. То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).
· (3)®(4): Пусть
, тогда
. Так как (f
–
g
)(a
) = 0, то h
(a
) = 0.
· (4)®(5): Пусть
, покажем, что
.
Так как h
(a
)=0, то
. Покажем, что
. Рассмотрим
.
Если b
0
≠0, то
.
Если h
0
=0, то
.
Так как a
≠0, то
.
Тогда
.
Итак,
.
· (5)®(1): Пусть
, покажем, что Q
+
(a
) – поле. Действительно, мы знаем, что Q
+
(a
) – полуполе. Рассмотрим b
ÎQ
+
(a
), тогда
. b
+ (‑
b
)=0. То есть, Q
+
(a
) – поле.
Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■
Доказанный факт влечет следующую теорему.
Теорема 2.1.2.
Пусть Q
+
(
a
) простое расширение
Q
+
,
a
– алгебраический элемент над
Q
+
. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)Q
+
(
a
) –полуполе;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
.
Доказательство.
Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).
Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q
+
(a
) не является полем, а значит Q
+
(a
) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),
("h
Î
Q
+
[a
],h
≠0) h
(a
)≠0.
То есть, если h
(a
)=0, то h
=0. Пустьh
(a
)=(x
+y
)(a
)=0. Тогда
.
Тогда (xi
+yi
)=0.
Так как xi
ÎQ
+
и yi
ÎQ
+
, то xi
=
yi
=0. А значит, x
=
y
=0.
Теорема доказана.
■
Теорема 2.2.1.
Любое расширение
, где
, является полем С
.
Доказательство.
Пусть
,
и при a
> 0. Тогда
находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.
Очевидно, существует натуральное n
, что
лежит строго во второй или третьей четверти. То есть,
, где c
< 0,
. Значит,
и
. По теореме 2.1.1,
– поле. Очевидно, что
. То есть,
является полем С
.
Аналогично рассматривается случай
■
Теорема 2.3.1.
Если
, то
– поле тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – поле.
Доказательство.
По теореме 2.1.1 Q
+
(ai
) – поле равносильно существованию
f
¹0, f
(ai
)=0.
Так как все степени ai
Î
Q
+
(ai
).
Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q
+
(-a
2
) – поле.
Получили, чтоQ
+
(ai
) – поле тогда и только тогда, когдаQ
+
(-
a
2
) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1.
Если
, то
Q
+
(
ai
) – полуполе тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – полуполе.
Следствие
2
.
Если
и
Q
+
(-
b
2
) – полуполе,
a
Î
Q
+
(-
b
2
), то
Q
+
(
a
+
bi
) – полуполе.
Теорема 2.3.2.
Пусть
– комплексный корень квадратного трехчлена
f
(
x
) неприводимого над
Q
. Тогда
– полуполе в том и только том случае, когда
f
(
x
) имеет положительный действительный корень.
Доказательство.
Пусть
удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда
, где D
– дискриминант минимального соотношения.
Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид
. Если b
, c
≥ 0, то имеем многочлен из
. Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда
,
. То есть
. Если многочлен не имеет действительных корней, то
(*)
То есть,
.
Рассмотрим
.
При
получаем многочлен из Q
+
[x
]. Пусть
. Введем обозначения:
,
, ,
,
, .
Тогда многочлен примет вид
. Умножим его на
, получим многочлен
. Если
, то это искомый многочлен иначе умножим его на .
Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q
+
. Докажем, что найдется такие k
, что
. При этом
. Для начала найдем дискриминант уравнения
.
То есть, дискриминант Dl
+1
имеет тот же знак, что и Dl
. Так как D
0
<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl
<0.
Рассмотрим неравенство
, подставим
,
. Получим
.
То есть,
.
Зная, что
заметим
.
Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.
Используя оценку
и деля на положительный элемент
, получаем
.
Обозначим
. Рассмотрим отображение
, заданное по правилу
. При
,
. Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее:
. Откуда
. Заметим, что
. Последовательность
стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что
, а это следует из (*). Итак, мы доказали, что
. То есть, мы нашли такой многочлен,
, что
. Итак, мы доказали, что если
удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■
Следствие 1.
Если
– мнимый корень квадратного трехчлена, то
‑ поле.
Следствие 2.
Любое простое расширение
является полем
, порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что
. Покажем, что для любого a
ÎQ
найдется такой квадратный многочлен
, что
- его корень многочлена. Для этого достаточно представить
. Возьмем такой
, что
, тогда
. Очевидно,
. Таким образом, нам удалось найти многочлен из
. То есть,
- поле. ■
Рассмотрим последовательность действительных чисел
:
(**)
Будем говорить, что последовательность
задается числами p
и q
.
Лемма 2.3.3.
Существует
n
, что
.
Доказательство.
Пусть
. Покажем, что последовательность
убывающая.
,
то есть
.
Пусть
, тогда
Так как
,
то
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что
, то есть
- убывающая.
Так как
- монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует
. Тогда
.
То есть,
. Но тогда
,
,
что невозможно для
. То есть,
. ■
Лемма 2.3.4.
Если
, то существует
, что
.
Доказательство.
Запишем а и bв виде десятичных дробей:
,
Так как
, то существует k
, что
и
.
Тогда
. Рассмотрим число
.
То есть,
. ■
Теорема 2.3.5.
Если
и
, то
.
Доказательство.
По лемме 2.3.3,
. Пусть
.
Если n=1, то
. Рассмотрим
.
То есть,
.
Так как
. По лемме 2.3.4
. Тогда
.
Рассмотрим n
> 1.
Пусть
.
Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj
.
То есть,
Заметим, что
. Для существования
, по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий
и
, то есть,
. Обозначим
. Так как
, то
и
. Для существования
достаточно доказать существование
и
. То есть,
. Обозначим
. Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что
. По лемме 2.3.4,
существует, если
и
. Эти условия следуют из того, что
и .
Таким образом, доказано существование
■
Теорема 2.3.6.
Если минимальный многочлен
f
-
g
порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень
, такой что
и последовательность (**), заданная числами
p
и
q
, не содержит отрицательных элементов.
Доказательство.
Пусть многочлен f
-
g
не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида
, где
,
последовательность (**), заданная числамиp
и q
,
содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида
существует многочлен
, что
. Рассмотрим многочлен
.
так как
и
. Кроме того
, а остальные множители многочлена
имеют вид
или
. То есть,
. Таким образом
. По теореме 2.1.1, минимальный многочлен
порождает поле. ■
Теорема 2.3.7.
Для комплексных чисел
расширение
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Доказательство.
Пусть a
'
– положительный корень минимального соотношения. Предположим, что
– поле. Тогда существует многочлен f
с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f
(a
'
)=0. Но
. Значит a
'
– не является корнем многочлена f
. То есть
– полуполе. ■
1. Рассмотрим
. Оно удовлетворяет минимальному соотношению
. По теореме 2.3.7,
- полуполе. Аналогично доказывается, что
– полуполе.
2.
– полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
3. Покажем, что
– полуполе. Во-первых, заметим, что
. Рассмотрим
. По теореме 2.3.7,
‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1,
– полуполе.
. То есть,
– полуполе.
4.
, минимальное соотношение которого имеет вид
, есть полуполе. Действительно, многочлен
имеет положительный корень, а значит
- полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5.
является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид
.
6. Пусть
удовлетворяет минимальному соотношению
. Его минимальный многочлен
делит
. То есть,
– поле. Несложно видеть, что
. Итак, .
7. Пусть
удовлетворяет минимальному соотношению
. Тогда
– поле.
8. Пусть
, если
, то
– поле. Так как
, то
Если
, то
. Рассмотрим последовательность (**), порожденную p
и q
.
. По теореме 2.3.7,
– поле.
1. Вечтомов Е.М.
Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М.
О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В.
Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.
|