Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры
a
и
b
линейной функции
y
=
a
+
bx
, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
| xi
|
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
| yi
|
0,9 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
Решение
Система нормальных уравнений
в задаче
n = 6
Тогда
решая ее получаем
.
y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям
Решение
Ответ:
Задача 8
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами
Решение
Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.
Площадь фигуры найдем из выражения
Ответ:
Задача 9
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v
таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к.
, то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.Используем признак Даламбера
Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к.
, то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.По признаку подобия
данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим ряд
Ряд знакопостоянный, limUn = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд
Ряд знакочередующийся, limUn = n
|Un
| > |Un
+1
| > |Un
+2
| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ: Х Î(-5; 5)
Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда
Решение
В разложении функции sin(x) в степенной ряд
заменим
. Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на
будем иметь
Следовательно
Ответ: »0,006.
|