Расширение кольца с помощью полутела - дипломная работа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н.,профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005

Введение........................................................................................ 3

§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6

§2. Допустимые полутела.......................................................... 10

§3. О единственности расширения............................................ 12

Заключение................................................................................. 14

Библиографический список........................................................ 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос.Для каких кольца R , полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L ?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS ; +, ×, 0ñ, что áS ; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS , ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a (b +c )=ab +ac , (a +b )c =ac +bc и a 0=0a =0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS ; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом . Полукольцо с квазитождеством a +b =0 Þa =0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a +a =a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a +b =a +c Þb = c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T , если на S существует такая конгруэнция s, что K @[0]_s - изоморфно нулевому ядру - и S / s @T . Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K , возможно без нуля, с помощью полукольца T , если на S существует конгруэнция r, для которой K @[1]_r - изоморфно единичному ядру - и S / r @T . В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R (S )множество всех аддитивно обратимых элементов в S , а через U (S ) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R (S ) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a +b ÎR (S ) Þa , b ÎR (S )).

Пусть S / R (S )– фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R (S ): s конгруэнтно t Ûs +a =t +b для некоторых a , b ÎR (S ). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp -полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a +1, a ÎS , обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa = a .

Справедливы следующие утверждения.

1.Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R ( S ), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R ( S ) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3.Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R ( S ) полульца S простой (т.е. ab Î R ( S ) влечет a Î R ( S ) или b Î R ( S )).

4.Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S / R ( S ) является полутелом с нулем тогда и только, когда R ( S ) есть максимальный односторонний идеал в S .

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K , возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp -полукольцо S является 1-расширением полутела U ( S ) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S /r , где r - конгруэнция на S , такая, что a r b означает aU ( S )= bU ( S ). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T , если на S существует такая конгруэнция r, что [0]_ρ @K , [1]_r @L и S /r @T .

Пусть для кольца R , полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L > будем называть допустимой .

§1. Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r , для которой [0]_r @R , [1]_r @P , F / r @D . Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P , и обозначим P R . Ясно, что "p Î P ,"r Î R ,p ×r Î R , p +r Î P .

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R (S ) и полутела U (S ). При этом разбиение {R (S ), U (S )} индуцирует искомую конгруэнцию r на S .

Предложение. В U R справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть , тогда , ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует допустимая тройка áR , U , L ñ, где L – любая дистрибутивная решетка с 1 ¹ 0;

2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U ;

3) R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

1Þ2. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию r . Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединенияможно взять подполукольцо [1]_r È[0]_r в S .

2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I , более того L \ I - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i ,r ),i Î I ,r Î R È(l ,p ),l Î L / I ,p Î P с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F , [0]_r @R , [1]_r @P , F / r @L ₂ . Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первых координат, то [0]_g @R , [1]_g @P , S / g @L ₂ , что завершает доказательство.

Лемма. Пусть в кольце R "r $r ¢ "t Î R ,( r +r ¢ r + r ¢ ) t = 0Ù,( r +rr ¢ + r ¢ ) t = 0, тогда "r $r ² ,r +r ² r + r ² = 0Ùr +r ² r + r ² = 0.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r ² =- r - r ¢r . Имеем

r +r ² r +r ² = r +(- r - r ¢ r )r - r - r ¢ r = (r +r ¢ r +r ¢ )(-r )=0

r +rr ² +r ² = r +r (- r - r ¢ r ) - r - r ¢ r = (r +rr ¢ +r ¢ )(-r )=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону , если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r °s = r +s +rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существуетединственный элемент s , такой, что r +s +rs =0.

2)Þ3). P содержит Q ⁺ , иначе 1+ 1= 1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r , имеем r + r = r Ûr =0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q ⁺ и, значит, модуль над Q . Поэтому <R ,+ > - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T=Q ⁺ + R является подполутелом в U , поскольку

q ₁ + r ₁ + q ₂ + r ₂ = (q ₁ + q ₂ )+ (r ₁ + r ₂ );

(q ₁ + r ₁ )(q ₂ + r ₂ ) = (q ₁ q ₂ + q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ ) = q ₁ q ₂ + (q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ );

t=q+r Þ1=qt ^-1 +rt ^-1 Þt ^-1 =q ^-1 - q ^-1 r t ^-1 Î Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r ,r Î R найдётся, 1+r ¢ ,r ¢ Î R что (1+r )(1+r ¢ ) = (1+r ¢ )(1+r ) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r +rr ¢ +r ¢ = 1+r +r ¢ r +r ¢ = 1. Умножая последнее равенство на любое t Î R , имеем (r +r ¢ r + r ¢ )t = 0Ù(r +rr ¢ + r ¢ )t = 0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)Þ2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q ⁺ ´R с операциями

(q ₁ ,r ₁ )+ (q ₂ ,r ₂ )= (q ₁ + q ₂ )+ (r ₁ + r ₂ ), (q ₁ ,r ₁ )×(q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ q ₂ ,q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ )

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S @(Q ⁺ È{0})´R с теми же операциями совпадает с (Q ⁺ ´R ) ({0}´R ) = (Q ⁺ ´R ) R .

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R , порождённое одним элементом e .

Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p ₁ e + p ₂ e ² + … + p_{n -1} e ^{n -1} , p_i Î Q , n - наименьшая нулевая степень e , T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q +q ₁ e + q ₂ e ² + … + q_{n -1} e ^{n -1} ,p ₁ e + p ₂ e ² + … + p_{n -1} e ^{n -1} )q Î Q ⁺ ,q_i ,p_i Î Q или

(q +q ₁ e + q ₂ e ² + … + q_{n -1} e ^{n -2} ,p ₁ e + p ₂ e ² + … + p_{n -1} e ^{n -1} )q Î Q ⁺ ,q_i ,p_i Î Q

c операциями

(q ₁ ,r ₁ )+ (q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ + q ₂ )+ (r ₁ + r ₂ ), (q ₁ ,r ₁ )×(q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ q ₂ ,q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ ).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R @m (0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "a Î m (0), a +x +ax = 0Ûx = (-a )/(1+a )Î m (0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q [x ]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q +q ₁ e + q ₂ e ² + … + q_{n -1} e ^l ,p ₁ e + p ₂ e ² + … + p_{n -1} e ^m )q Î Q ⁺ ,q_i ,p_i Î

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что P R .

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R , тогда множество элементов M = {m Î R , "r Î R | r ∙m = m ∙r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {e Î R ,1+e =1 } образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3.Множество Q ⁺ ×(R / I ) является полутелом с операциями (q ₁ ,r ₁ )+ (q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ + q ₂ )+ (r ₁ + r ₂ ), (q ₁ ,r ₁ )×(q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ q ₂ ,q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ ), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R .

Теорема 2. Пусть áR , U , D ñ- допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q ⁺ + R есть подполутело U , изоморфное ((R / I )´ Q ⁺ ), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R -модульных эндоморфизмов End _R R , образ которого содержит Q ⁺ . Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Im a содержит подполутело, изоморфное ((R / I )´ Q ⁺ ).

Доказательство. Пусть T , R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q + r , q Î Q ⁺ , r Î R . Два элемента q + r ₁ и q + r ₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r ₁ -r ₂ =1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r ₁ +r =1+r ₁ . Поэтому все элементы вида q +r +e , 1+ e =1 "e сливаются в классы q ×(R / I ), где I - множество всех e .

Отображение j _u : R ®uR ,u Î U ввиду дистрибутивности и ассоциативности в U R является R – модульнымэндоморфизмом. Пусть j _u + j _v :R ®(u + v ) R и j _u × j _v :R ®uvR , тогда отображение a : U ®End _R R , сопоставляющее каждому элементу u Î U эндоморфизм j _u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q ₁ +r ₁ ,q ₂ +r ₂ , считая без ограничения общности, q ₁ =q ₂ + q ₃ (q ₃ может равняться нулю), "r , (q ₁ +r ₁ )r =(q ₂ +r ₂ )r Û(q ₃ +r ₁ -r ₂ )r = 0Þq ₃ =0,r ₁ =r ₂ . Элементы q ₁ +r ₁ и q ₂ +r ₂ одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a - мономорфизм и Im a содержит подполутело, изоморфное ((R / I )´ Q ⁺ ).

Замечание. Система (Q ⁺ ×(R / I ))È({0}×R ) с операциями (q ₁ ,r ₁ )+ (q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ + q ₂ )+ (r ₁ + r ₂ ), (q ₁ ,r ₁ )×(q ₂ ,r ₂ ) = (q ₁ q ₂ ,q ₁ r ₂ + r ₁ q ₂ + r ₁ r ₂ ) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R / I ) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности U R для данных U и R . Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R .

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть t Î R не лежит в AnnR , но t × r Î AnnR "r Î R (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q +q ₁ e + q ₂ e ² + … + q_{n -1} e ^{n -1} ,p ₁ e + p ₂ e ² + … + p_{n -1} e ^{n -1} )q Î Q ⁺ ,q_i ,p_i Î Q из примера 1).

Определим новые операции на U ÈR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов r Î R и u Î U сложение зададим законом u År = u + r + r × t . Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁ Åu₂ )År=u₁ Å(u₂ År )Ûu₁ +u₂ +r+rt= u₁ +u₂ +r+rt

(u År₁ )År₂ =u Å(r₁ År₂ )Ûu +r₁ +r₁ t+r₂ +r₂ t=u+r₁ +r₂ + (r₁ +r₂ )t.

2. Дистрибутивность:

u₁ (r Åu₂ )=u₁ r Åu₁ u₂ Ûu₁