Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0
и y0
служат основой формирования двух векторов x=(x0
, x1
, …, xn
) и y=(y0
, y1
, …, yn
) по рекуррентным формулам:
и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.
Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то
Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δn
g(x) = Δn
G(k) для n = 5.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:
Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.
Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G
(
k
)
совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.
Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:
Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.
Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.
Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.
Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3
, применим оператор сдвига:
Получим выражения для ∆2
y0
:∆5
y0
= -y0
+ 5y1
– 10y2
+ 10y3
– 5y4
+ y5
∆4
y0
= y0
- 4y1
+ 6y2
- 4y3
+ y4
∆3
y0
= -y0
+ 3y1
– 3y2
+ y3
∆2
y0
= y0
- 2y1
+ y2
Подставим эти значения в функцию:
Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x)
:
при x3
= 1.8
Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.
Задача 8
Методом наименьших квадратов для таблично заданной g
(
x
)
получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (
Pi
(
x
),
i
= 0, 1, 2, 3)
и изобразить их на одном графике.
Решение.
Составим таблицу степеней x
и xy
| i |
x |
y |
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
xy |
x2
y |
x3
y |
| 1 |
0.3 |
-0.02 |
0.09 |
0.027 |
0.0081 |
0.00243 |
0.000728999 |
-0.006 |
-0.0018 |
-0.00054 |
| 1 |
0.8 |
0.604 |
0.64 |
0.512 |
0.4096 |
0.32768 |
0.262144 |
0.4832 |
0.38656 |
0.309247 |
| 1 |
1.3 |
0.292 |
1.69 |
2.197 |
2.8561 |
3.71293 |
4.8268 |
0.3796 |
0.493479 |
0.641523 |
| 1 |
1.8 |
-0.512 |
3.24 |
5.832 |
10.4976 |
18.8956 |
34.0122 |
-0.9216 |
-1.65888 |
-2.98598 |
| 1 |
2.3 |
-1.284 |
5.29 |
12.167 |
27.9840 |
64.3634 |
148.035 |
-2.9532 |
-6.79236 |
-15.6224 |
| 1 |
2.8 |
-2.04 |
7.84 |
21.952 |
61.4656 |
172.103 |
481.89 |
-5.712 |
-15.9936 |
-44.782 |
| 6 |
9.3 |
-2.96 |
18.79 |
42.687 |
103.22 |
259.405 |
669.026 |
-8.73 |
-23.5666 |
-62.4401 |
Составим системы уравнений:
Откуда a0
= -0.93621; a1
= 3.89576; a2
= -2.8954; a3
= 0.488001
Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:P3
(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2
+ 0.488001x3
Откуда a0
= -0.0710314; a1
= 0.989486; a2
= -0.624589;
Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:
P2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
Откуда a0
= 0.974118; a1
= -0.946742;
Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:
P1
(x) = 0.974118 – 0.946742x
6a0
= -2.96
Откудаa0
= -0.493333;
Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:
P0
(x) = -0.0493333
Изобразим полученные полиномы на графике:
Задача 9
Для аппроксимирующего полинома третьей степени P
3
(
x
)
получить аналитические выражения Δ
n
P
3
(
x
),
n
= 0, 1, 2, 3, 4
и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.
Решение
Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:
Задача 10
Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:
в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.
Решение
Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:
где w1
, w2
— некоторые коэффициенты
t1
, t2
—точки, плавающие внутри интервала интегрирования.
Составим систему уравнений
w(t) = (t-t1
)(t-t2
) = C0
+ C1
t + C2
t2
= 0
C2
= 1
Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:
2C0
+ 2/3 = w1
(C0
+ C1
t1
+ t1
2
) + w2
(C0
+ C1
t1
+ t2
2
)
2C0
+ 2/3 = 0
C0
= -1/3
Подставляя полученные значения в первую систему, получим:
Квадратурная формула:
Задача 11
С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x0
до x0
+3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.
Решение
Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6
Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.
Составим систему уравнений:
Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:
L (t) = 0.24975t3
- 0.80325t2
- 0.49575t + 0.537253
Учитывая, что dx = βdt, получим:
Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10
Для сравнения вычислим аналитически значение интеграла:Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.
Задача 12
Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.
Решение
Перейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему
Учитывая, что dx = βdt, получим:
Применим квадратурную формулу:
Вычислим аналитически:
Найдем погрешность вычисления:
Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):
Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:
Учитывая, что dx = βdt, получим
Применим квадратурную формулу, получим
Найдем погрешность вычисления
Задача 14
Степенными полиномами Чебышева Ti
относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:
Ti+2
- 2x Ti+1
+ Ti
= 0,
с начальными условиями T0
= 1 и T1
= x.
Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если
и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.
Решение.
Исходя из того, что
xi
= |yi
| надо найти T4
т.е. для i = 4
Из Ti
+2
- 2xTi
+1
+ Ti
= 0 следует, что
T2
= 2xT1
- T0
T3
= 2xT2
- T1
= 2x(2xT1
- T0
) - T1
T4
= 2xT3
- T2
= 2x(2x(2xT1
- T0
) - T1
) - 2xT1
+ T0
= 8x3
T1
- 4x2
T0
- 4xT1
+ T0
Подставим значение T0
= 1 и T1
= x
T4
= 8x4
- 4x2
- 4x2
+ 1 = 8x4
- 8x2
+ 1
Найдем значения x:
T4
= 0.99980
Проверим по заданной рекуррентной формуле:
T2
= 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999
T3
= 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469
T4
= 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980
Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:
8x4
- 8x2
+ 1 = 0, где
x1
= 0.9238795
x2
= -0.9238795
x3
= 0.3826834
x4
= -0.3826834
Чтобы найти экстремумы найдем
Задача 16
Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.
T(x0
, 0) = T0
, T(x1
, 0) = T1
, …, T(x5
, 0) = T5
; (Ti
= 100·yi
˚C).
На концах стержня в точках x-1
и x6
удерживается нулевая температура.
Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.
Решение.
Получаем систему диф. уравнений:
Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:
Задача 17.
Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева Ti
(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять
В качестве xi
берутся |yi
| из таблицы исходных данных.
Решение.
Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T4
= 8x4
- 8x2
+ 1. В качестве начального приближения к корню возьмем xнач
, вычисленное по формуле
Т.к. 8x4
- 8x2
+ 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач
+ α) = 0
Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:
получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.
На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.
Задача 19
Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2
(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].
Решение
P2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
= f(x)
Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем
Т.к. x = F(t), то:
Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:
t = 0 x = 0
t = 0.1 x = -0.0622648
t = 0.2 x = -0.137833
t = 0.3 x = -0.230872
t = 0.4 x = -0.347464
t = 0.5 x = -0.496850
Задача 20
Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:
dx/dt = a + bx + cx2
,
x(0) = 0
Коэффициенты a, b, c взять из P2
(x), полученного в задаче 8.
Решение
y = P2
(x)P2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
Общая формула для решения
x = x0
+ h·P2
(x0
, t0
)
x1
= 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156
x2
= -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1
–
-0.624589· (-0.03551562
) = -0.053854
x3
= -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1
–
- 0.624589 (-0.053854)2
) = -0.0636315
x4
= -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1
–
-0.624589 (-0.0636315)2
) = -0.0689304
x5
= -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1
–
-0. 0.624589 (-0.0689304)2
) =--0.071827
Задача 23
Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:
x1
= (y0
,y1
,y2
); x2
=(y3
,y4
,y5
); x3
=(h,x0
,0).
На базе линейно независимой системы векторов x1
, x2
, x3
методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:
y1
= (y11
,y21
,y31
); y2
=(y12
,y22
,y32
); y3
=(y13
,y23
,y33
).
На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1
,y2
, y3
). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1
и транспонированную T’. Найти произведение T-1
· T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.
Решение
Исходные векторы x1
= (-0.02,0.604,0.292); x2
=(-0.512,-1.284,-2.04);
x3
=(0.5,0.3,0).
Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:
det (A·AT
) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.
Найдем векторы v1
, v2
, v3
v1
= x1
v2
= x2
+ a21
·v1
v3
= x3
+ a32
·v2
+ a31
·v1
v1
= (-0.02, 0.604, 0.292);
v2
= (-0.572423, 0.54078, -1.15782);
v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).
Матрица T:
det(T) = -1
Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1
. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.
Задача 24
Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у1
, у2
, у3
из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р1
, Р2
, Р3
), саму матрицу А и ей обратную А-1
. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.
Решение
Найдем проекторы матрицы А:
Найдем обратную матрицу А-1
:
Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:
-x3
-6x2
-11x-6=0;
Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы
x1
= -1; x2
= -2; x3
= -3
Задача 25
Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.
Решение